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2015高中数学 2.1.3分层抽样总结 新人教A版必修3

时间:2016-10-22


2.1.3

分层抽样(结)

分层抽样的概念 [例 1] 某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16 人,教师 112 人,后勤人员 32 人.教育部门为 了解学校机构改革意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本.试确定用何种方法抽取,并写出抽样过程. 160 [自主解答] 因机构改革关系到各层人员的利益,故用分层抽样法为妥.因为 =8,所以可在各层 20 人员中按 8∶1 的比例抽取. 16 112 32 又因为 =2, =14, =4,所以,行政人员、教 师、后勤人员分别应抽取 2 人、14 人、4 人. 8 8 8 因行政和后勤人员人数较少,可分别按 01~16 号和 01~32 号编号 ,然后用抽签法分别抽取 2 人和 4 人.而教师较多,所以对教师 112 人采用 000,001,?,111 编号,用随机数法抽取 14 人.这样就得到了 符合要求的容量为 20 的样 本. ————— —————————————

1.判断抽样方法是分层抽样,主要是依据分层抽样的特点: (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况. (2)能更充分地反映了总体的情况. (3)等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等. 2.分层抽样又称为“按比例抽样”,这里所说的“按比例”是指 总体中第m层的个体数 样本中第m层的个体数 (1) = ; 总体中第n层的个体数 样本中第n层的个体数 样本中第n层的个体数 样本容量 (2) = . 总体中第n层的个体数 总体容量 ——————————————————————————————————————

1.某社区有 700 户家庭,其中高收入家庭 225 户,中等收入家庭 400 户,低收入家庭 75 户,为了调 查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 户的样本,记作①;某中学高二年级有 12 名足球 运动员, 要从中选出 3 人调查学习负担情况, 记作②; 从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 8 辆测试某项性能, 记作③.则完成上述 3 项应采用的抽样方法是( )

A.①用简单随机抽样,②用系统抽样,③用分 层抽样 B.①用分层抽样,②用简单随机抽样,③用系统抽样 C.①用简单随机抽样,②用分层抽样,③用系统抽样 D.①用分层抽样,②用系统抽样,③用简单随机抽样 解析:对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成,而所调查的
1

指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样. 对于②,总体中的个体数较少,而且所调查内容对 12 名调查对象是平等的,应用简单随机抽样. 对于③,总体中的个体数较多,应用系统抽样. 答案:B 分层抽样的应用 [例 2] 一个单位有职工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 岁至 49 岁的有 280 人,50 岁及 50 岁以上的有 95 人,为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取 100 名职工作为 样本, 职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取? [自主解答] 用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层.按年龄将 职工分成三层:不到 35 岁的职工;35 岁至 49 岁的职工;50 岁及 50 岁以上的职 工. 100 1 1 (2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为 = ,则在不到 35 岁的职工中抽 125× =25(人); 500 5 5 1 在 35 岁至 49 岁的职工中抽 280× =56(人); 5 1 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽 95× =19(人). 5 (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本. ————— —————————————

分层抽样的操作步骤为 ?1?将总体按一定标准进行分层; ?2?计算各层的个体数与总体的个体数的比; (3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量; (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样); (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本. ——————————————————————————————————————

2.某政府机关有在编人员 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,职员 20 人.上级机 关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实 施操作. 解:因机构改革关系到各人的不同利益,故采用分层抽样方法. 20 1 抽取比例为: = , 100 5 1 1 1 故:10× =2;70× =14;20× =4. 5 5 5
2

∴从副处级以上干部中抽取 2 人,从一般干部中抽取 14 人,从职员中抽取 4 人. 因副处级以上干部与 职员人数都较少,他们分别按 1~10 编号与 1~20 编号,然后采用抽签法分别抽 取 2 人和 4 人;对一般干部 70 人采用 00,01,?,69 编号,然后用随机数法抽取 14 人.

某校共有教师 302 名,其中老年教师 30 名,中年教师 150 名,青年教师 122 名.为调查他们对新课 程改革的看法,从中抽取一个 60 人 的样本.请写出抽样过程. [错解] 把 302 名教师编号为:1,2,3,?,302,然后用随机数表法剔除 2 个个体,再对剩余的 300 300 名教师重新编号为: 1,2,3, ?, 300.因为 =5.故可将这 300 名教师分成 60 段, 每段 5 名教师, 先从 1~ 60 5 号教师中随机抽取 1 名教师,然后从这名教师的编号开始,每隔 5 名抽取一名.如:从 1~5 号中抽取的 是 3 号,则抽取的这 60 名教师的编号依次为:3,8,13,18,23,?,298. [错因] 3 个层次的教师对新课程改革的看法是有较大差别的,因此应采用分层抽样,又因为教师总 人数和青年教师人数均不能被 60 整除,此时就需先从青年教师中剔除 2 个个体,再进行抽样. [正解] (1)把 122 名青年教师编号,利用随机数表法剔除 2 个个体. 60 1 1 1 1 (2)因为 = ,30× =6,150× =30,120× =24,所以可将老年教师 30 名,中年教师 150 名,青 300 5 5 5 5 年教师 120 名编号后,运用随机数表法,分别从中抽 取 6,30,24 个个体,合在一起即为要抽取的 60 人样 本.

1.分层抽样适合的总体是( A.总体容量较多 C.总体中个体有差异 答案: C

) B.样本容量较多 D.任何总体

2.一批灯泡 400 只,其中 20 W、40 W、60 W 的数目之比是 4∶3∶1,现用分层抽样的方法产生一个 容量为 40 的样本,三种灯泡依次抽取的个数为( A.20,15,5 C.16,12,4 )

B.4,3,1 D.8,6,2

4 3 1 解析:三种灯泡依次抽取的个数为 40× =20,40× =15,40× =5. 8 8 8 答案:A 3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是( A.将总体分成几部分,按预先设定的规则在各部分抽取 B.抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 )

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C.将总体分成几层,然后分层按照比例抽取 D.没有共同点 答案:B 4.(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 3∶3∶4,现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取________名学生. 3 解析:由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的 ,利用分层抽样的有关知识得应从高二年 10 3 级抽取 50× =15 名学生. 10 答案:15 5.某工厂生产 A、B、C 三种 不同型号的产品,产品数量之比依次为 2∶3∶4,现用分层抽样方法抽 出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n=________. 16 解析: =

n

2 . 2+3+4

n=72.
答案:72 1 6.某运输队有货车 1 200 辆,客车 800 辆.从中抽取 调查车辆的使用和保养情况.请给出抽样过 10 程. 解:利用分层抽样. 第一步:确定货车和客车各应抽取多少辆, 1 1 货车 1 200× =120(辆),客车 800× =80(辆). 10 10 第二步:用系统抽样 法分别抽取货车 120 辆,客车 80 辆. 第三步:把抽取的货车和客车组成样本.

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