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高考填空题压轴题的解题策略及思考

时间:2015-09-22


?

辅教 导学 ?  

数 学通 讯 — — 2 O l 1 年第5 、 6期 ( 上半月)  

9  

高 考 填空 题 压轴 题 的解 题策 略及 思 考 
何   明  
( 江 苏 省 海 安 县 教 研 室 ,2 2 6 6 0 0 )  

作为 独立 题型 , 填空题 大多是 计算 型 ( 尤 其 是  推理计算 型 )和概念 性质运 用型 的试题 , 解 答时 必  须按规 则进 行切 实 的计 算 与合 乎 逻辑 的 推演 和 判  断, 但填 空 题 要 是考 点 多 、 解题 长度 较 长 、 影 响 结  论 的 因素较 多等 , 那 么 即使 做 到 了 最 后一 步 才 出  错, 在 得分 上却 和一 窍 不 通 的 考 生 是 没 有 任何 差  别的, 尽 管他 们在 水平上 存 在很 大差 异 , 这 正 是 它  的缺点 , 客观 上 影 响 了考试 的信 度 与效 度 . 然 而,   高考填空 题 中的 部分压 轴题 通 常又 不 得不 以这种  方 式来 呈现 , 它体 现 了数 学综 合 能力 的 考查 , 当然  另 一部分 压 轴 题 是 短 小精 悍 的本 原 性 数 学 问题 ,   多数源 于竞赛 试 题 , 侧 重 考查 创 造 性 解 决 问题 的  能力. 那么 , 如 何 轻 松 破解 高 考 填 空 题 压 轴 题 呢 ?   本文以2 0 1 1 届 江苏 省十三 大市高 三一模 填空题 为  例谈谈 一 些方 略与思考 , 仅供 参考 .   1   形 影不 离 — — 妙用数 形结 合思想 解题 
题 1  ( 无锡卷 1 3题)已知 函数 . 厂 ( z )一 z 。 + 

分析  本 题求 三 角形 面积 的最 大值 , 自然涉  及用 什么元 ( 边长 、 角度 ) 来 表示三 角形 的面 积 ? 用  几个 元 ( 一个 、 两个 ) ? 这 正 是我 们 应该 思考 的关键  问题 . 下面仅 介绍 函数 观念下 二元 函数 模型 .   方法 1 ( 解 析 思 想 )如  )   J   图2 , 分别以 B C、 线段 B C 的  A  中垂线 为 z轴 、  轴建 立平 面  直角 坐标 系 x O y, 设 A( O ,  
口 ) , C ( 6 ,O ) , 则 B( 一b ,0 ) ,  

M( 鲁, 导 ) , S △ ^ B c —a b . 由  
B M = 3得 9 口  十 b  一 1 2≥  
2 .  

B 

/ /   ~  
0  C 

图2  

6 a 5 ( 当且仅 当 3 a = b时 取 等 号 ) , 故( S △ 加 。 )  


方法2 ( 轨迹 思想 ) 如图3 , 分别 以 B M、 线段 

B M 的中垂线 为为 z轴 、 Y轴建立 平面直 角 坐标 系  o y, 设  ’ B( ~- F’ o ) ' M(   'o ) 岫 A B  
。 +y 2 =
4 百


2 z, 若存 在实数 t , 当 z∈ [ 1 , m3 时, f ( x +£ ) ≤3 x  
恒成立 , 则 实数  的最大值 为  分析  本题若 从纯  代 数人手 , 不 少 考 生 易 
陷入 逻 辑 的 旋 涡 之 中 ,  
Y 
y =』 2 +2  

一 2 A M 得( z一 百 5  
0  

故点 A( z, 3 , )  
一  

的轨迹 为以 (   5   ,0 )为 圆心 2 为半 径 的 圆( 点 
,  

b  

√3  

不 知所 措 . 其实 , 本题 给 
出了. 厂 ( z)=  。 +2 x, 而 

B 、 M 除 外 ) ' 故 S △ A B c 一 2 s △ ~≤ 2 -   1 ?  ‘ 去  
= 2  

函数 f ( x+ £ )可 由其通  过平移 变换 得 到, 这 就 
给 问题 提 供 了几 何 解 决 
的可能 .  


3  

1  

/   (   一  
8  


注  平 面 内 , 到 两 个 定 

点距 离 之 比为 常数 (  ≠ 1 )   的点 的轨迹是 一个 圆 , 通 常 叫 

解  如 图 1 , 抛 物线 
Y=   +2 x与 直 线  =  图1  

“ 阿 氏( Ap o o l l o n i u s , 约前 2 6 0  
前1 9 0 ) 圆” , 这 正是 本题 内 
隐的几何 背景所 在 , 想 到 该 解 

3  交于 ( O , O ) 和( 1 , 3 ) , 当 X∈ [ 1 ,  ] 时, 厂 (  +£ )  
≤3 z恒 成立 , 故厂 ( z ) 一  十2 x只能 向右平移 , 即 

法 除 了要 有丰 富的知 识积 淀 ,  

图3  

t <0 , 但 向右 至多平移 4 个 单位 , 即过点 ( 1 , 3 ) , 此  时t 一~ 4 , 所以   的最 大值 为 8 .   2   高 屋建瓴 —— 巧用 函数 方程 思想 解题 
题2 ( 南通 卷 1 4 题 )已知等腰 三角形 腰上 的 

还 要有敏 锐 的洞 察力 , 当然 , 本题 也 可考 虑 以边 或 

以角为元 的一元 函数模 型求 解.  
3   顺 其 自然 — — 巧 用 分 类 讨 论 思 想 解 题 

题3 ( 无锡卷 1 4题 ) 已 知 函 数 厂 ( z )= 

中线 长 为 √ 3 ,则 该 三 角 形 的 面 积 的 最 大 值 
是  .  

l   一2   l , 若 ( 口 ) ≥厂 ( 6 ) , 且0 ≤口 ≤b , 则 满足 条 
件 的点 ( n , 6 ) 所 围成 的 区域的面 积为  .  

1 O  

数 学通 讯— — 2 O 1 1 年第5 、 6期 ( 上半月)  

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分 析  本题 中 , a ,b满足 的不 等关 系 如何 明  确 具体 ( 不含 , )是 首先 要解 决 的 问题 , 分类 讨 论  去 绝对值 是 常用 手段 之一 .  

C ( x ? , o ) , 易 得 点P ( 号 , 1 ) , 由 题 意 得c 。 s   z   一  


故 i n z  。 一1 一  .  
7 r  

解  第一 种情形 : a 。 一2 ≤b 。 一2 <0 , 且0 ≤ 

7 r  

a≤ b , 所 以 0≤ 口≤ b ≤4 g , 如图 4 ;  
第 二种 情形 : a 。 一2 <0 , b   一2 >0 , 口 。 一2 + 
6 2 — 2< 0 , 且 0≤ a ≤ b , 所以a 。 +b   <4 , 且0 ≤ 

又 直线 l 的方程 为 一s i n   X   一 ̄( x -z   ) , 令 

Y=0 得X 2 一   l 一- 丌 6 - s i n   X l , 则B - X.   一葡 2 =  

n <4 g <6 , 如图5 , 故所求面积为圆的面积的 喜,  
o 

: 一 X 1 ) 2   s i n 2 z - 一 手 ( 1 一  ) 一  一 1 .  
6   逆 流 而 上 — — 巧 用 归 纳 推 理 解 题 

即为  .  
6   J     I

题6  ( 苏 北 四市卷 1 4题 )已知 函数 ,( z )一 
6   J  

厶:口  

b=a 

、\/ 

鼹   /  

I   X +1   J +I   X+2   l +…+ I   X +2 0 1 1   l +l   z 一1   l +   l   X一2   I + …+ I   z 一2 0 1 1   l ( z∈ R ) , 且f ( a 。 一3 a  
+2 )= f ( a 一1 ) , 则满 足条件 的所 有正整数 a的和  是
. 
— —

、一  
. 

/、 ~  

图4  

图5  

4   斗转 星移 —— 活用 化归与 转化思 想解题 

分析  本 题 中 , 给 出的函数 ,(   ) 是 由若 干个  绝对 值相 加得 到 的 , 如 何 研 究 该 函 数 的 图象 与 性  质 是问题 解决 的关键 , 不 少考 生 想去 绝对 值讨 论 ,   改 写为分 段 函数 , 但 心有余 而 力不 足 , 最终 选择 放  弃 .其 实 , 从本 题 中的 函数 构 成分 析 , 借 用著 名 小  品演员赵 本 山老 师 的一句话 : “ 走两 步瞧瞧 ! ”也就  是 说从最 简单 的开始 !  
Y  J  

题4 ( 常州卷 1 3 题) 在 平面直 角坐标 系 . z O y   中, 若与点 A( 2 , 2 ) 距离 为 1 且 与点 B( m, O ) 距 离  为3 的点 的直 线恰有 两条 , 则 实数 m的取 值范 围为  分析  本题若 直接 人手会 十分麻烦 . 实 际上 ,   问题 可等 价转化 为分别 以点 A( 2 , 2 ) 为 圆心 , 1为  半 径 的圆与 以点 B( m, O ) 为 圆心 , 3为半 径 的圆相 
交, 旨在考 查化归 与转化 能力.  

l   L 2  


解  问题化归为 3 —1 <l   A B   I <3 +1 , 即2  
<  ̄ / ( m一 2 )   + 4< 4 , 解得 2 —2 √ 3 <  < 2 + 
2   且 m≠ 2 .  
Y  J   I  

1   0 

1  

i  

图7  

5   瞒 天 过 海 — — 巧 用 整 体 思 想 解 题 

题5 ( 镇 江卷 1 4 题) 直线Z 与函数 Y= s i nX ,  

z∈ [ O ,  ] 的 图象 相切 于点 A, 且z ∥O P, 0为坐  标原点, P为 图象的极值 点 , z 与  轴交 于 点 B, 过 
一  



土   t  
4。  22
一  

』  
~  

点A 作 . 2 7轴 的 垂 线 ,垂 足 为 C,则 
= ==  
. 

?B C  



1 0  1   2  

0 

分析  本 题 中 , 结 合 图  形( 如图 6 ) 分析 可知 点 A 是  确 定的 , 直线 Z 也 是 确定 的 ,   所 以  ?   就定 了 , 但如 何  求 出点 A 的坐 标 呢 ? 不 少 考  生 因求不 出点 A 的坐标 而 放  弃. 其实, 利用 设 而不 求 的整 

y  J  

图 8  

图 9  

B/ 

/ ,0 

C 

兀  

图 6  

解  先 研 究 函 数 厂 1 ( z )一 l   X十1   l +  l   z一1   l 与 f 2 ( z )  = = :  I   z+1   I +  I   X +2   l +  l   z 一1   l +l   一2   l 的图象与性质( 如图 7 、 图8 ) , 通  过观察归纳出 f 2 川( z ) 一l   +1   I +I . 2 7 +2   l +…   + I   +2 0 1 1   I +  l   一1   I +  I   z一2   l + … +   I z 一2 0 1 1   l 的图象与性质( 如图 9 ) , 所以a 。 一3 a +  
2= a一 1或 a 。一 3 a + 2 : 1 一 口 或 

体 思想 可 以瞒天过海 , 迅速求 得结果 .   解  设 点 A( x 1 ,s i n   z 1 ) , B ( x 2 ,0 ) ,则 点 

厂 1   :   一 3 口 , +   ≤  且 。 ∈ N ? , 解 得 。 : 1 ,   1≤ 1一 a≤ 1 ,   一  ~   ’ 。 一  


?

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教 学 通讯 — — 2 O 1 1年 第 5 、 6期( 上半月)  

2 , 3 , 所 以结果 为 6 .   注  本题 也可 利用 函数单调 性定义 通过作 差 

长 方 体的体对 角线 长为 、 / ,  , 表 面积 为 4 8 , 求 该长 
方 体 的棱 长 的取值 范 围.   9   偷 梁换 柱 — — 巧 用定与 不定 解题  题 9 ( 苏州 卷 1 3题 )已知 △A BC 的三 边长 

判 断函数 , ( z )的单 调性 , 以及 用 奇偶 性定义 判 断  函数 , ( z )的奇偶 性 后再 求解 , 但 归纳 推理 的思 想  方 法十分 重要.   7   瓮 中捉 鳖 —— 借 用 演绎推理 解题  题7 ( 南 京卷 1 4题) 若 直角 坐标平 面 内两 点  P、 Q满足 条件 : ①P、 Q都 在 函数  (   )的 图象 上 ;   ② P、 Q关 于 原 点 对 称 , 则称 点对 ( P, Q)是 函 数  , ( z )的一个 “ 友好 点对 ” ( 点对 ( P, Q)与( Q, P )为  同一个“ 友好 点对 ” ) . 已知 函数 
r 2   + 4 z+ 1,z < 0,  

n, b , c 满足 b十 2 c ≤3 a , c +2 a≤ 3 b , 则  的取 
n ¨  

值 范 围为— — .   分 析  本 题 中,  
△AB C的 三边长 Ⅱ , b , c 满 
L 

足 两个 不等关 系 , 求兰 的取 
Ⅱ  

值范围, 从条件到结 论, 显 

厂(  )一  2  

、 

然元 c 没有了, 故 如何 消 元 
是前 提 , 变变量 为常量 是 消  元 的 常用 方法 之一 , 若 能 运 
图 l 1  

【  ’  
则 厂 (  )的“ 友好 点对 ” 有— 分 析  — 本题 中, 给 出 了  “ 友 好点对 ”的一 般定 义 后 , 要 

u ’  
个.  
Y    J l  
= -

求 考生 再 来 处 理 一 个 具 体 的  分段 函数 问 题. 那 么, 如 何 瓮  中 捉 鳖 呢?应 从 读 懂 定 义 人  手, 代 数地 表达 问题 .   解  设  < 0 , 则 问题 化  归 为关 于 的方 程 ( 2 x 。 +4 x + 
1 ) +(   ) 一


1   }  
~  

用得当, 将会 简化大 问题 .   勰  不妨设 c 为盱 1   个单 三, 位 3     长度 , 则6 +2 ≤3 口 ,  
1+ 2 n≤ 3 6 ,又 口+ b> 1 , 一 1< 口一 b< 1 , 画 出 

点( 口 , 6 )的可 行 域 ( 如 图 1 ) , 易 得 当点 ( 口 ,6 )为  6 一 口  1 M( 4 , 3 )时 , (  )   i  一 3; 当点 ( 口 6 )为 N( 3


/  、   0 }    
P  一~ 

,  

口 



喜, 所以鱼 的取值范围为  
n 

- ar 

0   有 几个 负数 解 的问题 , 即

1  


1 O   借 石 攻 玉 — — 妙 用 导 数 工 具 解 题 

2 x一 _ 砉 - ( z< o ) , 记Y l 一  , Y 2一一 ( z+ 1 )  + 


题1 0  ( 盐城卷 1 4 题 )已知 函数 厂 (  )一 1 + 
 ̄2

当 z 一 一 1 时 , {<百 1 , 所 以Y l 与Y 2 有 两 个 交  

z —  

十 X 了 3 一   X 4 + … + 嘉 苦 , g ( z ) = 1 一   + 等  

点( 如图 l o ) , 且 横 坐标 均 为 负数 , 故所求“ 友 好 点 
对” 共 2 个.  



号+ 等 一 … 一   丽, 设H ( z ) = 厂 ( z + 3 ) ‘ g ( z  

8   避实就虚 — — 活 用等 与不等 解题  题8 ( 苏 北 四市卷 1 3 题) 已知 实数 n , b , c 满  足 口+b +c 一9 , a b+  + 口 f一 2 4 , 则 b的取值 范  围为  .  
分析  本题 中 , 若 利 用基本 不等式 口+ c ≥ 

3 ) , 且 函数 H(  ) 的零 点均 在 区间[ n , 6 ] ( n , b ∈   Z )内, 则 b 一 口的最 小值 为  .  


2 ̄ /   求 解b的范 围会 存 在口, c 是否一 定为正 数 的  困惑 , 那 么如何 回避这个 问题 呢 ? 利 用恒 等 式 ( n+ 
b +c )  = 口   +b   +C 。 +2 ( a b +  + a c ) 将条 件化  归为 n 。 +b 。 +c  一 3 3 , 再 用不等式 n  +  ≥  求解 b的范 围.  
厶 

分析  本题 中 , 给 出 的两个 函数 厂 ( z ) , g ( z )   均 为 多项式 函数 , 且 项 之 间正 负交 替 , 如 何 研究 这  两 个 函数 的 图象 与 性 质 是 问 题 求 解 的 关 键 , 不少  考 生想化 简这 两个 函数 解 析 式 , 但 徒劳 而 返 , 那 么  这样 “ 庞大 ”的 函数 解 析式 该 如 何研 究 呢 ? 导 数是 
强有 力 的工具 !   解  记 F(   )一 厂 ( z ) ~1 , G(  ) 一g ( z ) ~1 ,   则 
F   (  )一 1一  + z   一 z 。 + X   一 … ~ z   。 。 。 + 

解 

由( n +b +c ) 。 :口 。 +b 。 +c 。 十2 ( a b+ 

。  。一 ( 1 一 z) ( 1 +  十  + … + . T 2 o o 8 ) +z 2 o l 0 ,  

+口 c )得 Ⅱ   +b  + f 。一 3 3, 即n 。 +c 。一 3 3 一b   ,  

当. z ≤ 1 时, F   (  ) >0 ; 当 z> 1 时, F   ( z ) 一  

又 口+ b + c= 9 , 即 Ⅱ+ c= = : 9 一b , 由口   +C 。 ≥  得 3 3 一b z ≥  , 解 得 1≤ b≤ 5 .  

(  肋  一 

) +雨 1   >o , 所 以 F( z ) 为 R上的 

增 函数 , 又 F( O )一 0 , 故 F(  )一 厂 (  ) 一1 有 唯一  零点 ,  

注  这 里顺 便 给 出本 题 的一个 几何 背 景 , 某 

1 2  

数 学通 讯 —— 2 O 1 1 年第 5 、 6 期( 上半月)  

? 辅教导学 ?  

如图 1 2 , 记 f ( x   )一 o , 又 F( z ) +G(  ) 一0 ,  
即厂 (  ) +g (  ) 一2 , 可 得 y— G ( z ) 、 3 , 一g (  ) 的 

设 区间 1 、 z 2 在 区间[ 研,  ] (   < , T n ,  ∈  
z ) 内, 则m   =一1 , n   ;   一2 , 故 —m的最小值 为  3 , 即有 b 一 口的最小 值为 9 .   注  本题 中 , 图象 的直观性 很重要 , 利用二分  法 研究 函数 厂 ( z ) 与 g ( z )的零 点 是关 键 , 而 本题 

图象 的草 图 , 记 g ( x   )一 0 ,  
Y  J  
f( x + 3 )窖 (   )  f ( x )  

}f F  
.  

中导数 的工 具 作 用恰 是 其 他 工 具 所 无 法 比拟 的 ,  
并且 在整个 问题 的解 决 中是 具有 开拓性 的.  

/  \  \  
, 

填空题 的压轴功 能决 定 了其 自身难 度 以及与  常 规题的差 异. 不少 师生 过 分 依赖 于特 殊化 思想 ,   抱有 “ 猜 ”的侥 幸 心理 , 而 江 苏新 高 考在命 题 上很  好地 回避 了这 类 试题 , 这 也 算 江苏 高 考 命 题 的一  点 特色吧 ! 其实, 这 与试卷 中不设 置 选择 题 的初衷  是一致 的 , 翻看近三 年 的江苏 卷 , 我 们几 乎 找不到  这样 靠猜或 特殊 化 就 能 解 决 的低 信 度填 空 题 , 更  没有这 样 的 压 轴 题. 因此 , “ 特 技 ”在 江 苏 是 没有 
“ 市 场”的 , 这就 为高三 复习 的选题 指准 了方 向. 应  重 视通性通 法 , 淡化特技 , 要 清楚 地 认 识到 , 在解  题方 法上不要 刻 意 追 求 技 巧 , 但 在运 算 技 能 上倒 



1 

易得 f ( -1 ) < 0 , g ( 1 )> 0 ,  
1…

( i) z o i l





号 一 宰一 字一 宰一   >   一 号 一 宰一 宰一 宰一  




要 注重技术 ( 观察 结 构 特 征 , 顺 势而 下 , 可消 可 约  ÷ + c   ;   的元 素 不 需 牵 动 ,千 万 不 能 一 味 埋 头 机 械 运  g ( 2 ) = ( 1 — 2 ) + ( 等 一 等 ) + (   一 莩 ) + …   算 )了 .  
  一

f )Z Ol O  

9Z O l l  

+ 

一 

)< 0 ,  

总的来 说 , 解 填 空题 压 轴 题 除 了需 要 练 就扎  实 的数学基 本功 外 , 对 数 学 综 合 素 养 的要 求 也很  高. 因此 , 我 们 在 高三 数 学 复 习 过程 中 , 要熟 络基 

号 + 宰一 字十 字一   宰+ . . ! 5   — — 一 —   ‘ . … . 叶 —   ‘ 一 — ( 3 2 O ) — 1 2 O 0  2 , 0 一 — — 一 — ( 3 O ) — 1 2 1 o l , <   … 0 一 , .  
且  3  


本知识 , 活 用 基本 方 法 , 培 养 基本 能 力 , 通 晓基本  思 想观念 , 适 当做 些 高 质 量 的填 空 题 以及 难 度适  中的竞赛 题 对 提 高 解 题 能 力 与 自信 心 都 大 有 裨 
益, 但不可 贪多求全 , 不 加思 悟 , 可谓茫 茫题 海 , 思 
想 观念指 岸 !   ( 收 稿 日期 : 2 0 1 1 —0 3 —0 3 )  

所 以, 一1 < z   <一 百 1


1 <z 。 <导 .  

( 上 接 第 8页 )  

≤ 0 . 没 有我帮 忙 , 他一 下子 就漏掉 了“ 口 <一1 ” , 出  

符 合条件 ;   当 口≠ 0时 , 由题意得 

错还 是 因 为 他 心 里 根 本 就 没 有 我 , 太不拿“ 空某 
人 ”当腕 了 .  

f a ≠0 ,  

f 。 ≠0 '  

大家知 道 , 朋 友 之 间 最讲 究相 互 理 解 、 尊重 、   信任 . 我是 非 常重 友 情 的 , 只 要 你 能理 解 我 , 时 时 
处处 想着 我 , 需 要 我 出手 时 , 我 定会 为 朋 友 两 肋 
插刀!  

j △ ≥ 0 ,   即 J   4 + 4 a ≥ o ’  
【 z   - 4 - X 2 ≤0 ,  L I   一   ≤0 ,  
解得 一 1 ≤ 口< 0 .   所 以 口的 范 围是 一 1 ≤ 口≤ 0 .  

我虽 一无 所有 , 却可独步天下 ! 各位 记 住 了,  
学 习集合 , 我可是你 不 能不交 的好朋 友 !   我 吹大 了吧? 嘻嘻 , 不好 意思 !   ( 收稿 日期 : 2 0 1 1 —0 1 —1 2 )  

这位 同学 的解 答 完全正 确 吗? 非 也. 关于 交集  运算 , 可 别忘 了我 , 请 看公 式 A   n   j 2 『 :j 2 『 . 当 M 一 

时 , 元 全 符 合 条 件 , 此 时 { 三  ’ + 4   < 0 , 解 得  
n<一 1 . 综 合上 述分析 , 本 题正 确 的答 案应该 是 a  


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