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第8届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

时间:2012-09-25


第 8 届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
(1975 年于德意志民主共和国的居斯特罗) 【题 1】一根杆以恒定的角速度 ω 绕竖直轴旋转,杆与轴的夹角为(90 -α ) 。质量为 m 的质点可以沿杆滑动,摩擦系数为 μ 。求转动过程中,质点保 持在同一高度的条件(如图 8.1) 。 解:我们发现,采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如 果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值, 就称这个角 ε 为 “滑动 摩擦角” (如解图 8.1 所示) ,即 tan ε =μ 我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线 之间的夹角在滑动摩擦角之内,则摩擦力大到足以阻止运动。极 限情形是合力与摩擦角的一臂重合。 ? 对于本题,当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况 时,合力应位于(α +ε )角的双臂内(如解图 8.2 所示) 。 图 8.1
0

r

m?2r

?

?

?

mg
?

?

1 , 3 , 5

解图 8.1 解图 8.2 2 2 把质点压在杆上的力是重力 mg 与 mω r=mω Lcosα 的合力。 故质点在向上滑动的极限 情 形 下 , 角 ( α + ε ) 的 正 切 为

tan( ? ? ) ? ?

m? 2 L cos? ? 2 L cos? ? mg g

600

同理, 质点向下滑动的极限情形可用角 (α +ε ) 的正切得到。 于是,如果 tan( -? ) ? ?

450 300 150

? 2 L cos?
g

? tan( ? ? ) ?

则质点在旋转杆上处于平衡。 从边界条件可以看出,存在着一个较高位置(Lf)和一个 较低位置(La) ,质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇

0.1

0.2

0.3 m

解图 8.3 平衡状态。在这两边界之外,质点无法平衡,质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置 Lf-La 可由边界条件导出:

L f ? La ?

2 g tan? ? cos ? (1 ? tan2 ? ? tan2 ? )
2 3

解图 8.3 对不同的 α 角,画出质点在杆上哪些部分处于随遇 -1 0 平衡, (取 ω =10 s ,μ =0.268,ε =15 ) 。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。 【题 2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件,并就不同类型的透镜讨论可行 性。
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解答: 我们必须知道厚透镜的性质。 厚透镜 由下述数据表征:球形表面的半径 r1 和 r2,厚 度 d 和折射率 n (如解图 8.4 所示) 焦距 f=B F 。 由下式给出

r1
B A

r2
F

?1 1 1 n ?1 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ( ) ? f n r1 r2 ? ? r1 r2
焦距是从主点 B 算起的。B 点离表面的距离为

d

f

解图 8.4

BA ? h ?

r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立, 但只对近轴光线才给出满意的结果, 因为是在一 定的近似下得到的。 光被透镜色散。透镜对波长 λ a 的折射率是 n a,对波长 λ b 的折射率是 n b。按折射 率的幂次整理焦距公式,得 f(r1+r2-d)n2+[2fd-f(r1 +r2)-r1r 2]n-f d=0 这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可望解决。 先后以 n a 和 n b 代入方程,并令其相等:

n ?1 n ?1 1 1 1 1 (na ? 1)( ? ? d ? a ) ? (nb ? 1)( ? ? d b ) r1 r2 na r1r2 r1 r2 nb r1r2
结果得出 r1 ? r2 ? d (1 ?

1 ) na nb

如果半径 r1、r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两个不同的折射率 来说,焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 n a·n b 在起作用,而不是色散(n b-n a) 。 因为折射率大于1,于是括号内的数值小于1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相 当厚的。 结果讨论:首先透镜不能是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次, r1 和 r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。 如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值(注:即要求消除焦点色差) , 实现这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。 【题 3】质量为 m 的一簇离子在 P 点以同一速度 v 向不同方向散开(如图 8.2) 。垂直纸 面的均匀磁场 B 将这些离子聚焦于 R 点,距离 PR=2a,离子的轨道应是对称的。试确定磁 场区的边界。 磁场 解:在磁场 B 中,作用于电量为 Q、速度为 v 的质点 上的洛仑兹力为 Q v B。结果使粒子在半径为 r 的圆 v 轨道上运动,即: a a 2

QvB ?
m

mv r

P

y

R

质 量 为 图 8.2

的 所 有 粒 子 都 在 半 径 为

r
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A

b R a x

r?

mv 的相同的圆轨道上运动。离开磁场后,它们将沿最后的切线方向直线飞行。磁 QB

场边界应按所有离子都打在同一点 R 的要求去寻找。 要解决的数学问题是, 粒子应从这些半 径为 r 的圆的何处离开,才能使它们的切线在 R 点相交。这些半径为 r 的圆的圆心都位于 y 轴上(如解图 8.5 所示) 在半径为 r 的圆轨道上运动的粒子,在坐标为(x,y)的 A 点离开磁场,沿切线飞向 R。 由相似三角形得到: 解 图 8.5

y ?b a ? x ? x y
圆的方程为 x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 消去(y-b) ,得到满足条件的 A 点的集合,因此,表示磁场 边界的函数为:
P (a) R

y?

x(a ? x) r 2 ? x2

P R 这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线, (b) 把它对 y 轴反演即可。 表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离 a 和半径 r 的 相对大小(见解图 8.6(a)(b)(c)。 , , ) P R (c) 如果半径 r 小于 a(小速度强磁场) ,则磁场边界无限延伸, ① 向任何方向出发的离子也都能聚焦 。 ② 如果半径 r 等于 a,所有的离子也都能聚焦 。磁场边界在 P 和 R 点处垂直出发,处在 有限的范围内。 如果半径 r 大于 a, 边界更为平坦。 那些出发方向比 P 点切线更陡的离子不能达到 R 点。 解图 8.6 ① (注: 原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在 r<a 时,v 与 x 轴夹角 0 ② 大于 90 的离子无法聚焦。 在 r=a 时, “所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。v 与 x 0 轴夹角大于 90 的离子也无法聚焦。 ) 【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为 0.25W, 可供使用的是:对所有量程内阻均已知的两个电表,一个 9V 的电池,一个可调电阻器及一 个固定电阻器。 解答: 通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线, 表明该半导体器件是 齐纳( Z e n e r )二极管。 (注:原文无详细解答,没有给出测量伏安特性的具体线路)

1 , 3 , 5
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