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双曲线定义及标准方程_图文

时间:2018-06-30

双曲线及其标准方程

复习
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题: 引入问题:

Y

M (x, y)

F1 (? c , 0 )

O

F2( c , 0 ) X

平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 的点的轨迹是什么呢?
双曲线图象 拉链画双曲线

①如图(A), 如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a F|=2a ②如图(B), 如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a F|=2a 由①②可得: ①②可得: 可得 | |MF1|-|MF2| | = 2a 2a 差的绝对值) (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 与两个定点 等于常数(小于︱ 的点的轨迹叫做双曲线 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线 的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
两个定点F ① 两个定点 1、F2——双曲线的焦点 双曲线的焦点; 焦距. ② |F1F2|=2c ——焦距 说明 (1)2a<2c ; ) (2)2a >0 ; )
F1 o F2 M

思考: 思考: 则轨迹是什么? ) (1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 ) 则轨迹是什么 则轨迹是什么? ) (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 ) 则轨迹是什么 则轨迹是什么? (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线 ) 则轨迹是什么 (3)线段 线段F

请说出下列方程对应曲线的名称: 请说出下列方程对应曲线的名称:

(1) F1 (?5,0),F2 (5,0),|| PF | ? | PF ||= 6 1 2
( 2) F1 ( ?5,0), F2 (5,0), | PF1 | ? | PF2 |= 6
(3) ( x + 5) 2 + y 2 ? ( x ? 5) 2 + y 2 |= 6 ) |

(双曲线 )
( 双曲线右支)
(双曲线) 双曲线)

(4) ( x + 4)2 + y 2 ? ( x ? 4)2 + y 2 = 6 双曲线右支) ) (双曲线右支) (5) )
( x ? 4 )2 + y 2 +
2 2

( x + 4 ) 2 + y 2 = 25
2 2

椭圆) ( 椭圆)

(6) x + ( y + 4) ? x + ( y ? 4) = 8 (以(0,4)为端 ) , ) 沿着y轴正向的一条线)(片 轴正向的一条线)( 点,沿着 轴正向的一条线)(片)

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 求曲线方程的步骤: 建系. 1. 建系. 所在的直线为x轴 以F1,F2所在的直线为 轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点. 2.设点. 设点 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) ( )则 3.列式 3.列式
F1

y
M

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a ±
2 2 2 2

即 (x + c) + y ? (x ? c) + y = ±2a
4.化简 4.化简

(x + c)2 + y2 ? (x ? c)2 + y2 = ±2a

( (x + c)

2

+y

2

) = (± 2a +
2

(x ? c) + y
2

2

)

2

cx ? a = ±a (x ? c) + y
2 2

2

(c ? a )x ? a y = a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a2 = b2
x a2
2

? b2 =1 a > 0, b > 0) (

y2

此即为 焦点在x 焦点在 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在 轴上呢 若建系时 焦点在y轴上呢 焦点在 轴上呢?
y
M

y M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 =1 2 a b

2

2

y x ? 2 =1 2 a b

2

2

(a > 0,b > 0)

两种标准方程的特点
y
M

y
F2

M

F1

o

F2

x
F1

x

y x x y ? 2 = 1(a > 0,b > 0) 2 ? 2 = 1(a > 0,b > 0) a b a2 b 大小不定。 方程用“ 号连接。 ① 方程用“-”号连接。 ② a , b 大小不定。
B

2

2

2

2

如何确定焦点位置?? =a +b 。 如何确定焦点位置?? 2 的系数是正的, 轴上; ④如果 x 的系数是正的,则焦点在 x 轴上; 2 的系数是正的, 轴上。 如果 y 的系数是正的,则焦点在 y 轴上。
③c
2 2 2
abc关系

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭 圆
定义

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a -

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0) ( , ) F(0,±c) ( , )

F(±c,0) ( , ) F(0,±c) ( , ) a>0,b>0,但a不一 , , 不一 定大于b, 定大于 ,c2=a2+b2

a.b.c的关 的关 系

a>b>0,a2=b2+c2 ,

1.判断下列方程是否表示双曲线? 1.判断下列方程是否表示双曲线?若 判断下列方程是否表示双曲线 及其焦点坐标. 是,求出 a , b , c及其焦点坐标.
x2 y 2 (1) ? =1 4 2 x2 y 2 (3) ? = ?1 3 4 (2) x 2 ? y 2 = 2 x2 y2 (4) ? = 1(m > 0, n > 0) m n

答案: )a = 2, b = 2 , c = 6 , (1
(3)a = 2, b = 3, c = 7,

F1 (? 6 ,0), F2 ( 6 ,0)

(2)a = 2 , b = 2 , c = 2 , F1 (?2,0), F2 (2,0)
F1 (0,? 7 ), F2 (0, 7 )
返回

(4)a = m, b = n , c = m + n , F1(? m + n ,0), F2 ( m + n ,0)

2.

x y ? =1(mn> 0) m n

2

2

是否表示双曲线? 是否表示双曲线?

分析: 分析:
?m > 0 (1 ) 当 ? 时 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线; 轴上的双曲线; ? n > 0

?m < 0 ( 2 )当 ? 时 ,表示焦点在 y 轴上的双曲线。 轴上的双曲线。 ?n < 0
返回

参考课本 例 1(参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足

PF1 ? PF2 = 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.
解: ∵ F1 F2 = 10 >6,
PF1 ? PF2 = 6

由双曲线的定义可知, 的轨迹是一条双曲线, ∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 设所求方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设所求方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5. =6,2 =10,∴ =3, x2 y2 ? =1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 变式训练 1:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.

解: ∵ F1 F2 = 10 ,

P F1 ? P F 2 = 1 0

的轨迹是两 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y = 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变式训练 变式训练 2:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.

变式2答案 变式 答案

变式训练 变式训练 2:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.

解: ∵ F1 F2 = 10 >6, PF1 ? PF2 = 6
由双曲线的定义可知, ∴ 由双曲线的定义可知, 的轨迹是双曲线的一支 右支) 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

x y 曲线方程为 方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b 2 2 2 =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5.∴b =5 -3 =16. =6,2 =10,∴ =3, =5.∴
x2 y2 ? = 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
课本例2 课本例

2

2

练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在 轴上 焦点在x轴上 焦点在 轴上; 2.焦点为 焦点为(0,-6),(0,6),过点 过点(2,5) 焦点为 过点 3.a=4,过点 过点(1, 过点
4 10 3

)

x y 例2:如果方程 ? = 1 表示双曲 2+ m m +1 的取值范围. 线,求m的取值范围. 的取值范围

2

2

解: 由(2 + m )(m + 1) > 0 得m < ?2或m > ?1 值范围为 ∴ m 的取值范围为 ( ?∞, ?2) U ( ?1, +∞ ) 思考: 思考: 2 2 表示焦点在y轴双曲线时, 方程 x ? y = 1 表示焦点在y轴双曲线时, 2+ m m+1

m < ?2 则m的取值范围_____________. 的取值范围_____________.

作业:1.课本 作业:1.课本 P

内切, 2. 已知动圆 ⊙P 与 ⊙F1 : ( x + 5)2 + y 2 = 36 内切 , 且 的轨迹方程. 过点 F2 (5, 0) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.

67

习题 2.3B 组第 2 题

选做作业: 选做作业:

x2 1.设 的两个焦点, 1.设 F1 , F2 是双曲线 ? y 2 = 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上 4
的面积是_______. 且满足 ∠F1 PF2 = 90 ,那么 △F1 PF2 的面积是_______.
o

x y ? = 1 ( x < ? 3) 9 16

2

2

1

2.已知点 2.已知点 A(0, 7) , B(0, ?7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、 、 B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程. 两点的椭圆, 的轨迹方程.

x y ? = 1( y ≤ ?1) 48
2

2


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