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江苏省扬州中学2017-2018学年高三上学期数学10月考试卷

时间:2017-10-16


江苏省扬州中学 2017-2018 学年高三数学 10 月考
2017 年 10 月 07 日

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? a ? 0} ,且 1 ? A ,则实数 a 的取值范围是▲. 2.设 (1 ? 2i)2 ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 i 是虚数单位,则 ab ? ▲. 3.已知 m 为实数,直线 l1 : mx ? y ?1 ? 0 , l2 : (3m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 ,则“ m ? 1 ”是 “ l1 // l2 ”的 ▲ 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不

必要”中选择一个填空) . 4.抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线的距离为___▲__. 2 8

5.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ___▲___. 6.方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 ▲ 个不同的实数根.

x2 ? ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1 PF2 ? , 7.设 F1 、 F2 是椭圆 2 4
则点 P 到 x 轴的距离为▲.
? 8.在三角形 ABC 中, A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7, 则

sin B 的值为▲. sin C

2 x ??a , b? 的值域为 ? ?1, 3? ,则 b ? a 的取值范围是_▲___. 9.已知函数 f ( x) ? x ? 2x ,

10.已知圆 C 过点 (1, 0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦 长为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为▲. 11.已知函数 y ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [0,

?
2

] 上为增函数, 且图象关于点 (3? , 0) 对称, 则

? 的取值集合为▲.

12.在矩形 ABCD 中,已知 AB ? 3, AD ? 2 ,点 E 是 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若
? ??? ? ??? ? ??? ? ??? AB ? AF ? 3 则 AE ? BF 的值是▲.

13.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 2 (ax ? 2) ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? f / ( x), x ?[0,1] , 在 x ? 0 处取得最小值,则负数 a 的取值范围为▲. 14.在直角坐标中 xOy ,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 8 ,圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 18 ,点 M ?1, 0? ,动点 A 、

B 分别在圆 C1 和圆 C2 上,满足 MA ? MB ,则 | MA ? MB | 的取值范围是▲.
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? x ? (1)求 f ( x ) 的值域; (2)若 ?ABC 的面积为 的周长.

????

????

???? ????

? ?

??

? , x ? [0, 2 ] 6?

?

1 3 3 ,角 C 所对的边为 c ,且 f (C ) ? , c ? 7 ,求 ?ABC 2 2

16.(本小题满分 14 分)

B 两点, 二次函数 y ? x ? bx(b ? 0) 图像与 x 轴交于 O ,A 两点, 交直线 l : y ? x 于 O ,
2

经过三点 O , A , B 作圆 C . (1)求证:当 b 变化时,圆 C 的圆心在一条定直线上; (2)求证:圆 C 经过除原点外的一个定点.

17.(本小题满分 14 分)

? 3? 3? ? ? ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) ,且 ? ? [0, ] . 2 2 2 2 3 ? ? a ?b (1)求 ? ? 的最值; |a?b| ? ? ? ? (2)若 | ka ? b |? 3 | a ? kb | ,求实数 k 的取值范围.
已知 a ? (cos

?

18.(本小题满分 16 分) 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共 设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 f (x)=1-ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M、N,交曲线于点 P, 设 P(t,f (t)). (1)将△OMN(O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S(t); 1 (2)若在 t=2处,S(t)取得最小值,求此时 a 的值及 S(t)的最小值.

19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点 F (1, 0) ,左、右顶点分别 2 a b 2

为 A ,B , 直线 l 过 F 点且与椭圆 C 交于 P 、 (点 P 在 x 轴上方) , 直线直线 AP , Q 两点

BQ 的斜率分别为 k1 , k2 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 k1 ? 1 ,求 ?AFP 的面积; (3) 是否存在常数 ? , 使得 k1 ? ? k2 ?若存在, 求出 ? 的值; 若不存在, 请说明理由.

y P A

O Q

F

B

x

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) 有且仅有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a 满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 ?如存在,求 f ( x) 的极大值;如不存在,请说明理 由.
2

高三数学 10 月考附加题
?1 ? 0? ?3 0 ? ?1 ? 21.已知矩阵 A ? ? ? , A 的逆矩阵 A ? ? 3 ? ,求 A 的特征值. ?2 a ? ? b 1?

22.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取
3 ? x ?2? t ? ? 5 相同的单位长度.已知曲线 C1 : ? ( t 为参数)和曲线 C2 : ? sin 2 ? ? 2cos? 相交 4 ?y ? t ? 5 ?

于 A、 B 两点,求 AB 中点的直角坐标.

23.抛掷甲, 乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1, 2, 3, 4 的正四面体, 其底面落于桌面, 记所得数字分别为 x, y. 设 ? 为随机变量, 若 x 为整数, 则? ? 0 ; 若 x 为小于 1 的分数, y y x 则 ? ? ?1;若 为大于 1 的分数,则 ? ? 1 . y (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

* 24.已知 m, n ? N ,定义 f n (m) ?

n(n ? 1)( n ? 2) ??? ( n ? m ?1) . m!

(1)记 am ? f6 (m) ,求 a1 ? a2 ? ??? ? a12 的值; (2)记 bm ? (?1)m mfn (m) ,求 b1 ? b2 ? ??? ? b2n 所有可能值的集合.

高三 10 月考参考答案
1. a ? ?1 2. ?12 3.充分不必要 4.

2 5 5.-1 5

6.2

7.

3 3

8.

3 5

1 2 9. [2 , 4] 10. x ? y ? 3 ? 0 11.{3,3,1}

3 12. 1 ? 3 13. [? ,0) 14. ? 4,6? 2

2 2 ???? ???? ? ? x1 ? y1 ? 8 AB 14.【解析】 | MA ? MB | 即为线段 的长.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 . 2 ? ? x2 ? y2 ? 18

又 PQ 的中点 N ( x, y ) ,即 N ( 则有 x 2 ? y 2 ?

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

( x12 ? y12 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) 13 1 ? ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) , 4 2 2

由条件, MA ? MB ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 x ? 1 , 所以 x2 ? y 2 ?
? 5 ? 1 5 ? 1? 13 1 1 25 , ,由于 AB ? 2 MN , MN ? ? , ? x ? ,即 ( x ? )2 ? y 2 ? 2 ? 2 2 2 4 ? 2 ?

所以 AB ? ? 4,6? .

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 1 ? cos 2 x 3 3? 1?1 ? 15.解: (1)f ( x ) ? ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x 2 2 2?2 2 ? 2
?? 3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? . 4 4 2 ? 6?

? ? ? 5? 1 1 ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [? , ] ,故 f ( x) ? [? , ] . 2 6 6 6 4 2
(2)由已知,

1 ? 1 3 3 .由 f (C ) ? ,得 C ? ,所以 ab ? 6 . ab sin C ? 2 3 2 2
2

2 2 2 2 由已知及余弦定理得, a ? b ? 2ab cos C ? 7 .故 a ? b ? 13 ,从而 ? a ? b ? ? 25 .

所以 ??? C 的周长为 5 ? 7 . 16.解: (I)在方程 y=x +bx 中.令 y=0,y=x,易得 A(﹣b,0) ,B(1﹣b,1﹣b) 2 2 设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey=0,
2


2 2

?



故经过三点 O,A,B 的圆 C 的方程为 x +y +bx+(b﹣2)y=0, 设圆 C 的圆心坐标为(x0,y0) , 则 x0=﹣ ,y0=﹣ ,∴y0=x0+1,

这说明当 b 变化时, (I)中的圆 C 的圆心在定直线 y=x+1 上. 2 2 2 2 (II)设圆 C 过定点(m,n) ,则 m +n +bm+(b﹣2)n=0,整理得(m+n)b+m +n ﹣ 2n=0, 它对任意 b≠0 恒成立,∴ ? 或

故当 b 变化时, (I)中的圆 C 经过除原点外的一个定点坐标为(﹣1,1) . 17.[解答] (1)∵a· b=cos2θ, |a+b|2=|a|2+|b|2+2a· b=2+2cos2θ=4cos2θ. a· b cos2θ 1 ∴ = =cosθ- . 2cosθ |a+b| 2cosθ 1? 1 1 令 t=cosθ,则 ≤t≤1,? ?t-2t?′=1+2t2>0. 2 1 ? 1 1 1 1 ∴t- 在 t∈? ?2,1?上为增函数.∴-2≤t-2t≤2, 2t 1 1 即所求式子的最大值为 ,最小值为- . 2 2 2 2 (2)由题设可得|ka+b| =3|a-kb| , 又|a|=|b|=1,a· b=cos2θ, 1+k2 ∴原式化简得 cos2θ= . 4k 2 π 1 1 1+k 由 0≤θ≤ ,得- ≤cos2θ≤1,∴- ≤ ≤1, 3 2 2 4k 解得 k∈[2- 3,2+ 3]∪{-1}. 18.【解析】(1)y′=-2ax,∴切线斜率是-2at, ∴切线方程为 y-(1-at2)=-2at(x-t). 令 y=0,得 x=

? 1+at 2 ? 1+at 2 ,∴M ? ,0? , 2at ? 2at ?
2 2
2 2

?1+at ? 令 x=0,得 y=1+at ,∴N(0,1+at ),∴△OMN 的面积 S(t)=
4at
(2)S′(t)=

.

3a 2t 4+2at 2- 1 (at 2+ 1)(3at 2-) 1 , = 2 2 4at 4at

由 a>0,t>0,S′(t)=0,得 3at2-1=0,即 t=

1 . 3a

当 3at2-1>0,即 t>

1 1 时,S′(t)>0;当 3at2-1<0,即 0<t< 时,S′(t)<0. 3a 3a

∴当 t=

1 时,S(t)有最小值. 3a
1 2

已知在 t= 处,S(t)取得最小值,故有

1 1 = , 3a 2
4 1 (1+ ? ) 2 3 4 =2. 4 1 3 4? ? 3 2

4 4 1 ?1? ∴a= .故当 a= ,t= 时,S(t)min=S ? ? = 3 3 2 ?2?
答:略 19.解: (1)? e ?

1 c ? , c ? 1? a ? 2 ,? a 2 ? b 2 ? c 2 ?b ? 3 , 2 a

x2 y2 ? 椭圆方程为 ? ? 1??????4 分 4 3

y ? x?2 (2)? A(- 2,0),k1 ? 1 ,? 直线AP的方程为
2 ? x1 ? ? ?y ? x ? 2 ? ? ? 7 由 ? x2 得? y2 ? 1 ? y ? 12 ? ? 1 3 ?4 ? 7 ? ? x 2 ? ?2 ? ? y2 ? 0

2 12 1 1 12 18 ? P(? , ) ? S ?AFP ? ? AF ? y P ? ? 3 ? ? ??????10 分 7 7 2 2 7 7
(3)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,

代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (4 ? 3m2 ) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , 4 3

y1 ? y2 ? ?

6m 9 9m 3 ? ( y1 ? y2 ) , , y1 y2 ? ? ,所以 my1 y2 ? ? 2 2 2 4 ? 3m 4 ? 3m 4 ? 3m 2

由 A(?2, 0) , B(2, 0) , x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 ,

3 ( y1 ? y2 ) ? y1 k1 y1 x2 ? 2 y1 (my2 ? 1) 1 ? ? ? ? 2 ? , 所以 k2 2 ? x1 y2 y2 (my1 ? 3) 3 ( y ? y ) ? 3 y 3 1 2 2 2 1 1 故存在常数 ? ? ,使得 k1 ? k 2 .??????16 分 3 3
20.(1) f ?( x) ? 2ax ? e x . 显然 a ? 0 , x1 , x2 是直线 y ? ? 由 g ?( x) ?
1 x 与曲线 y ? g ( x) ? x 两交点的横坐标. 2a e

1? x ? 0 ,得 x ? 1 .列表: ex
x
g ?( x) g ( x) (??,1)

1
0

(1, ??)
?

?



g ( x)max ?

1 e



此外注意到: 当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ;
1 1 当 x ? [0,1] 及 x ? (1, ??) 时, g ( x) 的取值范围分别为 [0, ] 和 (0, ) . e e

于是题设等价于 0 ? ?

1 1 e e ? < ? a ? ? ,故实数 a 的取值范围为 (??, ? ) . 2a e 2 2

(2)存在实数 a 满足题设.证明如下: 由(1)知, 0 ? x1 ? 1 ? x2 , f ?( x1 ) ? 2ax1 ? e x1 ? 0 , 故 f ( x1 ) = ax12 + e x1 ? e x1 ? 记 R( x) ?
2 2 x1 x1 e x1 1 x1 ? e ? e3 ? 0 . e ? e 3 x1 ,故 2 x1 2

2 ex 1 x ex ( x ? 1) 1 x ? e ? e 3 (0 ? x ? 1) ,则 R?( x) ? ? e ?0, x 2 x2 2

于是, R( x) 在 (0,1) 上单调递减.

2 2 又 R( ) ? 0 ,故 R( x) 有唯一的零点 x ? . 3 3

从而,满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 的 x1 ?

2

e x1 3 2 2 ? ? e3 . .所以, a ? ? 2 x1 4 3

3 2 3 2 此时 f ( x ) ? ? e 3 x 2 ? e x , f ?( x) ? ? e 3 x ? e x , 4 2

2 又 f ?(0) ? 0 , f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 ,而 x1 ? ? (0,1) , 3
3 2 2 2 故当 a ? ? e 3 时, f ( x)极大 ? f ( x1 ) ? e 3 . 4 3

【附加题】

?3 0 1.解:因为 AA = ?2 a
-1

?1 ?? 3 0 ?? ?b 1

0? ? ? 1 ?=? 2 ? ?1 0? ? ? +ab a ?=? 0 1 ?. ? ?3 ?

? ?a=1, 所以?2 +ab=0. ? ?3
2 解得 a=1,b=-3.???????? 5 分 得 A=

? 3 0 ?, ?2 1? ? λ-3 ? -2

0 ? ?=(λ-3)( λ-1). λ-1 ? 令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=1,λ2=3.??????? 10 分 则 A 的特征多项式 f(λ)=?

2.解:将 C1 化为直角坐标方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 将 C2 化为直角坐标方程为 y 2 ? 2 x

将直线方程代入 y 2 ? 2 x 可得 2 y 2 ? 3 y ? 8 ? 0
2 y 2 ? y2 41 3 ? , y1 y2 ? ?4 ,所以, x1 ? x2 ? 1 2 8 2 ? 3 41 ? 所以,中点坐标为 ? , ? ? 4 16 ?

解之可得 y1 ? y2 ?

3.解: (1)依题意,数对(x,y)共有 16 种,其中使 x 为整数的有以下 8 种: y (1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (2, 1) , (3, 1) , (4, 1) , (4, 2) , 所以 P(? ? 0) ? 8 ? 1 ; 16 2 0 (2)随机变量 ? 的所有取值为 ?1 , , 1 , ? ? ?1有以下 6 种: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , 故 P(? ? ?1) ? 6 ? 3 ; 16 8 ? ? 1 有以下 2 种: (3,2) , (4,3) ,故 P(? ? 1) ? 2 ? 1 ; 16 8 所以 ? 的分布列为: ?1 ? 0 1

P
E (? ) ? ?1 ? 3 ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? ? 1 , 8 2 8 4

3 8

1 2

1 8

答: ? 的数学期望为 ? 1 . 4

? ?0,m≥n+1, 4.解: (1)由题意知,fn(m)=? m ?C n ,1≤m≤n. ? ?0,m≥7, ? 所以 am=? m ??????? 2 分 ? ?C 6 ,1≤m≤6.

所以 a1+a2+?+a12=C6+C6+?+C6=63.???????4 分
?0,m≥2, (2)当 n=1 时,bm=(-1)mmf1(m)=? 则 b1+b2=-1.????6 分 ?-1,m=1. ? ?0,m≥n+1, m 当 n≥2 时,bm=? m ?(-1) m?C n ,1≤m≤n. ?

1

2

6

(n-1)! n! m-1 m 又 mC n =m· =n· =nC n-1 , m!(n-m)! (m-1)!(n-m)!

所以 b1+b2+?+b2n=n[-Cn-1+Cn-1-Cn-1+Cn-1+?+(-1)nCn-1]=0. 所以 b1+b2+?+b2n 的取值构成的集合为{-1,0}.????10 分

0

1

2

3

n-1


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