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2014年北京市东城区一模数学理科试题及答案(word)

时间:2014-04-10


北京市东城区 2013-2014 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
要求的一项。 (1)已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,则 ?R A ?

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(A) {x | x ? ?1 ,或 x ? 2} (B) {x | x ? ?1 ,或 x ? 2} (C) {x | ?1 ? x ? 2} (D) {x | ?1 ? x ? 2} (2)复数 (A)

i ? 1? i

1 1 1 1 ? i (B) ? i 2 2 2 2 1 1 1 1 ? i (D ) ? ? i 2 2 2 2
? 3

(C) ?

(3)为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象 (A)向左平移 (C)向左平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6

(B)向右平移 (D)向右平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 6

(4)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? (A) 27 (C) 45 (B) 36 (D) 63

(5)在极坐标系中,点 ( 2, ) 到直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于

? 4

(A)

2 (B) 2 2 3 2 (D) 2 2

(C)

(6)如图,在△ ABC 中, AB ? 1, AC ? 3 , D 是 BC 的中点,则 AD ? BC ? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)不能确定

???? ??? ?

A

B

D

C

x2 y 2 2 2 (7)若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 相切,则双曲线的 a b
离心率为 (A) 2 (B)

3 2

(C)

2 3 (D) 3 3

?1, x ? 0, ? 2 (8)已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0, 则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ??1, x ? 0, ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

第二部分(非选择题
二、 填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9) ( x ? ) 6 的二项展开式中的常数项为. (用数字作答) (10)如图, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C ,使 AB ? 2BC ,且 BC ? 2 , CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,连接 AD ,则 CD ? ; ?DAB ? .
D

1 x

A O

B

C

(11)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点 P( x, y ) ,则 ?0 ? y ? 2

x ? y ? 3 的概率为.
(12) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 6 , 则 x ? 0 时,f ( x)
2

的解析式为;不等式 f ( x) ? x 的解集为. (13)某写字楼将排成一排的 6 个车位出租给 4 个公司,其中有两个公司各有两辆汽车,如 果这两个公司要求本公司的两个车位相邻,那么不同分配方法共有种. (用数字作答) (14) 如图, 在三棱锥 A ? BCD 中,BC ? DC ? AB ? AD ?

2 ,BD ? 2 ,平面 ABD ?

平面 BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段 AO , BC 上的动点(不含端点) ,且

AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的最大值为.
A

P D O B Q C

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,

sin A 3 cos B . ? a b

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

(16) (本小题共 13 分) 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在 寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时) ,统计结果绘成频率分布直方图(如图) .已知 甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间 [2, 4] 的有 8 人. 频率/组距 0.17 5 0.07 5 0.05 0 0.02 5 频率/组距

0.1500 0.1250 0.1000 0.0875

a
0 2 4 6 8 甲 101 121 小 时

0

2

4

6 8 乙

0

2

小时

(Ⅰ)求直方图中 a 的值及甲班学生中每天平均学习时间在区间 ?10,12? 的人数; (Ⅱ) 从甲、 乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试. 设4 人 中甲班学生的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? PA ? 1 ,

AD ? 3 , F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点.
(Ⅰ)求证: AF ? 平面 PBC ; (Ⅱ)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45? .

P

F

A

B

D C

E

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 4ln( x ? 1) , a ? R .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 已知点 P(1, 1) 和函数 f ( x) 图象上动点 M (m, f (m)) , 对任意 m ?[2, e? 1] , 直线 PM 倾斜角都是钝角,求 a 的取值范围.

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(1, ) 和点 B(0, ?1) . 2 3 a b
3 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设过点 P (0, ) 的直线 l 与椭圆 G 交于 M , N 两点,且 | BM |?| BN | ,求直线 l 的方 程.

(20) (本小题共 14 分) 已知集合 {1, 2,3, 4,...,n }( n ? 3 ),若该集合具有下列性质的子集:每个子集至少含有 2 个 元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于 1 ,则称这些子集为 T 子集,记 T 子集 的个数为 an . (Ⅰ)当 n ? 5 时,写出所有 T 子集; (Ⅱ)求 a10 ; (Ⅲ)记 Sn ?

a3 a4 a5 a ,求证: Sn ? 2 . ? 4 ? 5 ? ... ? n 3 2 2 2 2n

北京市东城区 2013-2014 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)C(3)D (4)D

(5)A(6)B(7)C(8)B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?20 (10) 2 3 30? (11)

7 2 (12) f ( x) ? ? x ? 6 (?2,0) ? (2, ??) 8
2 48

(13) 24 (14)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为

sin A 3 cos B a b , , ? ? a b sin A sin B
3.

所以 sin B ? 3 cos B , tan B ? 因为 B ? (0, ?) , 所以 B ?

? . …………………6 分 3

(Ⅱ)因为 B ?

? , 3

a 2 ? c2 ? b2 1 ? . 所以 cos B ? 2ac 2
因为 b ? 2 , 所以 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 2ac . 所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) . 所以 S? ABC ?

1 ac sin B ? 3 . 2

所以△ ABC 面积最大值为 3 .……………13 分 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由直方图知, (0.150 ? 0.125 ? 0.100 ? 0.0875 ? a) ? 2 ? 1 , 解得 a ? 0.0375 .

因为甲班学习时间在区间 [2, 4] 的有 8 人, 所以甲班的学生人数为

8 ? 40 . 0.2

所以甲、乙两班人数均为 40 人. 所以甲班学习时间在区间 ?10,12? 的人数为 . …………6 分 40 ? 0.0375 ? 2 ? 3 (人) (Ⅱ)乙班学习时间在区间 ?10,12? 的人数为 40 ? 0.05 ? 2 ? 4 (人) . 由(Ⅰ)知甲班学习时间在区间 ?10,12? 的人数为 3 人. 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人.

1,, 2 3. ? 的所有可能取值为 0,
4 C30C4 1 P(? ? 0)= ? . 4 C7 35

P(? ? 1)= P(? ? 2)=

1 3 C3 C4 12 ? . C74 35 2 C32C4 18 ? . 4 C7 35

3 1 C3 C 4 P (? ? 3)= 4 4 ? . C7 35

所以随机变量 ? 的分布列为:

?

0
1 35

1
12 35

2
18 35

3
4 35

P

E? ? 0 ?

1 12 18 4 12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ………………13 分 35 35 35 35 7

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD ,

BC ? 平面 ABCD ,
所以 PA ? BC . 因为 ABCD 是矩形, 所以 BC ? AB . 因为 PA ? AB ? A , 所以 BC ? 平面 PAB .

因为 AF ? 平面 PAB , 所以 BC ? AF . 因为 AB ? PA , F 是 PB 中点, 所以 AF ? PB . 因为 PB ? BC ? B , 所以 AF ? 平面 PBC .…………………6 分 (Ⅱ)解:因为 PA ? 平面 ABCD , AB ? AD , 所以以 A 为坐标原点, 设 BE ? a , AD, AB, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则 P(0, 0,1), D( 3,0, 0), E ( a,1, 0) , F (0,

1 1 , ). 2 2

所以 DE ? (a ? 3,1, 0), PD ? ( 3, 0, ?1) .

????

??? ?

z
P

F

A

B

y
D E C

x ???? ? ?m ? DE ? 0, 设平面 PDE 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ?m ? PD ? 0.
所以 ?

? ?(a ? 3) x ? y ? 0, ? ? 3x ? z ? 0.
3?a,z ? 3 ,

令 x ? 1 ,得 y ?

所以 m ? (1, 3 ? a, 3) . 平面 PCE 的法向量为 n ? AF ? (0, , ) .

??? ?

1 1 2 2

m?n ? 所以 cos ? m, n ?? | m || n |

1 3? a 2 2 ? a 2 ? 2 3a ? 7 2

?

2 . 2

所以 a ?

5 3 . 6

所以当 BE ?

5 3 时,二面角 P ? DE ? A 为 45? .…………………14 分 6
2

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 4ln( x ? 1) ,定义域为 (1, ? ?) ,

f ?( x) ? 2 x ?

4 2 x 2 ? 2 x ? 4 2( x ? 1)( x ? 2) ? ? x ?1 x ?1 x ?1

x
f ?( x)

(1, 2)
?

(2, ? ?)

?
?

f ( x)

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 (2, ? ?) ,单调递减区间为 (1, 2) .……5 分 (Ⅱ)因为对任意 m ?[2, e? 1] ,直线 PM 的倾斜角都是钝角, 所以对任意 m ?[2, e? 1] ,直线 PM 的斜率小于 0 , 即

f (m) ? 1 ? 0 , f (m) ? 1 , m ?1

即 f ( x) 在区间 [2, e ? 1] 上的最大值小于1 .

f ?( x) ? 2ax ?
2

4 2(ax 2 ? ax ? 2) ? , x ? (1, ? ?) . x ?1 x ?1

令 g ( x) ? ax ? ax ? 2 ( x ? R ). (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4ln( x ? 1) 在 [2, e ? 1] 上单调递减,

f ( x) m a x ? f (2) ? 0 ? 1 ,显然成立,所以 a ? 0 .
(2)当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 的图象开口向下, 且 g (0) ? ?2 , g (1) ? ?2 ,

?x ? (1, ??) , g ( x) ? 0 ,
故 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ? ?) 上单调递减, 故 f ( x) 在 [2, e ? 1] 上单调递减, f ( x) max ? f (2) ? 4a ? 1 ,显然成立, 所以 a ? 0 . (3)当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 的图象开口向上, 且 g (0) ? ?2 , g (1) ? ?2 , 所以 ?x0 ? (1, ? ?) ,当 x ? (1, x0 ) 时, g ( x) ? 0 ,

当 x ? ( x0 , ? ?) 时, g ( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在区间 (1, ? ?) 内先递减再递增, 故 f (x) 在区间 [2, e ? 1] 上的最大值只能是 f (2) 或 f (e? 1) . 所以 ?

? 4a ? 1, ? f (2) ? 1, 即? 2 ? f (e ? 1) ? 1, ? a (e ? 1) ? 4 ? 1,
1 . 4

所以 0 ? a ? 综上 a ?

1 .……………13 分 4

(19) (共 13 分)

x2 y 2 6 解:(Ⅰ)因为椭圆 G : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(1, ) 和点 B(0, ?1) , 3 a b

1 所以 b ? 1,由 2 ? a

(

6 2 ) 3 ? 1 ,得 a 2 ? 3 . 1
x2 ? y 2 ? 1 .……………5 分 3
3 . 2

所以椭圆 G 的方程为

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,且 k ? 0 . 设直线 l 的方程为 y ? kx ?

? x2 ? y 2 ? 1, ? 1 5 ? 由? 3 消去 y 并整理得 (k 2 ? ) x 2 ? 3kx ? ? 0 . 3 4 ?y ? kx? 3 . ? 2 ?
由 ? ? 9k 2 ? 5(k 2 ? ) ? 0 , k 2 ?

1 3

5 . 12

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , MN 中点为 Q( x0 , y0 ) , 得 x0 ?

y ? y2 3 x1 ? x2 9k ? 2 , y0 ? 1 . ?? 2 2 6k ? 2 2 6k ? 2

由 | BM |?| BN | ,知 BQ ? MN ,

3 ?1 y0 ? 1 1 1 6 k ? 2 ? ? 所以 ,即 ?? . 9k x0 k k ? 2 6k ? 2
2

化简得 k 2 ?

2 ,满足 ? ? 0 . 3

所以 k ? ?

6 . 3

因此直线 l 的方程为 y ? ?

6 3 x ? .……………13 分 3 2

(20) (共 14 分) 解:(Ⅰ) 当 n ? 5 时,所有 T 子集: {1,3},{1, 4},{1,5},{2, 4},{2,5},{3,5},{1,3,5} . ……… 4 分 (Ⅱ) {1, 2,3, 4,..., k , k ? 1, k ? 2} 的 T 子集可分为两类: 第一类子集中不含有 k ? 2 ,这类子集有 ak ?1 个; 第二类子集中含有 k ? 2 ,这类子集或为 {1, 2, 3, 4, ..., k 的 } T 子集与 {k ? 2}的并,或为

{1, 2, 3, 4, ..., k 的单元素子集与 } {k ? 2} 的并,共有 ak ? k 个.
所以 ak ? 2 ? ak ?1 ? ak ? k . 因为 a3 ? 1, a4 ? 3 , 所以 a5 ? 7, a6 ? 14, a7 ? 26, a8 ? 46, a9 ? 79, a10 ? 133 . (Ⅲ)因为 Sn ? 所以 ………9 分

a 1 3 7 , ? 4 ? 5 ? ... ? n 3 2 2 2 2n




1 Sn ? 2

a ?1 an 1 3 ? 5 ? ... ? nn ? n?1 , 4 2 2 2 2

①-②得

a ?n?2 a 1 1 2 4 7 Sn ? 3 ? ( 4 ? 5 ? 6 ? ... ? n?2 n ) ? nn 2 2 2 2 2 2 2 ?1

? ?
?

a ?3 a ?4 a ?n?2 a 1 2 ? 4 ? ( 3 5 ? 4 6 ? ... ? n?2 n ) ? nn 3 2 2 2 2 2 2 ?1 a ?n?2 a 1 2 1 a3 ? 3 a4 ? 4 ? 4 ? 2 ( 3 ? 4 ? ... ? n ?2 n?2 ) ? nn 3 2 2 2 2 2 2 2 ?1

a ?2 a 1 2 1 a3 a4 3 4 n?2 ? 4 ? 2 ( 3 ? 4 ? ... ? n ) ? ( 5 ? 6 ? ... ? n ) ? nn 3 n ?2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?1 a 1 2 1 3 4 n?2 ? 3 ? 4 ? 2 Sn?2 ? ( 5 ? 6 ? ... ? n ) ? nn 2 2 2 2 2 2 2 ?1 ? 1 1 1 1 n ?1 a ? Sn?2 ? ? ( )n?1 ? n ? nn 4 4 4 2 2 2 ?1

?
?

1 1 1 ? Sn ? 2 ? 4 4 4
1 1 ? Sn 2 4

所以 Sn ? 2 . ………14 分


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