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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第8章 第5节 椭圆

时间:2014-07-23


第五节

椭圆

[主干知识梳理] 一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之 和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两

焦点F1,F2间的距离叫做椭圆的 焦距 .

二、椭圆的标准方程及其几何性质

条件

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

图形

标准方程

x2 y2 y2 x2 + =1(a>b>0) 2+ 2=1(a>b>0) a2 b2 a b

范围

|x|≤a;|y|≤b

|x|≤b;|y|≤a

对称性

曲线关于 x轴、y轴、 曲线关于 x轴、y轴、

原点

对称

原点 对称

顶点

长轴顶点 (±a,0) 短轴顶点 (0,±b)

长轴顶点 (0,±a) 短轴顶点 (±b,0)

焦点

(±c,0)

(0,±c)

焦距

|F1F2|=

2 2 2 2c (c = a -b )

离心率

c e= ∈ (0,1) ,其中 c= a

a2-b2

通径

2b2 过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为 a

[基础自测自评] x2 y2 1.(教材习题改编)设 P 是椭圆 + =1 的点,若 F1,F2 是椭圆 4 9 的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 ( A.4 C.6 B.8 D.18 )

C [依定义知|PF1|+|PF2|=2a=6.]

x2 y2 2.(教材习题改编)方程 + =1 表示椭圆,则 m 的范围是 5-m m+3 ( A.(-3,5) C.(-3,1)∪(1,5) B.(-5,3) D.(-5,1)∪(1,3) )

?5-m>0, ? C [由方程表示椭圆知?m+3>0, ?5-m≠m+3, ? 解得-3<m<5 且 m≠1.]

x2 y2 4 3.(2012· 淮南五校联考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值 9 4 +k 5 为 ( A.-21 19 C.- 或 21 25 B.21 19 D. 或 21 25 )

C [若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k, 5-k 4 c 4 19 由 = ,即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, k-5 4 c 4 由 = ,即 = ,解得 k=21.] a 5 4+k 5

x2 y2 4.(2014· 合肥质检)以椭圆 + =1 的右焦点 F 为圆心,并过椭 4 3 圆的短轴端点的圆的方程为________. x2 y2 解析 椭圆 + =1 的右焦点为 F(1,0), 4 3 所求圆的半径为 b2+c2=a=2, 所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4. 答案 (x-1)2+y2=4

5.已知 F1,F2 是椭圆 C 的左,右焦点,点 P 在椭圆上,且满足 |PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________. 解析 在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 π sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= , 2 设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3, 2c 3 所以离心率 e= = . 2a 3 答案 3 3

[关键要点点拨] 1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点

与定点F1,F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是
线段F1F2;当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小 于|F1F2|时,其轨迹不存在. 2.已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判 断,当焦点位置不明确时,要分两种情形讨论.

椭圆的定义及标准方程

[典题导入] x2 y2 (2013· 新课标全国Ⅰ高考)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b a b >0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( )

x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 C. + =1 27 18 x2 y2 D. + =1 18 9

[听课记录] 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1), 1 所以直线 AB 的方程为 y= (x-3), 2 x2 y2 代入椭圆方程 2+ 2=1 消去 y, a b
?a2 ? 3 2 9 2 ? 2? 2 得? 4 +b ?x - a x+ a -a2b2=0, 2 4 ? ?

3 2 a 2 所以 AB 的中点的横坐标为 ? 2 ? =1, a 2? + b 2? ?4 ? ? ? 即 a2=2b2,又 a2=b2+c2,所以 b=c=3,选择 D. 答案 D

[规律方法] 1. 解决与到焦点的距离有关的问题时, 首先要考虑用定义来解题. 2.椭圆方程的求法多用待定系数法,其步骤为: (1)定标准;(2)设方程;(3)找关系;(4)得方程. x2 y2 3.当椭圆焦点位置不明确时,可设为 + =1(m>0,n>0,m m n ≠n),也可设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B).

[跟踪训练]
2 y 1.(2014· 江西七校联考)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b b

<1)的左、 右焦点, 过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且|AF2|, |AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|= ( 2 A. 3 4 C. 3 B.1 5 D. 3 )

2 y C [由椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)知,a=1, b

∵|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2, 两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4, ∴|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|. ∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, ∴2|AB|=|AF2|+|BF2|,于是 2|AB|=4-|AB|, 4 ∴|AB|= .] 3

椭圆的几何性质

x2 2 (1)F1、F2 是椭圆 +y =1 的左右焦点,点 P 在椭圆 4 上运动.则 的最大值是 ( A.-2 C.2 D.4 B.1 )

[听课记录] 设 P(x,y),依题意得 F1(- 3,0),F2( 3,0), =(- 3-x)( 3-x)+y2=x2+y2-3 3 2 = x -2. 4 3 2 ∵0≤x ≤4,∴-2≤ x -2≤1. 4
2

∴ 答案 B

的最大值是 1.

x2 y2 (2)(2012· 江西高考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A, a b B,左、右焦点分别是 F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, 则此椭圆的离心率为 ( 1 A. 4 1 C. 2 5 B. 5 D. 5-2 )

[听课记录] 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三 者成等比数列, 则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|, 即 4c2=a2-c2,a2=5c2, 1 5 所以 e = ,故 e= . 5 5
2

答案 B

[互动探究] 若将本例(2)中的“等比数列”改为“等差数列” ,求此椭圆的离心 率为________. 解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成

等差数列,则|AF1|+|F1B|=2|F1F2|, 即 a-c+a+c=4c, c 1 ∴2a=4c,即 e= = . a 2 1 答案 2

[规律方法] 1.求椭圆的离心率实质上是建立 a,b,c 中任意两者或三者之间 c 的关系,利用 e= 或 e= a
?b? ?2 1-? ?a? 去整体求解. ? ?

2.解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注意定义的应用; 二是要注意数形结合;三是要注意-a≤x≤a,-b≤y≤b,0 <e<1 等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用.

[跟踪训练] 2.(1)(2014· 合肥一中最后冲刺)已知点 F1,F2 是椭圆 x2+2y2=2 的 → → 两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么|PF1+PF2|的最小 值是( A.0 C.2 ) B.1 D.2 2

2 x C [由椭圆 x2+2y2=2,可得 +y2=1,则 c=1. 2

→ → → → → ∴|PF1+PF2|≥|PF1-PF2|=|F1F1|=2.故选 C.]

x2 y2 (2)(2014· 湖南六校联考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F, 其右 a b 准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足 AP 的垂直平分线 过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 (
? A.? ?0, ?

)

2? ? 2? ?

? 1? ? B.?0,2? ? ? ?

?1 ? ? C.?2,1? ? ? ?

D.[ 2-1,1)

C [∵在椭圆上存在点 P 满足 AP 的垂直平分线过点 F, ∴存在点 P 满足|FP|=|FA|.设点 P 的坐标为(x0,y0), a2 b2 则|FP|= -c= , c c
?a2 ? ? 又∵|FP|=e? c -x0? ?, ? ?

c2+ac-a2 ∴x0= , ec 由题意可得-a≤x0<a,

c2+ac-a2 ∴-a≤ <a, ec ∴-c2≤c2+ac-a2<c2, ∴-e2≤e2+e-1<e2. 1 解之得 ≤e<1.故选 C.] 2

直线与椭圆的位置关系
[典题导入] x2 y2 (2013· 天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, a b 3 离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3 4 3 . 3 (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线 → → → → 与椭圆交于 C,D 两点.若AC?DB+AD?CB=8,求 k 的值.

[听课记录]

c 3 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c. a 3

过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c, (-c)2 y2 代入椭圆方程有 + 2=1, a2 b 6b 解得 y=± , 3 2 6b 4 3 于是 = ,解得 b= 2,又 a2-c2=b2, 3 3 x2 y2 从而 a= 3,c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2

(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1). ? k(x+1), ?y= 由方程组?x2 y2 消去 y, + =1 ? ?3 2 整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0, 3k2-6 6k2 则 x1+x2=- ,x x = . 2+3k2 1 2 2+3k2

因为 A(- 3,0),B( 3,0), → → → → 所以 AC · DB + AD · CB = (x1 + 3 , y1)· ( 3 - x2 ,- y2)+ (x2 + 3 , y2)· ( 3-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
2 2 k +12 2 2 2 =6-(2+2k )x1x2-2k (x1+x2)-2k =6+ 2. 2+3k

2k2+12 由已知得 6+ 2 =8,解得 k=± 2. 2+3k

[规律方法] 1.直线与椭圆位置关系的判断

将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程组的实数
解的组数来确定,即用消元后的关于 x( 或 y) 的一元二次方程 的判断式Δ的符号来确定:当 Δ>0时,直线和椭圆相交;当 Δ =0时,直线和椭圆相切;当Δ<0时,直线和椭圆相离.

2.直线和椭圆相交的弦长公式 |AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 或|AB|=
? 1? ? ? 2 1 + [ ( y + y ) -4y1y2]. 2 1 2 ? k? ? ?

3.直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关 系”,设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求

过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程
问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直 线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.

[跟踪训练] x2 y 2 3.(2014· 济南一模)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b 2 的离心率为 ,且过点(2, 2). 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上, 且对角线 AC、 BD 过原点 O, b2 若 kAC?kBD=- 2, a

→ → (ⅰ)求OA?OB的最值; (ⅱ)求证:四边形 ABCD 的面积为定值. 解析 c 2 4 2 (1)由题意 e= = , 2+ 2=1.又 a2=b2+c2, 解得 a2=8, a 2 a b

2 2 x y b2=4,椭圆的标准方程为 + =1. 8 4

(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y=kx+m 2 2 2 联立? 2 ,得 (1 + 2 k ) x + 4 kmx + 2 m -8=0. 2 ? ?x +2y =8

∴Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8) =8(8k2-m2+4)>0, ①

? ?x1+x2= -4km , 1+2k2 ? 且? 2 2 m -8 ? x1x2= 2. ? 1+2k ? b2 1 y1y2 1 ∵kOA·kOB=- 2=- ,∴ =- , a 2 x1x2 2

2 m2-4 1 1 2m -8 ∴y1y2=- x1x2=- · =- , 2 2 1+2k2 1+2k2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
2 2 2 2 m - 8 - 4 km m - 8 k 2 =k2 2 +km 2+m = 2 , 1+2k 1+2k 1+2k

m2-4 m2-8k2 2 2 2 ∴- 2= 2 ,∴-(m -4)=m -8k , 1+2k 1+2k ∴4k2+2=m2. → → (ⅰ)OA·OB=x1x2+y1y2

2m2-8 m2-4 m2-4 4k2+2-4 4 = - = = =2- , 1+2k2 1+2k2 1+2k2 1+2k2 1+2k2 → → ∴-2=2-4≤OA·OB<2. 当 k=0(此时 m2=2 满足①式), → → 即直线 AB 平行于 x 轴时,OA·OB的最小值为-2. → → 又直线 AB 的斜率不存在时OA·OB=2,

→ → 所以OA·OB的最大值为 2. (ⅱ)设原点到直线 AB 的距离为 d,则 1 1 |m| 2 S△AOB= |AB|·d= 1+k ·|x2-x1|· 2 2 1+k2 |m| = (x1+x2)2-4x1x2 2 |m| = 2
2 ? -4km? 2 m -8 ? ?2 ?1+2k2? -4 1+2k2 ? ?

|m| = 2

2 64k2 16(m -4) =2 4k2-m2+4=2 2, 2 - 2 m m

∴S 四边形 ABCD=4S△AOB=8 2. 即四边形 ABCD 的面积为定值.

【创新探究】 直线与椭圆的综合问题
(2013·新课标全国Ⅰ高考)已知圆M:(x+1)2+ y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆 N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程;

(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,
B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

【思路导析】 第(1)问,注意到圆M与圆N的圆心关于原点

对称,题目暗示曲线C可能是椭圆或双曲线,根据两圆位置
关系的几何性质,建立关系式,考察是否符合椭圆或双曲线 的定义,利用定义求出方程.第(2)问求出圆P的方程最关键, 然后根据直线l与两圆都相切,求出直线方程(在求直线方程 时,涉及两个变量,可以根据几何关系求解),最后结合椭圆

方程,可求弦AB的长.

【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0), 半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长 为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外), x2 y2 其方程为 + =1(x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y), 由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以 R≤2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, |QP| R 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 = , |QM| r1 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).

|3k| 2 由 l 与圆 M 相切得 2=1,解得 k=± 4 . 1+k 2 2 x2 y2 当 k= 时,将 y= x+ 2代入 + =1, 4 4 4 3 -4± 6 2 并整理得 7x +8x-8=0,解得 x1,2= , 7
2

18 所以|AB|= 1+k |x2-x1|= . 7
2

2 18 当 k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7

【高手支招】
几点:

解决直线与椭圆的综合问题时,要注意以下

(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆 的条件; (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力, 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问 题.

[体验高考] ( 理 )(2013· 重庆高考 )如图,椭圆的中心为原点 2 O,长轴在 x 轴上,离心率 e= ,过左焦点 2 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,A′两点,|AA′|= 4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′ 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.若 PQ⊥P′Q, 求圆 Q 的标准方程.

解析

(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,

(-c)2 22 4 2 则 + 2=1,从而 e + 2=1. a2 b b
2 2 4 b 2 由 e= 得 b2= = 8 ,从而 a = =16. 2 1-e2 1-e2

x2 y2 故该椭圆的标准方程为 + =1. 16 8

(2)由椭圆的对称性, 可设 Q(x0,0),又设 M(x,y)是椭圆上任意一 点, 则 |QM|2 = (x - x0)2 + y2 = x2 - 2x0x + x 2 0+
2? ? x ? 1 - 8? ? 16? ? ?

1 = (x-2x0)2-x2 0+8(x∈[-4,4]). 2

设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此, 上式当 x=x1 时取最小值, 又因 x1∈(-4,4),所以上式当 x=2x0 时取最小值, 从而 x1=2x0,且|QP|2=8-x2 0. 因为 PQ⊥P′Q,且 P′(x1,-y1), → → 所以QP·QP′=(x1-x0,y1)· (x1-x0,-y1)=0. 即(x1-x0)2-y2 1=0.

2? ? x 1 2 1? 1 - 由椭圆方程及 x1=2x0 得 x1-8? ? ?=0, 16 4 ? ?

4 6 x1 2 6 解得 x1=± ,x0= =± , 3 2 3 从而|QP|
2

16 2 =8-x0= . 3

故这样的圆有两个,其标准方程分别为
? 16 ? 16 2 6? 2 6? ? ?2 ? ?2 2 2 ?x+ 3 ? +y = 3 ,?x- 3 ? +y = 3 . ? ? ? ?

(文)(2013· 重庆高考)如图, 椭圆的中心为原点 O, 2 长轴在 x 轴上,离心率 e= ,过左焦点 F1 作 x 2 轴的垂线交椭圆于 A,A′两点,|AA′|=4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′ 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求△PP′Q 的 面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

解析

(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,

(-c)2 22 4 2 则 + 2=1,从而 e + 2=1, a2 b b
2 2 4 b 2 又 e= ,故 b2= = 8 ,从而 a = =16. 2 1-e2 1-e2

x2 y2 故该椭圆的标准方程为 + =1. 16 8

(2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,
2? ? x ? ? 1 2 2 2 2 2 则|QM| =(x-x0) +y =x -2x0x+x0+8??1-16?= (x-2x0)2-x2 0 ? ? 2

+8(x∈[-4,4]). 设 P(x1,y1),由题意知,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此, 当 x=x1 时|QM|2 取最小值, 又 x1∈(-4, 4), 从而 x1=2x0, 且|QP|2 =8-x2 0. 由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,

1 1 所以 S= |2y1||x1-x0|= ?2 2 2
2 2 -(x2 0-2) +4.

2? ? x 1? 1 - 8?? |x0|= ? 16? ? ?

2 2 (4-x2 ) x 0 0=

当 x0=± 2时,△PP′Q 的面积 S 取得最大值 2 2. 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q(± 2, 0), 半径|OP|= 8-x2 0= 6, 因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2)2+ y2=6,(x - 2)2+y2=6.

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第5节 ....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第5节 古典概型_数学_高中教育_教育专区。第二节 第五节 古典概型(文) 古典概型(理) [主干...

...高三人教版数学(理)一轮复习课件:第5章 第5节 数列....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第5章 第5节 数列的综合应用 - 第五节 数列的综合应用 [主干知识梳理] 一、数列在实际生活中有着广泛的...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第9节 圆锥...[设椭圆的基本量为 a,b,c,则 a=5,b=4,c=3. 以 F1F2 为直径构造圆,...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第5节 数列

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第5节 ....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第5节 合情推理与演绎推理_数学_高中教育_教育专区。第五节 合情推理与演绎推理 [主干知识梳理] 一...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第10章 第5节

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第5节 ....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第5节 函数的图象 - 第五节 函数的图象 [主干知识梳理] 一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章 第5节 ....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的正弦、 ...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第6章 第5节 合情...由圆 x2+y2=r2 的面积 S=π r2,推断:椭圆a2+b2=1(a>b>0)的面积 S...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章-第5节-两角和与差的正弦、余弦和正切公式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第3章 第5节 两角

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第5节 函数

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第6节 直接证明和... 北京高考)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 4 相交于 A,C ...

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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:选修4-4 第2节 参数方程...3.椭圆 ? ?x=acos φ, x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程...