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解析几何考点和答题技巧归纳

时间:2019-07-15

解析几何考点和答题技巧归纳 一、解析几何的难点 从解题的两个基本环节看: 1、翻译转化:将几何关系恰当转化(准确,简单) ,变成尽量简单的代数式子(等式 / 不等式) ,或反之… 2、消元求值:对所列出的方程 / 不等式进行变形,化简,消元, 计算,最后求出所需的变量的值/范围 等等 变量、函数/方程/不等式的思想 灵活性和技巧性 难点:上述两个环节中 分类讨论 综合应用其他的代数几何知 不小的计算量 二、复习建议 分两个阶段,两个层次复习: 1、基础知识复习:落实基本问题的解决,为后面的综合应用做好准备。 这个阶段主要突出各种曲线本身的特性,以及解决解析问题的一般性工作的落实,如: ① 直线和圆:突出平面几何知识的应用(d 和 r 的关系! ) ;抛物线:突出定义在距离转化上的作用,以及设点消元上与椭圆双曲 线的不同之处。 ② 圆锥曲线的定义、方程、基本量(a、b、c、p)的几何意义和计算 ③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断(公共点的个数) ④ 弦长、弦中点问题的基本解法 、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验? ⑤ 一般程序性工作的落实:设点、设直线(讨论?形式?) … 2、综合复习:重点攻坚翻译转化和消元求值的能力 ① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法:变量、等式(方程/函数) 、不等式的思想 ② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式 ③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性 ● 具体说明 1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法:变量、等式(方程/函数)、不等式的思想 建议在例题讲解时,总是在具体计算之前进行“解题路径规划”: ① 条件和结论与哪几个变量相关?解决问题需要设哪些变量? ② 能根据什么条件列出几个等式和不等式?它们之间独立吗?够用了吗? ③ 这些等式/不等式分别含有什么变量?如何消元求解最方便? ④ 根据这些等式和不等式,能变形、消元后得到什么形式的结论(能消掉哪些变量?得到两个变量的新等式/不等式?变量的范 围?求出变量的值?) 好处: ①选择合适的方法;②避免中途迷失 [注] 关于消元 代入消元 加减/乘除消元 常用的消元法: 韦达定理整体代入?消掉交点坐标 点差法 ? 弦中点与弦斜率的等量关系 …… 2、积累常见翻译转化,建立常见问题的解决模式 (1)常见的翻译转化: ① 点在曲线上 ? 点的坐标满足曲线方程 ?换元,消元的能力非常重要

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点坐标满足直线方程 ② 直线与二次曲线的交点 ? 点坐标满足曲线方程 x1 + x2 = …? x1x2 = … y1 + y2 = …? y1y2 = …

③ 两直线 AB 和 CD 垂直 ?

??? ? ??? ? ? AB ? CD ? 0 ? ? k AB ? kCD ? ?1
? 中: AB 的中点?l 垂: AB⊥l

④ 点 A 与 B 关于直线 l 对称 ⑤ 直线与曲线相切 ?

圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且? = 0 ? 代入后 f(x0,y0) > 0 或 f(x0,y0) < 0

⑥ 点(x0,y0)在曲线的一侧/内部/外部 ⑦ ?ABC 为锐角 或 零角 ⑧ 以 AB 为直径的圆过点 C ? ?

→ → BA ? BC > 0 → → CA ? CB = 0 |CA|2 + |CB|2 = |AB|2

AD⊥x 轴或 y 轴时:kBA = ? kAC ⑨ AD 平分?BAC ? AD 上点到 AB、AC 的距离相等 → → → AD ∥( AB + AC )

⑩ 等式恒成立 11 ○ A、B、C 共线

? 系数为零或对应项系数成比例 → → AB ∥ BC kAB = kBC C 满足直线 AB 的方程

?

…… [注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元: ① 如果几何关系与两个交点均有关系,尤其是该关系中,两个交点具有轮换对称性,那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标 的方程,然后整体消元 如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”(交点坐标代入直线方程和曲线方程) ; ② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后, 与 x1 + x2, y1 + y2 相关 (如:弦的中点的问题),还可尝试用 “点差法”(“代点相减” 法) 来整体消元,但仍需保证? > 0 (2)建立常见题型的“模式化”解决方法 (不能太过模式化,也不能没有模式化) 如: 待定系数法 直译法 ① 求曲线方程: 定义法 相关点法 参数法 … 难度较大,上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。 等式型(函数型): 由几个变量的等式来求其中某个变量的范围 ② 求范围/最值: 不等式型:均值. 注意等号成立的条件 几何意义:两点间线段最短?垂线段最短?切线相关 等 ③ 定值/定点: 常见模式: 很多定值定点问题(也是定值问题――坐标是定值)就是求某个变量的值,通常由条件列出的独立方程个数少于变量 的个数, 但由于其形式的特殊性,通过消元后恰好能求出某个(或几个)变量的值(而其他变量的值却仍无法确定) 如: 第 2 页 共 3 页

消去: t ? 5? ? 3 ? 5?
2

2

? t=3 ? t=

约去: t ?

5? ? 3 10?2 ? 6
2 2 2

1 2 ?x ? 4 ?y ? 0

范围约束: ?x ? 4 ? ? y ? 0

? ?

?x ? 4??y 2 ? 1? ? 0

?x=4
2

3 ? ? x ? 0或 ? 恒成立之系数为 0: t ? 4 ? 5?x ? 3?x 对 ? λ?R 恒成立 ? ? 5 ? t ? 4 ? ? ?x ? 6 ? 10?2 x 2 ? ?? ? 4?x ? 1 ?t ? 2 恒成立之系数成比例: t ? 对 ? λ ? R 恒成立 ? 5?2 x 2 ? 3? ? m ? 25 ? ?m ? 2 ?
等等。 关于结论:关于定值定点,有很多总结好了的结论,重在这些结论推导的过程, 而不必刻意让学生去记忆这些结论。 3、一定量的训练,提高运算的准确性、速度,提高书写的规范性、严谨性 (1)示范和训练相结合, 舍得花时间! 不同的设元,消元方案,不同的转化、“翻译”方法,带来的计算量也可能大不一样,需要通过一定量的实践来提高敏感度, 提高 灵活性,使自己能尽快地发现原有方案的不合适之处,并迅速调整,尝试。 书写的习惯影响计算的速度和准确性。可以考虑在开始时不过于要求速度。而专重视 “一次计算”的准确性(“落笔对”) 。 逐渐养 成 “一个字写完了再写下一个字”、 “减少跳步”、“折叠使用草稿纸”等好的习惯。 规范的表达源自老师的板书展示和对平时作业的严格要求,也是一种习惯。老师要舍得用课堂时间带着学生一步步计算,要舍得 让学生在课堂上独立完整地计算整道题。 (2)常用的“小方法” ① 涉及直线、圆的问题充分利用平面几何知识 ② 点差法 ③ 经过某处点的直线与二次曲线必定相交 ④ 直线方程的设法 ⑤ 由对称性,形式上的一致性 “同理”可得 ⑥ 定值定点问题可由特殊值法先得到结论 ⑦ 直线与二次曲线相交且已知一个交点时,利用韦达定理求另一个交点 ⑧ 三角形(或多边形)的面积用平/直的直线割补后再求 (3)常易忽略的细节 ① 设直线时注意:直线与坐标轴垂直的情况单独考虑; ② 使用韦达定理之前,要确保? ? 0 + 要讨论二次项系数是否为 0; ③ 消元、换元时注意新旧变量的范围 ④ ?不仅仅是在解析中的问题了…

??? ? ??? ? OA ? OB ? 0
同样 OA ? OB

? ?AOB 为锐角或零角

??? ? ??? ?

?0

? ?AOB 为钝角或零角

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