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高中数学必修1第三章测试A卷

时间:2018-06-13


第三章

章末检测题(A)

11. 从盛满 20 升酒精的容器里倒出 1 升后用水加满,再倒出 1 升混合溶液后又用水填满,这样继 续进行,若倒第 k(k≥1)次倒出酒精 f(k)升,则 f(k)的表达式为( 19 A.f(k)= k 20 19 - B.f(k)=( )k 1 20 k C.f(k)= 20 ) k D.f(k)= +1 20

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) x-1 1. 若函数 f(x)= ,则函数 g(x)=4f(x)-x 的零点是( x A.-2 B.2 1 C.- 2 ) C.(0.3,0.4) D.(0.4,0.5) 1 D. 2 )

12. 某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在 店内花钱满 100 元(可以是现金,也可以是奖励券或二者合计),就送 20 元奖励券;满 200 元,就 送 40 元奖励券;满 300 元,就送 60 元奖励券;??当日花钱最多的一位顾客共花出现金 70 040 元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( A.17 000 元 B.17 540 元 ) D.17 580 元

2. 方程 x-1=lgx 必有一个根的区间是( A.(0.1,0.2) B.(0.2,0.3)

3. 实数 a、b、c 是图像连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个数,且满足 a<b<c,f(a)· f(b)<0, f(b)· f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)上零点个数为( A.2 B.奇数 C.偶数 )

C.17 500 元

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上) 13. 函数 y=x2 与函数 y=xlnx 在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________. x 14. 长为 4,宽为 3 的矩形,当长增加 x,且宽减少 时的面积最大,此时 x=________,面积 S= 2 ________.

D.至少是 2

4. 若函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一 个实数根,则 f(-1)· f(1)的值( A.大于 0 B.小于 0 ) C.无法判断 D.等于零

15.已知 y=x(x-1)(x+1)的图像如下图所示,现考虑 f(x)=x(x-1)(x+1)-0.01,则方程 f(x)=0, ①有三个实根; ②当 x<-1 时,恰有一实根;

5. 某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由 1 个繁殖成 4 096 个需经过的小时数为( A.12 B.4 ) C.3 ) D.(1,2) ) D.2

③当-1<x<0 时,恰有一实根; ④当 0<x<1 时,恰有一实根; ⑤当 x>1 时,恰有一实根. 其中,正确的有________(把正确的序号都填上). 16. 若函数 f(x)=|4x-x2|-a 的零点个数为 3,则 a=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)有一批单放机原价为每台 80 元,在两个商场降价销售,甲商场优惠的办法是:买一台少 收 4 元,买两台每台少收 8 元,买三台每台少收 12 元??依次类推,直到减到半价为止,乙商场 的优惠办法是:一律按原价的 70%销售,某单位为每名职工买一台,问买哪一个商场的单放机较合 算. B.(5+0.06)4 万元 C.4[(1+0.06)4-1]万元 D.4[(1+0.06)3-1]万元

6. 函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1)

3 7.若函数 f(x)唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),(1, )内,则与 f(0)符号相同的是( 2 A.f(4) B.f(2) C.f(1) 3 D.f( ) 2

8. 按复利计算利率的储蓄,存入银行 5 万元,年息为 6%,利息税为 20%,4 年后支取,可得利息 为人民币( )

A.5(1+0.06)4 万元

3 9. 储油 30 m3 的油桶,每分钟流出 m3 的油,则桶内剩余油量 Q(m3)以流出时间 t(分)为自变量的 4 函数的定义域为( A.[0,+∞) ) 45 B.[0, ] 2 C.(-∞,40] ) A.0 D.[0,40] B.1 C.2 D.3

10. 方程 lnx+2x-8=0 根的个数是(

18.(12 分)麦当劳店每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,某种食品每份的成本价是 5 元.销 售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 日均销售量/份 6 440 7 400 8 360 9 320 10 280 11 240 12 200

20.(12 分)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点. 已知 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对 b∈R,函数 f(x)恒有两个相异的不动点.求实数 a 的取值范围.

请你根据以上数据作出分析,该麦当劳店怎样定价才能获得最大利润?

19.(12 分)经市场调查,某商品在 120 天内的日销售量和售价均为时间 t(天)的函数,日销售量与时 间的关系用下图(1)的一条折线表示,售价与时间的关系用下图(2)的一条折线表示. 21.(12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c.若任意 x1,x2∈R,且 x1<x2,都有 f(x1)≠f(x2),求证:关 1 于 x 的方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根且必有一个根属于(x1,x2). 2

(1)写出图(1)表示的日销售量(千克)与时间 t 的函数关系式 Q=g(t);写出图(2)表示的售价(元/千克) 与时间 t 的函数关系式 P=f(t). (2)求日销售额 y(元)与时间的函数关系式,并求出日销售额最高的是哪一天?最高销售额是多少? (注:日销售额=日销售量×售价) 22.(12 分)某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,自来水厂每小时可向蓄水池中注入 60 吨,同 时蓄水池又向居民小区不间断地供水,t 小时内供水总量为 120 6t吨(0≤t≤24). (1)从供水开始后几个小时,蓄水池中的水量最少?最少水量有多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨,就会出现供水紧张现象.试问在一天的 24 小时内,有几小时出现供 水紧张现象?并说明理由.

第三章

章末检测题(A)参考答案

时,Smax=

25 . 2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.答案 B 解析 2. 答案 A 解析 4x-4 4x-4-x2 -(x2-4x+4) g(x)= -x= = =0,则 x=2. x x x 设 f(x) = lgx - x + 1 , f(0.1) = lg0.1 - 0.1 + 1 =- 0.1<0 , f(0.2) = lg0.2 - 0.2 +

15.答案 ①⑤解析 将 y=x(x-1)(x+1)的图像向下平移 0.01 个单位长度会得到 f(x)的图像, 因此 ①正确,⑤正确. 16.答案 4 解析 作出函数 y=|x2-4x|与函数 y=4 的图像,发现它们恰有 3 个交点.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解析 设某单位职工为 x 人,即购买 x 台,
?(80-4x)x, 0<x≤10, ? 则甲商场:该单位的花费为 y1=? (x∈N*) ?40x,x>10, ?

1≈0.1>0,f(0.1)f(0.2)<0. 3.答案 D 解析 ∴f(a)·f(b)<0,f(b)· f(c)<0,∴f(a)· f(c)>0,即图像在区间(a,c)上至少有两个交点. 4.答案 C 解析 由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部. 12×15 5.答案 C 解析 设需要经过 x 次分裂,则 4 096=2x,解得 x=12,∴时间 t= =3 小时. 60 6.答案 C 解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e+1-2=e-1>0,f(0)· f(1)<0, ∴零点所在区间为(0,1). 7.答案 C 解析 画图可知. 8.答案 C 解析 由已知 4 年利息和为 5×(1+6%)4-5, 扣去 20%的利息税余 5×[(1+6%)4-1]×(1 -20%)=4[(1+6%)4-1]. 3 3 9.答案 D 解析 Q=30- t,由于 30- t≥0,∴t≤40.又∵t≥0,∴定义域为[0,40],故选 D. 4 4 10.答案 B 解析 在同一坐标系中做出函数 y=lnx 和 y=8-2x 的图像,图像只有一个交点,所以 方程只有一个根. 19 19 11.答案 B 解析 第 1 次倒出 1 升酒精, 第 2 次倒出 1×( )升酒精, 第 3 次倒出 1×( )2 升酒精?? 20 20 19 - 故第 k 次倒出( )k 1 升酒精. 20 12.答案 C 解析 这位顾客花的 70 000 元可得奖励券 700×20=14 000(元),只有这位顾客继续把 奖励券消费掉,也才能得到最多优惠,但当他把 14 000 元奖励券消费掉可得 140×20=2 800 元奖 励券再消费又可得到 28×20=560(元)奖励券,560 元消费再加上先前 70 040 中的 40 元共消费 600 元应得奖励券 6×20=120 元.120 元奖励券消费时又得 20 元奖励券. ∴他总共会得到 14 000+2 800+560+120+20=17 500(元)优惠. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上) 13.答案 14.答案 y=x2 解析 对数函数增长速度较为缓慢. 1 25 解析 2 x x 1 25 1 S=(4+x)(3- )=- +x+12=- (x2-2x-24)= - (x-1)2,当 x=1 2 2 2 2 2
2

乙商场:该单位的花费为 y2=80×x×70%=56x. 若 x>10,则 y2>y1,购买甲商场的单放机合算; 若 0<x≤10,y1-y2=80x-4x2-56x=-4x2+24x≥0,0≤x≤6. 即 0<x<6 时,y1>y2,购买乙商场的单放机合算;6<x≤10 时,y1<y2,购买甲商场的单放机合算; x=6 时,在两个商场购买单放机一样; 综合当 0<x<6 时,在乙商场买合算,当 x=6 时,在两个商场买单放机一样;当 x>6 时,在甲商场 购买合算. 18. 解析 设定价为 x 元,利润为 y 元.y=(x-5)[440-40(x-6)]-200=-40x2+880x-3 600=- 40(x-11)2+1 240,x∈(5,12),当 x=11 时,ymax=1 240.定价为 11 元时,利润最大.

19.解析

?4t+15,0<t<60, ?-3t+40,0<t<60, (1)g(t)=? f(t)=? t 1 ?-2+60,60≤t≤120, ?12t+15,60≤t≤120.

1

1

1 1 1 1 (2)0<t<60 时,y=( t+15)(- t+40)=- t2+5t+600=- (t-30)2+675, 4 3 12 12 ∴当 t=30 时,ymax=675(元). t 1 1 5 1 1 875 当 60≤t≤120 时,y=(- +60)( t+15)=- t2- t+900=- (t+30)2+ , 2 12 24 2 24 2 ∴当 x∈[60,120]时,y=f(x)为减函数. ∴当 t=60 时,ymax=600(元).

?-12t +5t+600,0<t<60, 综上得日销售额与时间的函数关系为 y=? 1 5 ?-24t -2t+900,60≤t≤120.
2 2

1

∴第 30 天日销售额最高,最高销售额为 675 元. 20.解析 (1)f(x)=x2-x-3,若 x0 是不动点,则 f(x0)=x0,即 x02-2x0-3=0,

∴x0=-1 或 x0=3,∴3 和-1 是 f(x)的不动点. (2)f(x)恒有两个不动点,则 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,即 ax2+bx+(b-1)=0 有两个不相等的 实数根,∴Δ=b2-4a(b-1)>0 恒成立,即 b2-4ab+4a>0 恒成立.∴(-4a)2-4×4a<0,即 a2- a<0.∴0<a<1. 1 1 21.解析 ∵f(x)= [f(x1)+f(x2)],∴ax2+bx+c= (ax12+bx1+c+ax22+bx2+c), 2 2 整理得:2ax2+2bx-a(x12+x22)-b(x1+x2)=0, ∴Δ=4b2+8a[a(x12+x22)+b(x1+x2)]=2[(2ax1+b)2+(2ax2+b)2]. ∵x1,x2∈R,x1<x2,∴2ax1+b≠2ax2+b. ∴Δ>0,故方程有两个不相等的实数根. 1 1 令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)g(x2)=- [f(x1)-f(x2)]2. 2 4 1 又 f(x1)≠f(x2),则 g(x1)g(x2)<0,故方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有一个根属于(x1,x2). 2 22.解析 (1)设蓄水池中的总水量为 y,则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24),

配方整理得 y=60( t- 6)2+40(0≤ t≤2 6), 当 t= 6时,y 有最小值 40, 即从供水开始后 6 小时,蓄水池水量最少,最少量有 40 吨. (2)据题意当 y<80 时,会出现供水紧张现象. 1 1 即 400+60t-120 6t<80,3t-6 6t+16<0,令 6t=m,则 t= m2,∴ m2-6m+16<0, 6 2 16 1 64 16 64 64 16 ∴4<m<8.∴ < m2< ,即 <t< .∴一天中有 - =8 小时出现供水紧张现象. 6 6 6 6 6 6 6


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