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江苏高考数学理科一轮创新设计总复习课件3.2利用导数研究函数的单调性、极值与最值_图文

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? 第 2讲 ? 利用导数研究函数的单调性、极 值与最值 ? 1.函数的单调性与导数的关系 ? 已知函数f(x)在某个区间(a,b)内可导, ? (1) 如果 f′(x) > 0 ,那么函数 y = f(单凋递增 x) 在这个 区间内 ; 单调递减 ? (2) 如果 f′(x) < 0 ,那么函数 y = f(x) 在这个 区间内 . ? 2.函数的极值 ? (1)判断f(x0)是极值的方法 ? 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, ? ① 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 f′(x) > 0 , 右 侧 f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; f′(x)<0 f′(x)>0 ? ②如果在x0附近的左侧 ,右 侧 ,那么f(x0)是极小值. ?(2)求可导函数极值的步骤 ?①求f′(x); ?②求方程f′(x)=0的根; ?③检查 f′(x) 在方程 f′(x) = 0 的根左右值的符 极大值 号.如果左正右负, 那 么 f(x) 在 这 个 根 处 取 得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根 处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么 这个根不是极值点. ? 3.函数的最值与导数 ? 设函数 f(x) 在 [a , b] 上连续且在 (a , b) 内可 导,求 f(x) 在 [a , b] 上的最大值和最小值的步 骤如下: ? ①求f(x)在(a, b )内的极值; f(a ), f(b) ? ②将f(x)的各极值与 比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 辨 析 感 悟 1.对函数的单调性与导数关系的理解 (1)若函数 f(x)在(a,b)内恒有 f′(x)>0,那么 f(x)在(a,b)上 单调递增;反之若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0. (×) (2)函数在其定义域内的离散的点处导数为 0 不影响函数的单 调性. (√) 1 2 (3)(2012· 辽宁卷改编)函数 y=2x -ln x 的单调减区间为 (-1,1). (×) 2.对函数极值、最值概念的理解 (4)导数为 0 的点一定是极值点. 1 (5)函数 f(x)=x- x有极值. (×) (×) 1 3 (6)(教材习题改编)函数 f(x)=3x -4x+4 在(0,3)上的最大值为 4 4,最小值为-3. (×) ? [感悟·提升] ? 1.一点提醒 ? 函数最值是 “ 整体 ”概念,而函数极值是 个 “ 局部 ” 概念,极大值与极小值没有必然 的大小关系. ? 2.两个条件 ? 一是 f′(x) > 0 在 (a , b) 上成立,是 f(x) 在 (a , b)上单调递增的充分不必要条件,如(1). ? 二是对于可导函数 f(x) , f′(x0) = 0 是函数 f(x) 在 x = x0 处有极值的必要不充分条件,如 (4). ? 3.三点注意 ? 一是求单调区间时应遵循定义域优先的原 则. ? 二是函数的极值一定不会在定义域区间的 端点处取到. ? 三是求最值时,应注意极值点和所给区间 的关系,关系不确定时分类讨论,不可想当 然认为极值就是最值. ? ? ? ? ? ? ? ? 考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1】 (2013·广东卷改编 ) 设函数 f(x) = (x - 1)ex-kx2. (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,求实 数k的取值范围. 解 (1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2, ∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2). 令f′(x)>0,即x(ex-2)>0,∴x>ln 2或x<0. 令f′(x)<0,即x(ex-2)<0,∴0<x<ln 2. (2)易知 f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k). ∵f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数, ∴当 x≥0 时,f′(x)=x(ex-2k)≥0 恒成立. ∴ex-2k≥0,即 2k≤ex 恒成立. 1 由于 e ≥1,∴2k≤1,则 k≤2. x 1 又当 k=2时,f′(x)=x(ex-1)≥0 当且仅当 x=0 时取等号. 因此,实数 k ? 1? 的取值范围是?-∞,2?. ? ? ?规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键 在于准确判定导数的符号.而解答本题 (2) 问时, 关键是分离参数k,把所求问题转化为求函数的 最小值问题. ?(2) 若可导函数 f(x) 在指定的区间 D 上单调递增 ( 减 ) ,求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0( 或 f′(x)≤0) 恒成立问题,从而构建不等式,要注 意“=”是否可以取到. ? 【训练1】 已知函数f(x)=x3-ax2-3x. ? (1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; ? (2) 若 x = 3 是 f(x) 的极值点,求 f(x) 的单调区 间. 解 (1)对 f(x)求导,得 f′(x)=3x2-2ax-3. 3? 1? 由 f′(x)≥0,得 a≤2?x-x ?. ? ? 1? 3? 1? 3? 记 t(x)=2?x-x ?,则 t′(x)=2?1+x2?, ? ? ? ? 所以当 x≥1 时,t(x)是增函数, 3 ∴t(x)min=2(1-1)=0.∴a≤0. 故实数 a 的取值范围是(-∞,0]. (2)由题意,得 f′(3)=0,即 27-6a-3=0,∴a=4. ∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3. 1 令 f′(x)=0,得 x=-3或 3. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) ? 1? ?-∞,- ? 3? ? 1 -3 0 极大值 ? 1 ? ?- ,3? ? 3 ? 3 0 极小值 (3,+∞) + ? + ? -

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