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高考专题辅导与测试第1部分 专题五 第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题_图文

时间:2014-01-03

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第1部分

专题五

解析几何

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

第三讲 高考中的圆锥曲线?解答题型?
第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题

圆锥曲线中的定点问题

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[例 1] (1,0),点

x2 y2 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),其右焦点为 a b E 上.

? 3? P?1,2?在椭圆 ? ?

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过椭圆 E 的左顶点 A 作两条互相垂直的直线分别与椭 圆 E 交于(不同于点 A 的)M,N 两点,试判断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说 明理由.

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[自主解答]

(1)设椭圆 E 的左右焦点分别为 F1,F2,

∵椭圆 E 右焦点为(1,0),∴c=1, 又点
? 3? P?1,2?在椭圆 ? ?

E 上, ?1+1?
2

∴2a=|PF1|+|PF2|= 4,

?3? +?2?2+ ? ?

?1-1?

2

?3? +?2?2 = ? ?

∴a=2,b= a2-c2= 3, x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 4 3
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

(2)①当直线 MN 与 x 轴垂直时, 直线 AM 的方程为 y=x+2,
?y=x+2, ? 联立? 2 ?3x +4y2=12, ?

得 7x2+16x+4=0,

2 解得 x=- 或 x=-2(舍). 7 2 此时直线 MN 的方程为 x=- ,直线 MN 过 x 轴上一点 7
? 2 ? Q?-7,0?. ? ?

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

②当直线 MN 不垂直于 x 轴时,设直线 MN 的方程为 y= kx+n.
?y=kx+n, ? 则由? 2 ?3x +4y2=12, ?

得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 当 Δ=(8kn)2-4×(3+4k2)(4n2-12)>0,即 n2-4k2-3<0 时, -8kn 4n2-12 则有 x1+x2= ,x1x2= , 3+4k2 3+4k2
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

y1y2 = (kx1 + n)(kx2 + n) = k2x1x2 + kn(x1 + x2) + n2 = 3n2-12k2 . 3+4k2 ???? ? ???? 而 AM =(x1+2,y1), AN =(x2+2,y2), ???? ???? ? 由题意可知, AM ⊥ AN , ???? ???? ? 即 AM · AN = x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 + y1y2 = 7n2-16kn+4k2 =0, 3+4k2

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

2 解得 n=2k 或 n= k. 7 当 n=2k 时,直线 MN 的方程为 y=k(x+2),过点 A,与 题意不符,舍去; 2 当 n= k 时,n2-4k2-3<0,直线 MN 的方程为 y= 7
? 2? k?x+7?,显然过点 ? ? ? 2 ? Q?-7,0?. ? ? ? 2 ? Q?-7,0?. ? ?

综上,直线 MN 一定经过 x 轴上一定点

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

——————————规律· 总结———————————— 求解直线和曲线过定点问题的基本思路

把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方程 一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数 都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个 关于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或 曲线所过的定点.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

x2 y2 2 1.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,左、右焦点 a b 2 分别为 F1,F2,点 P(2, 3),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 交于 M, 两点, N 直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β,且 α+β=π,试问直线 l 是否 过定点?若过,求该定点的坐标.

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

2 c 2 解:(1)由椭圆 C 的离心率 e= ,得a= , 2 2 其中 c= a2-b2,

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). 又∵点 F2 在线段 PF1 的中垂线上, ∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=( 3)2+(2-c)2, 解得 c=1,∴a2=2,b2=1. x2 2 ∴椭圆的方程为 +y =1. 2

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

(2)由题意直线 MN 的方程为 y=kx+m,
2 ?x ? +y2=1, 由? 2 消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. ?y=kx+m, ?

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2m2-2 kx1+m 4km 则 x1 +x2 =- 2 ,x1x2 = 2 ,且 kF2M = ,kF2N = 2k +1 2k +1 x1-1 kx2+m . x2-1 由已知 α+β=π 得 kF2M+kF2N=0,
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

kx1+m kx2+m 即 + =0. x1-1 x2-1 化简得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km?m-k? 所以 2k· 2 - -2m=0, 2 2k +1 2k +1 整理得 m=-2k. 故直线 MN 的方程为 y=k(x-2), 因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0).

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

圆锥曲线中的定值问题
x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1, a b

[例 2]

F2,短轴两个端点分别为 A,B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正 方形. (1)求椭圆方程; (2)若 C,D 分别是椭圆长轴的左、右两端点,动点 M 满足 MD ???? ??? ? ⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.求证: OM · 为定值. OP

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[自主解答]

(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),由题意知 b=c= 2,

所以 a2=b2+c2=4. x2 y2 故此椭圆的方程为 + =1. 4 2 (2)C(-2,0),D(2,0),设 M(2,y0),P(x1,y1), ??? ? ???? 则 OP =(x1,y1), OM =(2,y0), x-2 y-y0 y0 1 直线 CM 的方程为: = ,即 y= x+ y0, 4 y0 4 2 代入椭圆 x2+2y2=4,得
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

? y2? 2 1 2 1 2 0 ?1+ ?x + y0x+ y0-4=0, 8? 2 2 ?

4?y2-8? 0 ∵x1×(-2)= 2 , y0+8 2?y2-8? 8y0 0 ∴x1=- 2 ,∴y1= 2 , y0+8 y0+8
??? ? 2?y2-8? 8y0 ? ? ? 0 ? - 2 , 2 ∴ OP =? , y0+8 y0+8? ? ? ??? ???? ? 4?y2-8? 8y2 4y2+32 0 0 0 ∴ OP · =- 2 + 2 = 2 =4. OM y0+8 y0+8 y0+8

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

——————————规律· 总结———————————— 求解定值问题的“三个”步骤

(1)由特例得出一个值,此值一般就是定值; (2)证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为 代数式, 可证明该代数式与参数(某些变量)无关; 也可令系数 等于零,得出定值; (3)得出结论.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

x2 y2 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 右焦点分别为
? F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和?e, ? ?

3? ? ?都在 2?

椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, 是椭圆上位于 x 轴上方的两点, B 且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P, 6 (ⅰ)若 AF1-BF2= ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ⅱ)求证:|PF1|+|PF2|是定值.
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2

第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

c 解:(1)由题设知 a =b +c ,e=a.
2 2

1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得 2+ 2 2=1, a ab 解得 b2=1,于是 c2=a2-1.
? 又因为点?e, ? ?

e2 3 3? ? 在椭圆上,所以 2+ 2=1, a 4b 2? ?

a2-1 3 即 4 + =1,解得 a2=2. a 4 x2 2 因此,所求椭圆的方程是 +y =1. 2
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

(2)由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),又因为直线 AF1 与 BF2 平行,所以可设 直线 AF1 的方程为 x+1=my,直线 BF2 的方程为 x-1=my.设 A(x1, y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

?x1+y2=1, ? 1 由? 2 得(m2+2)y2-2my1-1=0, 1 ?x1+1=my1, ?
2

m+ 2m2+2 解得 y1= , m2+2 故|AF1|= ?x1+1?2+?y1-0?2= ① ② 2?m2+1?+m m2+1 ?my1?2+y2= . 1 m2+2 2?m2+1?-m m2+1 同理,|BF2|= . m2+2
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

2m m2+1 (ⅰ)由①②得|AF1|-|BF2|= , 2 m +2 2m m2+1 6 由 = ,得 m2=2,注意到 m>0,故 m= 2. 2 m2+2 1 2 所以直线 AF1 的斜率为m= . 2 (ⅱ)证明:因为直线 AF1 与 BF2 平行, |PB| |BF2| 所以 = , |PF1| |AF1| |PB|+|PF1| |BF2|+|AF1| 于是 = , |PF1| |AF1|
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

|AF1| 故|PF1|= |BF1|. |AF1|+|BF2| 由点 B 在椭圆上知|BF1|+|BF2|=2 2, |AF1| 从而|PF1|= (2 2-|BF2|). |AF1|+|BF2| |BF2| 同理|PF2|= (2 2-|AF1|). |AF1|+|BF2| |AF1| |BF2| 因此,|PF1|+|PF2|= (2 2-|BF2|)+ |AF1|+|BF2| |AF1|+|BF2| |2AF1|· 2| |BF (2 2-|AF1|)=2 2- . |AF1|+|BF2|
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

2 2?m2+1? 3 2 又由①②知|AF1|+|BF2|= = , 2 2 m +2 m2+1 3 |AF1|· 2|= 2 = , |BF m +2 4 2 3 2 所以|PF1|+|PF2|=2 2- = . 2 2 因此,|PF1|+|PF2|是定值.

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

圆锥曲线中的最值问题
[例 3] 为 F(0,1). (2013· 浙江高考)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN|的最小值.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[自主解答]

(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),

p 则 =1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1.
?y=kx+1, ? 由? 2 ?x =4y, ?

消去 y,整理得 x2-4kx-4=0,

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1. ? y1 ?y= x, 由? x1 ?y=x-2, ?
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

2x1 2x1 8 解得点 M 的横坐标 xM= = = . x2 4-x1 x1-y1 1 x1- 4 8 同理点 N 的横坐标 xN= . 4-x2 所以|MN|= 2?xM-xN? ? ? = =8
? 8 8 ? ? 2?4-x -4-x ? ? 1 2? ? ? ? x1-x2 ? ? 2? ? ?x1x2-4?x1+x2?+16?
? ?

8 2 k2+1 = . |4k-3|
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= . 4 当 t>0 时,|MN|=2 2 当 t<0 时,|MN|=2 2 25 6 + +1>2 2. t2 t
?5 3? 16 8 2 ? + ?2 + ≥ . 5? 25 5 ?t

25 4 综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,|MN|的最小值是 3 3 8 2 . 5

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

——————————规律· 总结————————————
圆锥曲线上本身存在的最值问题, 如①椭圆上两点间最大 距离为 2a(长轴长); ②双曲线上两点间最小距离为 2a(实轴长); ③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],a-c 与 a+c 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;④ 在抛物线上的点中,顶点与抛物线的准线距离最近.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

x2 2 3.已知 F1,F2 分别是椭圆 E: +y =1 的左、右焦点,F1, 5 F2 关于直线 x+y-2=0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个 端点. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a, b.当 ab 最大时,求直线 l 的方程.

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

解:(1)由题设知,F1,F2 的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0 的对称点. ?y0 ?x0=1, 设圆心的坐标为(x0,y0),由? ?x0+y0-2=0, ?2 2 所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
?x =2, ? 0 解得? ?y0=2. ?

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

(2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2,则圆心到直线 l |2m| 4 2 2 的距离 d= 2.所以 b=2 2 -d = 2. 1+m 1+m ?x=my+2, ? 2 由?x 得(m2+5)y2+4my-1=0. 2 ? 5 +y =1, ? 设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4m 1 y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 . m +5 m +5

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

于是 a= = = =

?x1-x2?2+?y1-y2?2

?1+m2??y1-y2?2 ?1+m2?[?y1+y2?2-4y1y2]
? 16m2 4 ? 2 ? ?1+m ???m2+5?2+m2+5? ? ? ?

2 5?m2+1? = . m2+5

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

8 5· m2+1 8 5· m2+1 从 而 ab = = = m2+5 ?m2+1?+4 8 5 4 m +1· 2 m +1
2 2

8 5 4 m +1+ m2+1
2

≤ 2

=2 5.

4 当且仅当 m +1= ,即 m=± 3时等号成立. 2 m +1 故当 m=± 3时,ab 最大,此时,直线 l 的方程为 x= 3y+2 或 x=- 3y+2,即 x- 3y-2=0 或 x+ 3y-2=0.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

课题 19 [典例]

参数法求圆锥曲线的定点问题

已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭

2 圆上的点到焦点的距离的最小值为 2-1,离心率 e= 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P,Q 两点,试问:在 x 轴 ???? ???? MQ 上是否存在一个定点 M,使 MP · 为定值?若存在,求出 这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[考题揭秘]

本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程

以及直线与圆锥曲线的位置关系及参数法求定点, 考查分类讨论 思想及方程的思想. [审题过程] 第一步:审条件.已知椭圆中心在原点,焦点

2 在 x 轴上, 离心率 e= 及椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2 2-1.

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

第二步:审结论.第(1)问:求椭圆方程;第(2)问:过点(1,0)作 直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,探索在 x 轴上是否存在一个定点 M,使 ???? ???? MQ MP · 为定值. 第三步:建联系.第(1)问:设出椭圆方程代入已知条件,解方 程组求解;

???? 第(2)问: 假设存在定点 M(m,0), 设出 P, 点的坐标, Q 写出 MP , ???? ???? ???? MQ 及 MP · 的坐标表达式,分类讨论直线 l 的斜率是否存在,联 MQ
立直线与椭圆的方程,得 P,Q 两点横、纵坐标间的关系,代入 ???? ???? MQ MP · ,求出 m 值,得到 M 点的坐标.
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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[规范解答]

x2 y2 (1)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),由已 a b
?a= 2, ? 解得? ?c=1. ?

?a-c= 2-1, ? 知得?c 2 ?a= 2 , ?

所以 b2=a2-c2=1. x2 2 所以椭圆 E 的方程为 +y =1. 2

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

(2) 假 设 存 在 符 合 条 件 的 点 M(m,0) , 设 P(x1 , y1) , Q(x2 , y2),??????????????????????????? ???? ???? ???? ???? MQ 则 MP =(x1-m,y1), MQ =(x2-m,y2), MP · =(x1-m)(x2- m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.? ①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1),由
2 ?x ? +y2=1, ?2 得 x2+2k2(x-1)2-2=0,即(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2 ?y=k?x-1?, ?

=0,

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

2k2-2 4k2 则 x1+x2= 2 ,x x = , 2k +1 1 2 2k2+1 y1y2 = k2(x1 - 1)(x2 - 1) = k2[x1x2 - (x1 + x2) + 1] = - k2 ,????????????????????????????? 2k2+1
???? ???? 2k2-2 4k2 k2 2 所 以 MP · MQ = - m· 2 + m - = 2k2+1 2k +1 2k2+1

?2m2-4m+1?k2+?m2-2? . 2k2+1

???? ???? MQ 因为对于任意的 k 值, MP · 为定值,所以 2m2-4m+1=2(m2-2),
5 得 m= . 4

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

所以

???? ???? ?5 ? 7 ? ,0?,此时 MP · M4 MQ =- .???????? 16 ? ?

②当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,则

???? ???? 1 5 7 MQ x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=- ,由 m= ,得 MP · =- . 2 4 16
综上,符合条件的点 M
?5 ? 存在,且坐标为?4,0?. ? ?

???????????????????????

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[模型归纳] 参数法求圆锥曲线定点问题的模型示意图如下:

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

[变式训练] (2013· 北京海淀期末)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(x,y), M(x,-4),以线段 PM 为直径的圆经过原点 O. (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2)过点 E(0,-4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A,B,点 A 关 于 y 轴的对称点为 A′,试判断直线 A′B 是否恒过一定点, 并证明你的结论.

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

解:(1)由题意可得 OP⊥OM, ??? ???? ? 所以 OP · =0,所以(x,y)· (x,-4)=0, OM 即 x2-4y=0,所以动点 P 的轨迹 W 的方程为 x2=4y. (2)显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx-4, A(x1,y1),B(x2,y2),则 A′(-x1,y1).
?y=kx-4, ? 由? 2 ?x =4y, ?

消 y,整理得 x2-4kx+16=0,

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

则 Δ=16k2-64>0,即|k|>2. x1+x2=4k,x1x2=16. y2-y1 直线 A′B 为 y-y2= (x-x2), x2+x1 y2-y1 ∴y= (x-x2)+y2 x2+x1
2 x2-x2 1 2 1 = (x-x2)+ x2 4 4?x1+x2?

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

x2-x1 x2-x1x2 1 2 2 = x- + x2 4 4 4 x2-x1 x1x2 = x+ . 4 4 x2-x1 即 y= x+4, 4 所以,直线 A′B 恒过定点(0,4).

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第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题

预测演练提能

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圆锥曲线中的定点、定值和最值问题_图文.ppt

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