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12.2.1圆的标准方程(1)

时间:2010-05-22


【第12章 圆锥曲线】 章 圆锥曲线】

圆的标准方程

什么是方程的曲线和曲线的方程? 定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( x, y ) = 0 之间满足: ①曲线C上的点的坐标都是方程的解; ②方程的解为坐标的点都在曲线C上; 则称:方程 F ( x, y ) = 0为曲线C的方程; 曲线C是方程 F ( x, y ) = 0 的曲线.

曲线与方程

圆的精确定义
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 一般要求这个定长是正数. 试推导以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的方程. 设 M ( x, y )是所求轨迹上一点, 则 | MC |= r ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r
y

M ( x, y ) r C ( a, b)

( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2
所求轨迹方程是 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2

非负
O
x

圆的标准方程
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 以C(a,b)为圆心, r>0为半径的圆的方程为:

( x a ) + ( y b) = r
2 2

2

称上述形式的圆的方程为圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r>0为半径的圆的标准方程是

x2 + y2 = r 2
思考:确定一个圆需要知道几个条件?

1.口答下列方程所表示圆的圆心与半径.

课内练习
x2 + y2 = 1

( x 1) 2 + y 2 = 32

( x 3) 2 + ( y 2) 2 = 4
( x + 2) 2 + ( y 3) 2 = 3

以原点为圆心的单位圆. 2. 写出下列圆的标准方程.

( x + a)

2

+ y2 = a2

( a,0)

| a|

(1)以原点为圆心, 4为半径的圆. x 2 + y 2 = 16 (2)圆心在点C(3,4), 半径为 5

( x 3)

2

+ ( y 4) = 5
2

【典型例题】 典型例题】

例1. 求以 C (1,3) 为圆心,并与直线 3x 4 y 7 = 0 相切的 圆的标准方程. 解. 因为圆与直线 3 x 4 y 7 = 0 相切 所以圆心到直线的距离等于半径 由点到直线距离公式,得
r= 3 ×1 4 × 3 7 3 + (4)
2 2

y C r O x

16 = 5

所以圆的标准方程为:

( x 1)

2

+ ( y 3)

2

256 = 25

【典型例题】 典型例题】

例2. 求圆 C : ( x + 1) 2 + ( y 2) 2 = 13关于直线 y = x 对称的 圆的标准方程. 解. 由圆心(1,2)关于y=x的对称点为(2,1), 对称变换不改变长度, 所求圆的方程为:C : ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 13 圆的对称问题, 本质上就是圆心的对称问题.

课内练习
3. 写出下列圆的标准方程. (1)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)

( x 8)

2

+ ( y + 3) = 25
2

(2)圆心在x轴, 半径为3, 且与y轴相切的圆.

( x 3) 2 + y 2 = 9 或者 ( x + 3) 2 + y 2 = 9
y

C (3,0)

C (3,0)

O

r

x

【典型例题】 典型例题】

例3. 已知圆过点 A(2, 3) 和 B(2, 5) ,若圆心在直线 x 2 y 3 = 0 上,试求圆的标准方程. 解. 设圆心坐标为 C ( a, b) ,半径为 r 法一 (2 a ) 2 + ( 3 b) 2 = r 2 由题意,得: (2 a ) 2 + (5 b) 2 = r 2 a 2b 3 = 0 a = 1 解方程组,得:b = 2 r = 10 所以所求的圆的标准方程为:( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 10

【典型例题】 典型例题】

例3. 已知圆过点 A(2, 3) 和 B(2, 5) ,若圆心在直线 x 2 y 3 = 0 上,试求圆的标准方程. y 解. 易求线段的中垂线方程: l1 : 2 x + y + 4 = 0 o x 又已知圆心在直线 l2 : x 2 y 3 = 0 Q A(2,-3) 求得 l1与l2 交点 Q(1, 2) 即为圆心坐标.又

B(-2,-5)
2 2

r = QA = (2 + 1) 2 + (3 + 2) 2 = 10
2 2

所以所求的圆的标准方程为:( x + 1) + ( y + 2) = 10

点与圆的位置关系
一个圆过点P(12,0),且与y轴切于原点.求这个圆的方程,并判 断点A(6,-6), B(5,-5),C(2.5,5)是在圆内,在圆外,还是在圆上. 在圆上,B在圆内 (x-6)2+y2=62 A在圆上 在圆内 在圆外 在圆上 在圆内,C在圆外

小结
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 以C(a,b)为圆心, r>0为半径的圆的方程为:

( x a ) + ( y b) = r
2 2

2

称上述形式的圆的方程为圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r>0为半径的圆的标准方程是

x2 + y2 = r 2


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