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2014河南郑州、长葛三模】河南省郑州市2014届高三第三次质量预测数学理试题 Word版含答案

时间:2014-06-04


河南省长葛市 2014 届高中毕业班第三次质量预测(三模)

数学(理)试题
本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无 效.交卷时只交答题卡.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一个符合题目要求. 1.复数 z ?

2 ? 4i (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 1? i
B. (一 1,3) C(3,一 1) D. (2,4)

A. (3,3) 2.已知集合 A. ?

B.[1,2)

C.[1,5]

D. (2,5]

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是

4.

5.如右图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三 角形,则该三棱柱的侧视图的面积为

6.设函数 f ( x) )定义为如下数表,且对任意自然数 n 均有 xn+1= f ( xn ), 若x0 ? 6, 则x2014 的 值为

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A.1

B.2

C.4

D.5

A.9

B.11

C.12

D.16

10.若( x ? ) n 的展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等,则直线 y=nx 与曲线 y=x2 围成的封闭区域面积为 A.

2 x

22 3

B.12

C.

32 3

D.36

11.已知圆 P:x2+y2=4y 及抛物线 S:x2=8y,过圆心 P 作直线 l,此直线与上述两曲线的四 个交点,自左向右顺次记为 A,B,C,D,如果线段 AB,BC,CD 的长按此顺序构成 一个等差数列,则直线 l 的斜率为

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13--21 题为必考题。 每个试题考生都必须作答. 第 22—24 题为选考题。考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分. 13.已知等差数列 {an } 满足 a3 ? 4, a4 ? a9 ? 22, 则其前 11 项 之和 S11= . 14.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印 的点在圆 x2+y2=10 内有 个. 15.正三角形 ABC 的边长为 2 3 ,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,此时四面体 ABCD 的外接球的体积为 16.设函数 f ( x) )是定义在(一 ? ,0)上的可导函数,其导函数
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 相邻两个对称轴之间的距离是号,且满足,

f ( ) ? 3. 4
(I)求 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ) 在钝角△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, sinB= 3 sin C , a ? 2, f ( A) ? 1 , 求△ABC 的面积。

?

18. (本小题满分 12 分) 某市教育局为了了解高三学生体育达标情况, 在某学校的高三学生体育达标成绩中随机 抽取 100 个进行调研,按成绩分组:第 l 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) , 第 4 组[90,95) ,第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示:

若要在成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进行复查: (I)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组,求学生甲和学生乙至少有一人被选中复 查的概率; (Ⅱ) 在已抽取到的 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受篮球项目的考核, 设第三组中有 三名学生接受篮球项目的考核,求暑的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分)
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20. (本小题满分 12 分)

(I)求曲线 C 的方程, (Ⅱ)直线 l 与直线 l,垂直且与曲线 C 交于 B、D 两点,求△OBD 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)

(I)求实数 b,c 的值; (11)求 f ( x) 在区间[-2,2]上的最大值. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ADC 的外 接圆交 BC 于点 E,AB=2AC (I)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

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(I)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (II)设直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,定点 P(—2,—3) ,求|PA|·|PB|的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 3a |,( a ? R ) (I)当 a=1 时,解不等式 f ( x) ? 5? | 2 x ? 1|; (1I)若存在 x0 R, 使f ( x0 ) ? x0 ? 6, 成立,求 a 的取值范围.

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2014 年高中毕业年级第三次质量预测 理科数学
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 B 6 D 7 D 8 C 9 B 10 C 11 A 12 A

参考答案

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 110 14.3 15.

13 13? 6

16.

? ??, ?2016 ?

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (Ⅰ)由题意知周期 T ? ? ,? ? ? 2, 因为 f ( ) ? 由

?

3? ? 5? ? 2k? , (k ? Z ), ? ? k? ? x ? ? k? , (k ? Z ) , 2 6 2 3 6 ? 5? 所以 f ( x) 的单调递减区间为 [ ? k? , ? k? ], (k ? Z ). ???????6 分 3 6 ? ? 1 (Ⅱ)由题意 b ? 3c , f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 1 , ? sin( 2 A ? ) ? , 6 6 2 ? ? 11? ? ? ? ? ? 2A ? ? ,? A ? 或 , 6 6 6 6 2 ? 2 k? ? 2 x ? ?
因为△ABC 为钝角三角形,所以

?

4

3 ,所以 A ? 2 ,

f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ,???????3 分

?

?

2

舍去,故 A ?

?

6

,???????8 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,? 4 ? 3c 2 ? c 2 ? 2 3c 2 ?

3 ? c2 , 2

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所以 c ? 2, b ? 2 3 ,

S ?ABC ?

1 1 ? 2 3 ? 2 ? ? 3 .???????12 分 2 2

18. (Ⅰ)设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件 A, 第 三 组 人 数 为 100 ? 0.06 ? 5 ? 30 , 第 四 组 人 数 为 100 ? 0.04 ? 5 ? 20 , 第 五 组 人 数 为 100 ? 0.02 ? 5 ? 10 , 根据分层抽样知,第三组应抽取 3 人,第四组应抽取 2 人,第五组应抽取 1 人,???????2 分 第四组的学生甲和学生乙至少有 1 人进入复查, 则: P ( A) ?
1 1 C2 ? C18 ? 1 37 ? . 2 C20 190

???????5 分

(Ⅱ)第三组应有 3 人进入复查,则随机变量 ? 可能的取值为 0,1,2,3.
i 3? i C3 C3 且 P (? ? i ) ? (i ? 0、 1、 2、 3) ,则随机变量 ? 的分布列为: 3 C6

?
P

0

1

2

3

1 9 9 1 20 20 20 20 1 9 9 1 3 E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? .???????12 分 20 20 20 20 2
19.(Ⅰ)∵ CD 2 ? BC 2 ? BD 2 . 又∵ PD ⊥底面 ABCD. 又∵ PD ? BD ? D. 而 BC ? 平面 PBC , ∴ BC ? BD.

∴ PD ? BC. ∴ BC ? 平面 PBD. ∴平面 PBC ? 平面 PBD. ???????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)所证, BC ? 平面 PBD ,所以∠ PBD 即为二面角 P ? BC ? D 的平面角, 即∠ PBD ?

?
4

.

而 BD ? 2 3 ,所以 PD ? 2 3. 因为底面 ABCD 为平行四边形,所以 DA ? DB , 分别以 DA 、DB 、 DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(2,0,0) , B(0,2 3 ,0) , C (?2,2 3 ,0) , P (0,0,2 3 ) , 所以, AP ? (?2,0,2 3 ) , BC ? (?2,0,0) , BP ? (0,?2 3 ,2 3 ) , 设平面 PBC 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? 令 b ? 1 则 n ? (0 , 1 ,1),

? ?n ? BC ? 0, ? ? n ? BP ? 0,

即?

? ??2a ? 0, ? ??2 3b ? 2 3c ? 0.

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∴ AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 sin ? ?

AP ? n AP n

?

2 3 4? 2

?

6 . ???????12 4

分 20.(Ⅰ)设动点 N ( x, y ) , A( x 0 , y 0 ), 因为 AM ? x 轴于 M ,所以 M ( x 0 ,0) , 设圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,由题意得 r ?
3 5 1? 4 ?3



所以圆 C1 的程为 x 2 ? y 2 ? 9 .

由题意, ON ? 3 OA ? (1 ? 3 )OM ,所以 ( x, y ) ? 3 ( x0 , y 0 ) ? (1 ? 3 )( x0 ,0) ,
3 3 3 3

? x ? x0 , ? ? ? x0 ? x, 所以 ? 即 ? 3 y0 , ? ?y ? ? y0 ? 3 y. 3 ?
将 A( x, 3 y ) 代入圆 x ? y ? 9 ,得动点 N 的轨迹方程
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 9 3

x2 y2 (Ⅱ)由题意可设直线 l : 2 x ? y ? m ? 0 ,设直线 l 与椭圆 ? ? 1 交于 9 3

B( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ) ,
联立方程 ?

? y ? ?2 x ? m,
2 2 ?x ? 3y ? 9

得 13 x 2 ? 12mx ? 3m 2 ? 9 ? 0 ,

? ? 144m 2 ? 13 ? 4(3m 2 ? 9) ? 0 ,解得 m 2 ? 39 ,
x1, 2 ? ? 12m ? 468 ? 12m 2 ? 6m ? 117 ? 3m 2 , ? 26 13

又因为点 O 到直线 l 的距离 d ?

m 5

, BD ? 5 ? x1 ? x2 ? 5 ?

2 117 ? 3m 2 , 13

S ?OBD

1 m 2 117 ? 3m 2 ? ? ? 5 ? 2 5 13

m 2 (117 ? 3m 2 ) 3m 2 (39 ? m 2 ) 3 3 ? . ? 13 13 2

(当且仅当 m 2 ? 39 ? m 2 即 m 2 ?

39 时取到最大值) 2

? ?OBD 面积的最大值



3 3 . 2

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21. (I)由题意当 x ? 0 时, f (0) ? c ? 1 ? 1,? c ? 2 , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?2e
0

?b, 依题意得 f ?(0) ? ?2e ? b ? 0,? b ? 2 , ?b ? 2, 经检验 ? 符合条件. ????????????4 分 ?c ? 2
2x

(Ⅱ)由(I)知, f ( x) ? ?

2x ? ??e ? 2 x ? 2, x ? 1, 2 ? ?a ( x ln x ? x ? 1) ? 1, x ? 1,

① 当 ? 2 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?e 2 x ? 2 x ? 2 , f ?( x) ? ?2e 2 x ? 2 , 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 0, 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x f ?( x) f ( x)

?2

(?2,0)
+ 递增

0 0 极大值 1

(0,1)
— 递减

1

?e ? 2

?4

4 ? e2

由上表可知 f ( x) 在 [?2,1] 上的最大值为 1 . ????????????7 分 ② 当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a ( x ln x ? x ? 1) ? 1 . f ?( x) ? a (2 x ln x ? x ? 1) , 令 g ( x) ? 2 x ln x ? x ? 1 ,
2

当 1 ? x ? 2 时,显然 g ( x) ? 0 恒成立, 当 a ? 0 时, f ?( x) ? a (2 x ln x ? x ? 1) ? 0, f ( x) 在 (1,2] 单调递减, 所以 f ( x) ? f (1) ? 1 恒成立. 此时函数在 [?2,2] 上的最大值为 1 ; 当 a ? 0 时,在 (1,2] 上 f ( x) ? 1 , 当 a ? 0 时, 在 (1,2] 上 f ?( x) ? a (2 x ln x ? x ? 1) ? 0, 所以在 (1,2] 上,函数 f ( x) 为单调递增函数. ∴ f ( x) 在 (1,2] 最大值为 a (4 ln 2 ? 1) ? 1 , ? a (4 ln 2 ? 1) ? 1 ? 1 ,故函数 f ( x) 在 [?2,2] 上最大值为 a (4 ln 2 ? 1) ? 1 . 综上:当 a ? 0 时, f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 1 ; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 [?2,2] 最大值为 a (4 ln 2 ? 1) ? 1 .????????????12 分 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(Ⅰ)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2 DE , 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD ;????????????5 分 (Ⅱ)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t ,
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BE DE ? , BA CA

则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t 2 ? 9t ? 18 ? 0 , 解得 t ?

3 3 或 ? 6 (舍去) ,则 AD ? . ?????????10 分 2 2

23.(Ⅰ) ? ? 4 2 sin(? ?
2

?

4

) ? 4 sin ? ? 4 cos ? ,
2 2 2 2

所以 ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? cos ? ,所以 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 ,即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ; 直线 l 的直角普通方程为: 3 x ? y ? 2 3 ? 3 ? 0. ????????????5 分 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入到圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 ,
2 2

得 t 2 ? (4 ? 5 3 )t ? 33 ? 0 , ? t1 , 2 ? 因为点 P (?2,?3) 显然在直线 l 上,

4 ? 5 3 ? 40 3 ? 41 ,? t1t2 ? 33 . 2

由 直 线 标 准 参 数 方 程 下 t 的 几 何 意 义 知

PA PB = t1t2 ? 33,

所 以

PA PB ? 33 .??????10 分
24、 【解】 (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式 f ? x ? ? 5 ? 2 x ? 1 可化为 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 5 , 当x? 当

1 1 时,不等式即 3 ? x ? 1 ? 2 x ? 5,? x ? ? , 2 3

1 ? x ? 3 时,不等式即 3 ? x ? 2 x ? 1 ? 5,? x ? 3, 所以 x ? ? , 2

当 x ? 3 时,不等式即 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 5,? x ? 3 , 综上所述不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ? 3? . ????????????5 分

? ?

1 3

? ?

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 3a ? x ? ? 所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 最小值为 3a ,

?2 x ? 3a, x ? 3a, ?3a, x ? 3a,

根据题意可得 3a ? 6 ,即 a ? 2 ,所以 a 的取值范围为 (??,2) .?? ??????10 分

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