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含参数导数问题分类讨论(学生)

时间:2018-12-14

含参数导数的解题策略
导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其 中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常 作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技 能, 还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而含参数的导数问题是近年来高考的难点 和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数,转化为最值策略 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若 a ? f ? x ? 恒成立,只须求出

f ? x ?max ,则 a ? f ?x ?max ;若 a ? f ?x ? 恒成立,只须求出 f ? x ?min ,则 a ? f ?x ?min ,转
化为函数求最值. 例 1、已知函数 f ( x) ? x ln x .(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1, 求实数 a 的取值范围.

二、导数为 0 的点是否在定义域内,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点, 从而引起讨论.
2 例 2.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a) .

(Ⅰ)若 f ?(1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间[0,2]上的最大值.

三、导函数为 0 是否存在,分类讨论策略 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式) ,涉及到二次方程 问题时,△与 0 的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关, 令△=0,求分点,从而引起讨论. 例 3、已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ln x , ( a ? R ) ,讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性. 四、导函数为 0 的方程的根大小不确定,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在 定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等 求分点,从而引起讨论. 例 4、已知 m ? 0 ,讨论函数 f ( x) ?

m x2 ? 3(m ? 1) x ? 3m ? 6 的单调性. ex

练习
求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式) ,从而引起讨论。 一、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的 实根是否落在定义域内,从而引起讨论。 二、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根 也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 三、

? 1 , x ?1 ? 1.08 广东(理) 设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R , ?? x ? 1, x ? 1 ?
试讨论函数 F ( x) 的单调性。

2. (08 浙江理)已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

x ? x ? a?

(Ⅱ)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ? 0, 2? 上的最小值。 ( i )写出 g ? a ? 的表达式; ( ii )求 a 的取值范围,使得 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。

3(07 天津理)已知函数 f ? x ? ?

2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

?

?

4(07 高考山东理改编)设函数 f ? x ? ? x ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值
2

点。

含参数导数的解题策略
例 1、解: (Ⅰ)略. (Ⅱ)∵ 对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 , ∴ 对所有 x ? 1 都有 x ln x ? ax ? 1 ,即 a ? ln x ?

1 . x

1 , ( x ? 0), 只需 a ? g ( x) min . x 1 1 令 g ' ( x) ? ? 2 ? 0, 解得 x ? 1. x x
记 g ( x) ? ln x ?

g ' ( x) ? 0 ? x ? 1, g ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1.
∴ 当 x ? 1 时, g ( x) 取最小值 g (1) ? 1. ∴ a ? 1. 即 a 的取值范围是 a a ? 1 . 例 2. 解: (I)略. (II)令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? 当

?

?

2a . 3

2a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ( x) 在[0,2]上单调递增,从而 fmax ? f (2) ? 8 ? 4a . 3 2a ? 2 时,即 a ? 3 时, f ( x) 在[0,2]上单调递减,从而 f max ? f (0) ? 0 . 当 3
当0 ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 , f ( x) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2? 上单调递增, 3 ? 3? ?3 ?

从而

? ?8 ? 4a, 0 ? a ? 2. f max ? ? 2 ? a ? 3. ? ?0, ? ?8 ? 4a, a ? 2. ? ?0, a ? 2.
a 2x2 ? x ? a ? , ( x ? 0) , x x

综上所述, f max ? ?

例 3、 解:由已知得 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? (1)当 ? ? 1 ? 8a ? 0 , a ?

1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数. 8 1 (2)当 ? ? 1 ? 8a ? 0 , a ? 时, 8
1) 0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8 a 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 时, ? ? 0 ,f ( x) 在 [ , ] 8 2 2 2 2

上为减函数, f ( x) 在 (0,

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ],[ , ??) 上为增函数, 2 2

2)当 a ? 0 时,

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? 0 ,故 f ( x) 在 [0, ] 上为减函数, 2 2

f ( x ) 在[
综上,当 a ?

1 ? 1 ? 8a ,+∞)上为增函数. 2

1 时, f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数. 8 1 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 时, f ( x) 在 [ , ] 上为减函数, 8 2 2
f ( x) 在 (0,

当0 ? a ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ],[ , ??) 上为增函数, 2 2
1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ]上为减函数, f ( x) 在[ , 2 2

当 a ? 0 时, f ( x) 在(0, +∞)上为增函数. 例 4、解: f ?( x) ? 得 x1 ? ?

? m x2 ? (m ? 3) x ? 3 ,设 g ( x) ? ?mx2 ? (m ? 3) x ? 3 ,令 g ( x) ? 0 , x e

3 , x2 ? ?1 . m 3 ) , (?1,??) 上 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , m

1)当 0 ? m ? 3 时, x1 ? x2 ,在区间 (?? ,? 所以 f ( x ) 在区间 (?? ,? 在区间 (?

3 ) , (?1,??) 上是减函数; m

3 3 , ? 1) ,g ( x) ? 0 , ? 1) 上是增函数; 即 f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 在区间 (? , m m

2) 当 m ? 3 时,x1 ? x2 ,在区间 (??,?1) , 即 f ?( x) ? 0 , 又 f ( x) (?1,??) 上 g ( x) ? 0 , 在 x ? 1 处连续,所以 f ( x ) 在区间 (??,??) 上是减函数; 3)当 m ? 3 时, x1 ? x2 ,在区间 (??,?1) , (? 所以 f ( x ) 在区间 (??,?1) , (?

3 , ? ?) 上 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , m

3 , ? ?) 上是减函数; m

? 在区间 (?1,
数.

3 3 ) 上, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (?1, ? ) 上是增函 m m

练习
1.

?1 ? k ?1 ? x ?2 , x ?1 ? ? 1 2 ? kx, x ? 1, ? ? ?1 ? x ? 解: F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x 。 , F '( x) ? ? ?? x ? 1 ? kx, x ? 1 ? 1 ? 2k x ? 1 ? , x ?1 ?? 2 x ?1 ?
考虑导函数 F '( x) ? 0 是否有实根,从而需要对参数 k 的取值进行讨论。 (一) 若 x ? 1, 则 F '( x) ? 时, F '( x) ? 0 有实根, 因此,对参数 k 分 k ? 0 和 k ? 0 两种情况讨论。 (1) 当 k ? 0 时,F '( x) ? 0 在 (??,1) 上恒成立, 所以函数 F ( x) 在 (??,1) 上为增函 数;

1 ? k ?1 ? x ?

2

?1 ? x ?

2

F '( x) ? 0 无实根, 。 由于当 k ? 0 时, 而当 k ? 0

(2) 当 k ? 0 时, F '( x) ?

1 ? k ?1 ? x ?

2

?1 ? x ?
? ? 1 k

2

? ? 1 ?? ? ? 1 ?? ?k ? x ? ?1 ? ? ? ? x ? ?1 ? ?? k ?? ? ? k ?? ? ? ? 。 2 ?1 ? x ?

由 F '( x) ? 0 , 得 x1 ? ?1 ?

1 ? ? ? 因为 k ? 0 , 所以 x1 ? 1 ? x2 。 ? , x2 ? ?1 ? ?, k? ? ?

由 F '( x) ? 0 ,得 1 ?

1 1 ? x ? 1 ;由 F '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? 。 k k 1 1 ) 上为减函数,在 (1 ? ,1) 上为 k k

因此,当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ( ??,1 ? 增函数。 (二)若 x ? 1 ,则 F '( x) ? ?

1 ? 2k x ? 1 。由于当 k ? 0 时, F '( x) ? 0 无实根,而 2 x ?1

当 k ? 0 时, F '( x) ? 0 有实根,因此,对参数 k 分 k ? 0 和 k ? 0 两种情况讨论。 (1) 当 k ? 0 时, F '( x) ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,所以函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函 数;

1 ? ? ?k ? x ? 1 ? ? 1 ? 2k x ? 1 2k ? ? (2) 当 k ? 0 时, F '( x) ? ? 。 ? 2 x ?1 x ?1
由 F '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ?

1 1 ;由 F '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 1 ? 。 2 4k 4k 2

因此,当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ? 为增函数。 综上所述: (1) 当 k ? 0 时, 函数 F ( x) 在 ( ??,1 ? 在 ?1, ?? ? 上为减函数。

? ?

1 ? 1 ? ? 上为减函数,在 ?1 ? , ?? ? 上 2 ? 2 4k ? ? 4k ?

1 1 ) 上为减函数, ,1) 上为增函数, 在 (1 ? k k

(2) 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上为增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数。 (3) 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上为增函数,在 ?1,1 ?

? ?

1 ? ? 上为减函数,在 4k 2 ?

1 ? ? 1 ? 2 , ?? ? 上为增函数。 ? ? 4k ?
2 . 解 : ( Ⅰ ) 函 数 的 定 义 域 为

?0, ???



a? ? 3? x ? ? a x ? a 3x ? a 3? f ' ? x? ? x ? ? ? ? ? x ? 0 ? ,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 。 3 2 x 2 x 2 x
考虑

a ' 是否落在导函数 f ( x) 的定义域 ? 0, ??? 内, 需对参数 a 的取值分 a ? 0 及 a ? 0 3

两种情况进行讨论。 (1) 当 a ? 0 时,则 f ' ( x) ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间为

?0, ??? 。
' (2) 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

a a ' ;由 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 。 3 3

因此,当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间为 ?0, ? , f ? x ? 的单调递增区间为 3

? a? ? ?

?a ? , ?? ? 。 ? ?3 ?

(Ⅱ) ( i )由第(Ⅰ)问的结论可知: (1) 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增,从而 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增, 所以 g ? a ? ? f ? 0? ? 0 。 (2) 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增,所以: 3 3 ① 当

? a? ? ?

?a ?

? ?

a ? a? ?a ? ? ? 0, 2 ? ,即 0 ? a ? 6 时, f ? x ? 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递 3 ? 3? ?3 ?

增, 所以 g ? a ? ? f ? ② 当

2a 3a 2a a ?a? 。 ?? ??? 9 3 3 ?3?

a ? ? 2, ?? ? , 即 a ? 6 时 , f ? x ? 在 ?0, 2? 上 单 调 递 减 , 所 以 3

g ? a ? ? f ? 2? ? 2 ? 2 ? a ? 。
?0, a?0 ? ? 2a a g ? a ? ? ?? ,0 ? a ? 6 综上所述, ? 3 3 ? 2 ? 2 ? a ? , a ?~ 6 ?
( ii )令 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。 ①若 a ? 0 ,无解; ②若 0 ? a ? 6 ,由 ?6 ? ? ③ 若 a ? 6 ,由 ?6 ?

2a a ? ?2 解得 3 ? a ? 6 ; 3 3

2 ? 2 ? a ? ? ?2 解得 6 ? a ? 2 ? 3 2 。

综上所述, a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2 。 3、解: ( Ⅰ ) 当 a ? 1 时 , 曲 线 y ? f? x ? 在 点 2 ,f

?

?2 ?? 处 的 切 线 方 程 为

6 x ? 25y ? 32 ? 0 。

1? ? ? 2 a x ? a x ? ? ? ? ? 2a ? x ? 1? ? 2 x ? 2ax ? a ? 1? a? ? ' ? (Ⅱ)由于 a ? 0 ,所以 f ? x ? ? 。 2 2 2 2 x ? 1 x ? 1 ? ? ? ?
2 2

1 , x2 ? a 。这两个实根都在定义域 R 内,但不知它们之间的大 a 小。因此,需对参数 a 的取值分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行讨论。
由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ? (1) 当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 ? ??, ?

? ?

1? ? , ? a, ??? 内为减函数,在 a?

区间 ? ?

1 ? 1 ? ? 1? 故函数 f ? x ? 在 x1 ? ? 处取得极小值 f ? ? ? ? ? a 2 ; 函数 f ? x ? , a ? 为增函数。 a ? a ? ? a?

在 x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1。 (2) 当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 (??, a) , (?

1 ,?? ) 内为增函数,在区 a

间 (a,? ) 为减函数。故函数 f ? x ? 在 x1 ? ?

1 a

1 ? 1? 2 处取得极小值 f ? ? ? ? ? a ;函数 f ? x ? 在 a ? a?

x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1。
b 2x2 ? 2x ? b ? 4、 解: 由题意可得 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? 2 x ? , f ' ? x? x ?1 x ?1
'

的分母 x ? 1 在定义域 ? ?1, ?? ? 上恒为正,方程 2 x ? 2 x ? b ? 0 是否有实根,需要对参数 b 的取值进行讨论。
2

(1)当 ? ? 4 ? 8b ? 0 ,即 b ? 所以 g ? x ? ? 2x ? 2x ? b ? 0
2

1 1 2 时,方程 2 x ? 2 x ? b ? 0 无实根或只有唯一根 x ? ? , 2 2

在 ? ?1, ?? ? 上恒成立, 则f

'

? x ? ? 0 在 ? ?1, ??? 上恒成立,所以函数 f ? x ? 在 ? ?1, ??? 上单

调递增,从而函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 (2)当 ? ? 4? 8 b? 0 ,即 b ? 实根: x1 ?

1 2 ' 时,方程 2 x ? 2 x ? b ? 0 ,即 f ? x ? ? 0 有两个不相等的 2

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b , x2 ? 。 2 2

这两个根是否都在定义域 ? ?1, ?? ? 内呢?又需要对参数 b 的取值分情况作如下讨论: ( ⅰ ) 当 b ? 0 时 , x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1, x2 ? ? ?1 , 所 以 2 2

x1 ?? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。

此时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ? x?

? ?1, x2 ?

?

x2
0 极小值

? x2 , ???

?
递增

f ? x?

递减

由此表可知:当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x2 ?

?1 ? 1 ? 2b 。 2

( ⅱ ) 当 0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时 , x1 ? ? ?1, x2 ? ? ?1 , 所 以 2 2 2

x1 ?? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。
此时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ? x? f ? x?

? ?1, x1 ?

x1

? x1 , x2 ? x2

? x2 , ???

?
递增

0
极大值

?
递减

0
极小值

?
递增

由此表可知:当 0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时, f ? x ? 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 2 2

x2 ?

?1 ? 1 ? 2b 。 2

综上所述: (1) 当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

(2) 当 0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时 , f ? x? 有 一 个 极 大 值 点 x ? 和一个极小值点 2 2

x?

?1 ? 1 ? 2b ; 2
1 时, f ? x ? 无极值点。 2

(3) 当 b ?


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