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第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质

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栏目索引 高考导航 第 2讲 椭圆、双曲线、抛物线 考情分析 栏目索引 考情分析 高考导航 总纲目录 栏目索引 总纲目录 考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 高考导航 考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点) 考点三 直线与圆锥曲线 考点聚焦 栏目索引 第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质 考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 高考导航 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M. 2.圆锥曲线的标准方程 ? y 2 x2 ? x2 y 2 或 ? ? 1 (1)椭圆的标准方程为 2 + 2 =1? ? ,其中a>b>0; 2 2 a b a b ? ? ? y 2 x2 ? x2 y 2 (2)双曲线的标准方程为 2 - 2 =1? 或 2 ? 2 ? 1? ,其中a>0,b>0; a b b ? a ? (3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0. 考点聚焦 栏目索引 典型例题 x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x= a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( ) 5 A. 5 6 5 B. 5 高考导航 C.8 5 5 D. 4 5 5 2 y2 (2)(2017课标全国Ⅰ,5,5分)已知F是双曲线C:x - =1的右焦点,P是C上 3 一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 ( 1 A. 3 ) 1 B. 2 C. 2 3 D. 3 2 考点聚焦 2 栏目索引 (3)已知F是抛物线C:y =8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点 N.若M为FN的中点,则|FN|= 答案 (1)C (2)D (3)6 解析 . 高考导航 (1)设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN| +|MF|+|NF|=|MN|+(2 5 -|ME|)+(2 5 -|NE|).因为|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN||ME|-|NE|≤0,当直线MN过点E时取等号,所以L=4 5 +|MN|-|ME|-|NE|≤ 4 5 ,即直线x=a过椭圆的右焦点E时,△FMN的周长最大,此时S△FMN= × |MN|×|EF|= × 1 2 2? 4 ×2=8 5 ,故选C. 5 5 1 2 (2)易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图. 考点聚焦 栏目索引 ∵PF⊥x轴, ∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S△APF= ×3×1= .故选D. (3)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物 线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点, 所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6. 1 2 3 2 高考导航 考点聚焦 栏目索引 方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程. 高考导航 (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法 确定时,抛物线

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