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高三数学-2018年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C[下学期] 精品

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2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 C (陶平生供题) 学校 姓名 营员证号 一、四面体 ABCD,它的内切球 O 与面 ABD 切于 E,与面 BCD 切于 F, 证明:∠AEB=∠CFD. 二、如图,⊙O1、⊙O2、⊙O3 分别外切⊙O 于 A1、 B1、C1,并且前三个圆还分别与△ABC 的两条边 相切. 求证:三条直线 AA1、BB1、CC1 相交于一点. A A1 B1 C1 B C 三、设实数 a≥b≥c≥d>0,求函数 f (a, b, c, d ) ? (1 ? c d a b )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) 的最小值. a?b b?c c?d d ?a A 与 n 个黑子○ B (n≥3) A ○ A ??○ A ○ B ○ B ??○ B , 四、n 个白子○ ,依次不留间隙地排成一行:○ 现作如下操作:每次将相邻的两子取出(并保持此两子的先后次序) ,放在其它棋子旁的空 位上(仍在同一行). 证明:经过 n 次这样的操作,可使它们排成黑白相间的一行,且不留间隙. (附:当 n=3 时,操作如图所示) 初始状态 第一次操作后 第二次操作后 第三次操作后 A○ A○ A○ B ○ B ○ B ○ A○ B ○ B ○ B ○ A○ A ○ A○ B ○ B ○ A○ B ○ A ○ B ○ A○ B ○ A○ B ○ A ○ 2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 C 解答 (陶平生供题) 学校 姓名 营员证号 A 一、四面体 ABCD,它的内切球 O 与面 ABD 切于 E,与面 BCD 切于 F, 证明:∠AEB=∠CFD. 证 明 : 为 叙 述 方 便 , 将 内 切 球 C0 B0 O D O 在 面 D0 P A0 B C B C ,D A C , D A , B D C点 分 别 改 记 为 上 A 的B切 A0 , B0 , C0 , ,于是, D0 E ? C0 , F ? A0 ,设球 O 的半径为 r , 棱 BD ? 面 OA0C0 ,设垂足为 P ,则 C0 P ? OP 2 ? r 2 ? A0 P ? C0 P , 因为 A0 P ? BD, C0 P ? BD , 则 BA0 ? BC0 , DA0 ? DC0 ,故 ? BA0 D ?? BC0 D ,所以 ?BA0 D ? ?BC0 D ,即是说,棱 BD 关于两相 邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。 在 ? ABD 中,设 ?AC0 B ? ? , ?BC0 D ? ? , ?AC0 D ? ? ,则 于是, ?AD0 B ? ? , ?BA0C ? ? , ?AB0 D ? ? 在 ? BCD 中,设 ?CA0 D ? ?1 , ?BA0C ? ? 1 ,因为 ?BA0 D ? ? ,所以 2 ?1 ? ? ? ? 1 ? 3600 ,于是 ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ??○ 在 ? ABC 中, ?AD0 B ? ?AC0 B ? ? , ?BD0C ? ?BA0C ? ? 1 ,设 ?AD0C ? ?2 , 则 3 ? ? ?2 ? ? 1 ? 3600 ??○ 1 ? ? ? ? ? ? 3600 ?? ○ 在 ? ACD 中, ?AB0C ? ?2 , ?CB0 D ? ?1 , ?AB0 D ? ? , 则 4 ?1 ? ?2 ? ? ? 3600 ??○ 0 3 +○ 4 得, ??1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? 2?2 ? 720 ,据此及○ 2 得, ○ 5 2 ?? ? ? ? ? 2?2 ? 7200 ,所以 ? ? ? ? ?2 ? 3600 ?? ○ 由 ○ 1 、○ 5 得, ? 2 ? ? 故○ 4 式化为 6 ?1 ? ? ? ? ? 3600 ??○ 由 ○ 1 、○ 6 得, ?1 ? ? ,即 ?AC0 B ? ?CA0 D ,也即 ?AEB ? ?CFD. 二、如图,⊙O1、⊙O2、⊙O3 分别外切⊙O 于 A1、 B1、C1,并且前三个圆还分别与△ABC 的两条边相 切. 求证:三条直线 AA1、BB1、CC1 相交于一点. 证明: 设 O1 , O2 , O3 , 及 O 分别是四个圆的圆心, A O1 A1 ? ABC 的内切圆半径 其半径分别为 R1 , R2 , R3 与 R , B O2 B1 O C1 O3 C 为 r ,显然, AO1 , BO2 , CO3 为 ? ABC 的三条内角 平分线,故相交于其内心 I .设 OI ? d (定值). 记 AI ? ?1 , BI ? ?2 , CI ? ?3 , AO1 ? t1 , BO2 ? t2 , CO3 ? t3 ,对于 ?OIO1 ,因为⊙O 与 ? O1 的切点 A1 在连心线 OO1 上,点 A 在 IO1 的延长线上,则直线 AA1 必与线段 OI 相交,其交点设为 M 1 . 同理可设,直线 BB1 ? OI ? M 2 , CC1 ? OI ? M3 .只须证 M1 , M 2 , M 3 重合. 直线 AA1 截 ?OIO1 于 A, A1 , M1 ,由梅尼劳斯 O A OM1 IA 定理, 1 1 ? ? ? 1, A1O M1I AO1 O M1 I A1 O1 A 即 R1 ? 1 M I1 1 ? ? ?? ○ R t1 OM1 同 理 有 R2 ? 2 M I 2 ? ? ?? R t2 OM 2 2 ○ , 以 及 E A R3 ? 3 M I3 ? ? ?? ○ 3 R t3 OM 3 R1 O 1 F r I C 易知 r ?i ? Ri R ?? r , i ? 1, 2,3 ,所以 i i ? , i ? 1, 2,3 ,从而 ti R ? ti R

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