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高三数学-2018年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题B[下学期] 精品

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2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测 试 题 B 学校: 姓名: 营员证号:________ 一. 以 ⊿ ABC 的 三 条 边 作 为 斜 边 , 分 别 向 形 内 方 向 作 等 腰 直 角 三 角 形 A1BC, B1CA, C1 AB, 若三点 A1 , B1 , C1 在一直线上, 试求 cot A ? cot B ? cot C 的值. 二. 平面上给出 n 个点 ? n ? 3? ,以这些点为端点的集合为 M,线段长度的集合为 D, ?d ? D, M 中长为 d 的线段条数记为 f ? d ? . 证明: ?1? . 对于 D 中的最小数 d 0 , 有 f ? d0 ? ? 3n ? 6, ? 2 ? . ?d ? D, f ? d ? < 3 n2 三. 设 f ? x ? ? x ? ? k x ? , x ? 0, k ? 2, 记 f1 ? x ? ? f ? x ? , f n?1 ? x ? ? f ? ? ? f ? x ?? . n 证明:对每个给定的正整数 a, 数列 fn ? a ? 中必有一个 K 次方整数. ? ? 四.某人掷硬币,得正面记 a 分,得背面记 b 分, (a, b 为互质正整数, a ? b ) ,并将每次 的得分进行累记,他发现,不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次,恰有 35 个分值 总是记录不到,例如 58 就是其中之一,试确定 a , b 的值。 2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 B 解答 学校: 姓名: 营员证号:________ 四. 如 图 , 以 ⊿ ABC 的 三 条 边 作 为 斜 边 , 分 别 向 形 内 方 向 作 等 腰 直 角 三 角 形 A1BC, B1CA, C1 AB, 若 三 点 A1 , B1, C 1在 一 直 线 上,试求 cot A ? cot B ? cot C 的值. 解:设 ABC 的外心为 O ,外接圆半径为单位长, 作 C1D ? AB 于 D ,则外心 O 在 AB 的中垂线 C1D 上, 且圆周角 C ? ?ACB ? ?AOD , 于是, A C1 F O D B1 A1 C E B OC1 ? DC1 ? DO ? DA ? DO ? sin C ? cos C, 同 理 有 OB1 ? sin B ? cos B , 而 OA1 ? OE ? A1E ? OE ? BE ? cos A ? sin A ,由于 OA1 ? BC, OB1 ? AC, OC1 ? AB ,则 ?AOC 1 1 ? B, S S S OA1C1 ?AOB 1OC1 ? ? ? A ,因此, 1 1 ? C , ?B OA1B1 OB1C1 1 1 ? OA1 ? OC1 ? sin ?A1OC1 ? ? cos A ? sin A ?? sin C ? cos C ? sin B, 同理有, 2 2 1 1 ? OA1 ? OB1 ? sin ?A1OB1 ? ? cos A ? sin A ?? sin B ? cos B ? sin C , 2 2 1 1 ? OB1 ? OC1 ? sin ?B1OC1 ? ? sin B ? cos B ?? sin C ? cos C ? sin A, 2 2 OB1C1 因为点 A1 , B1 , C1 共线,则 S ?S OA 1B 1 ?S ,即有 OA 1C1 ?sin B ? cos B??sin C ? cos C ? sin A ? ?cos A ? sin A??sin B ? cos B? sin C ? 1 ? ? cos A ? sin A??sin C ? cos C ? sin B, ……○ 同除以 sin A sin B sin C ,得 ?1? cot B??1? cot C ? ? ?cot A ?1??1? cot B? ? ? cot A ?1??1? cot C ? , 即 1 ? c oB t ? co Ct ? cB ot C co ? t ot A? c o B t? ? 1 cA ot ?c B c o? t ? 2 ? ? cot A ? cot C ?1 ? cot Acot C ? ……○ 而在 ABC 中, 由于 cot A cot B ? cot B cot C ? cot C cot A ? 1 因此由○ 2 得 cot A ? cot B ? cot C ? 2 . 五. 平面上给出 n 个点 ? n ? 3? ,以这些点为端点的集合为 M,线段长度的集合为 D, ?d ? D, M 中长为 d 的线段条数记为 f ? d ? . 证明: ?1? . 对于 D 中的最小数 d 0 , 有 f ? d0 ? ? 3n ? 6, ? 2 ? . ?d ? D, f ? d ? < n 2 证: ?1? . 对 n 归纳,当 n ? 3 时显然有 f ? d0 ? ? 3 ? 3n ? 6 ,今设命题对于 n ? n ? 3? 个 点成立, 考虑 n ? 1 个点的情况, 设其中一点 pn?1 是其凸包的顶点, 则 pn?1 至多引出 3 条长度为最小值 d0 的线段.去掉 pn?1 后由归纳 A C 3 假设,剩下 n 个点,连线中至多有 3n ? 6 条长为最小值 d0 的线段 Pn+1 B 因此,这 n ? 1 个点所成的线段中,成立 f ? d0 ? ? 3n ? 6 ? 3 ? 3? n ? 1? ? 6 ,从而命题对一 切不小于 3 的 n 皆成立. ,对于每个红点 pi ,(i ? 1, 2, ? 2?. 称已知点为“红点” 为 d 的线段 k i 条,则 , n) ,若它发出的线段中,有长 ?k i ?1 n i ? 2

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