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4.1动量与冲量 动量定理(高中物理竞赛及高考复习资料)

时间:2012-07-02


第四讲

动量 角动量和能量

§ 4.1 动量与冲量 动量定理
4.1. 1.动量
在牛顿定律建立以前,人们为了量度物体作机械运动的“运动量” ,引入了 动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到:物体的质量和速度越大,其 “运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积 mv 遵从一定的规律,例如,在两 物体碰撞过程中,它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上, 人们就引用 mv 来量度物体的“运动量” ,称之为动量。

4.1.2.冲量
要使原来静止的物体获得某一速度, 可以用较大的力作用较短的时间或用较 小的力作用较长的时间,只要力 F 和力作用的时间 ? t 的乘积相同,所产生的改 变这个物体的速度效果就一样,在物理学中把 F ? t 叫做冲量。

4.1.3.质点动量定理
由牛顿定律,容易得出它们的联系:对单个物体:
F ? t ? ma ? t ? m ? v ? mv 1 ? mv 0
F?t ? ?p

即冲量等于动量的增量,这就是质点动量定理。 在应用动量定理时要注意它是矢量式, 速度的变化前后的方向可以在一条直线 上,也可以不在一条直线上,当不在一直线上时,可将矢量投影到某方向上,分 量式为:
F x ? t ? mv tx ? mv 0 x
F y ? t ? mv ty ? mv 0 y

F z ? t ? mv tz ? mv 0 z

对于多个物体组成的物体系, 按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点 用动量定理:

第1个 第2个
?

I 1 外+ I 1 内= m 1 v 1 t ? m 1 v 10

I 2 外+ I 2 内= m 2 v 2 t ? m 2 v 20
?
In

第n个 由牛顿第三定律: 因此得到:
I 1 外+ I 2 外+



+ I n 内= m n v nt ? m n v n 0
I 1 内+ I 2 内+??+ I n 内=0

??+ I n 外=( m 1 v 1t + m 2 v 2 t +??+ m n v nt )-( m 1 v 10 + m 2 v 20 +?? m n v n 0 )

即:质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。

§ 4,2 角动量

角动量守恒定律

动量对空间某点或某轴线的矩,叫动量矩,也叫角动量。 它的求法跟力矩完全一样,只要把力 F 换成动量 P 即可,故
B

B 点上的动量 P 对原点 O 的动量矩 J 为
? ? ? J ? r?P

( r ? OB )

O

以下介绍两个定理: (1).角动量定理: 质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商,等于作用在该质点上的力对 比同点或同轴的力矩,即
dJ dt ? M

( M 为力矩) 。

(2) .角动量守恒定律 如果质点不受外力作用,或虽受外力作用,但诸外力对某点的合力矩为零, 则对该点来讲,质点的动量矩 J 为一恒矢量,这个关系叫做角动量守恒定律 即

r×F=0,则 J=r×mv=r×P=恒矢量

§ 动量守恒定律 4.3
动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的, 首先在碰撞问题的研究中 发现了它,随着实践范围的扩大,逐步认识到它具有普遍意义, 对于相互作用的系统, 在合外力为零的情况下,由牛顿第二定律和牛顿第三 定律可得出物体的总动量保持不变。 即:
m 1 v 1t + m 2 v 2 t
2 n +??+ m n v n = m 1 v 1? ? m 2 v ? ? ?? m n v ?

上式就是动量守恒定律的数学表达式。 应用动量守恒定律应注意以下几点: (1)动量是矢量,相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的 所有物体的动量的矢量和, 而不是代数和, 在具体计算时, 经常采用正交分解法, 写出动量守恒定律的分量方程,这样可把矢量运算转化为代数运算, (2)在合外力为零时,尽管系统的总动量恒定不变,但组成系统的各个物 体的动量却可能不断变化, 系统的内力只能改变系统内物体的动量,却不能改变 系统的总动量。在合外力不为零时,系统的总动量就要发生改变,但在垂直于合 外力方向上系统的动量应保持不变,即合外力的分量在某一方向上为零,则系统 在该方向上动量分量守恒。 (3)动量守恒定律成立的条件是合外力为零,但在处理实际问题时,系统 受到的合外力不为零, 若内力远大于外力时,我们仍可以把它当作合外力为零进 行处理,动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时,可忽略外 力的冲量,系统动量近似认为守恒。

(4)动量守恒定律是由牛顿定律导出的,牛顿定律对于分子、原子等微观 粒子一般不适用,而动量守恒定律却仍适用。因此,动量守恒定律是一条基本规 律,它比牛顿定律具有更大的普遍性。 动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时,它的总动量是

守恒的, 所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态,这个讨论包含了三 层含意: (1)如果一个质点系的质心原来是不动的,那么在无外力作用的条件下, 它的质心始终不动,即位置不变。 (2)如果一个质点系的质心原来是运动的,那么在无外力作用的条件下, 这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直 线运动。 (3)如果一个质点系的质心在某一个外 力作用下作某种运动, 那么内力不能改变质心
B A B

R

图 4-3-1

的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动, 如果突然炸成两块, 那么这两块物体的质心仍

s

A

然继续做原来的抛体运动。 如果一个质量为 m A 的半圆形槽 A 原来静止 在水平面上, 原槽半径为 R。 将一个质量为 m B 的滑块 B 由静止释放(图 4-3-1) ,若不计一切 摩擦,问 A 的最大位移为多少?
A

B

s

图 4-3-2

由于 A 做的是较复杂的变加速运动,因此很难用牛顿定律来解。由水平方向 动量守恒和机械能守恒,可知 B 一定能到达槽 A 右边的最高端,而且这一瞬间

A、B 相对静止。因为 A、B 组成的体系原来在水平方向的动量为零,所以它的 质心位置应该不变,初始状态 A、B 的质心距离圆槽最低点的水平距离为:
s ? mB mA ? mB ?R



所以 B 滑到槽 A 的右边最高端时,A 的位移为(图 4-3-2)
2s ? 2m B mA ? mB ?R

如果原来 A、B 一起以速度 v 向右运动,用胶水将 B 粘在槽 A 左上端, 某一时刻胶水突然失效,B 开始滑落,仍然忽略一切摩擦。设从 B 脱落到 B 再 次与 A 相对静止的时间是 t ,那么这段时间内 A 运动了多少距离? B 脱落后,A 将开始做变加速运动,但 A、B 两物体的质心仍然以速度 v 向右 运动。所以在 t 时间内 A 运动的距离为:
L ? vt ? 2m B mA ? mB R


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