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直线与直线的位置关系y与距离公式

时间:2018-06-12


课题:直线与直线的位置关系与距离公式
考纲要求:
①能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ③掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

教材复习
1. 两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)
①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为 0 ,则这两条直线垂直. 平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交. 当直线不平行于坐标轴时,直线与圆的位置关系可根据下表判定 斜截式 一般式

l1 : y ? k1 x ? b1
方 程 相 交 垂 直 平 行

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1B2 ? A2 B1 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 0

l2 : y ? k2 x ? b2 k1 ? k2 k1k2 ? ?1 k1 ? k2 且 b1 ? b2

? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 或? ? ? B2C1 ? B1C2 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0
A1B2 ? A2 B1 ? B2C1 ? B1C2 ? AC 1 2 ?A 2C1 ? 0

重 合

k1 ? k2 且 b1 ? b2

2. 几个公式
①已知两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 | P 1P 2 |?

②设点 A( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, 点 A 到直线 l 的距离为 d ? ③设直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0(C1 ? C2 ), 则 l1 与 l 2 间的距离 d ?

5. 直线系
① 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为 ②与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 ③过两直线 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的交点的直线系方程为

基本知识方法
1. 在判断两条直线的位置关系时的分类讨论 , 要防止因考虑不周造成的增解与漏解 ,关键
是要树立检验的意识. ①要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;②要考虑两条直线平行时不能重合;

2. 在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低
运算量.

3. 在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用
两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的 x、 y 的系数对应相等

4. 处理动直线过定点问题的常用的方法: ①将直线方程化为点斜式;②化为过两条直线的
交点的直线系方程;③特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点; ④从“恒成立”入手,将动直线方程看作对参数恒成立.

2. 当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系. 3. 两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的
个数.

典例分析:
考点一 两直线的垂直与平行

问题 1. ?1? ( 2012 浙江)设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 :
x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

? 2 ? ( 09 上海春)已知直线 l1 :? k ? 3? x ? ? 4 ? k ? y ?1 ? 0 与 l2 :2 ? k ? 3? x ? 2 y ? 3 ? 0
平行,则 k 的值是

A. 1 或 3

B. 1 或 5

C. 3 或 5

D. 1 或 2

? 3? ( 2011 浙江)若直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m ?

求满足下列条件的 a , b ax ? by ? 4 ? 0 和 l2 : ? 4 ? 已知两条直线 l1 : ? a ?1? x ? y ? b ? 0 , ?1? l1 ? l2 ,且 l1 过点 ? ?3, ?1? ; ? 2 ? l1 ∥l2 ,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

值:

问题 2. 已知 △ ABC 三边的方程为:AB :3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,AC :2 x ? 3 y ? 22 ? 0 ,
BC : 3x ? 4 y ? m ? 0 . ?1? 判断三角形的形状; ? 2 ? 当 BC 边上的高为1 时,求 m 的值.

考点二 运用直线系求直线方程 问题 3. ?1? ( 2010 安徽)过点 ?1,0? 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

? 2 ? ( 04 全国Ⅱ)过点 ? ?1,3? 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

? 3? ( 2013 银川一中月考)求过直线 l1 : 3x ? 2 y ?1 ? 0 和 l2 : 5x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点
且垂直于直线 l3 3x ? 5 y ? 6 ? 0 的直线方程.

问题 4.已知直线 l : (2a ? b) x ? (a ? b) y ? a ? b ? 0 及点 P(3,4) .

?1? 证明直线 l 过某定点,并求该定点的坐标; ? 2 ? 当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程.

考点三 点到直线的距离问题 问题 5. ?1? ( 06 浙江)点 ?1, ?1? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是
A.
1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 2 2

? 2 ? 已知 P ? x0 , y0 ? ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ? .
求证:点 P 到直线 l 的距离是 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

? 3? 已知 5x ? 12 y ? 60 ,则

x 2 ? y 2 的最小值是

? 4 ? 已知一直线 l 被两直线 l1 : 3x ? 4 y ? 7 ? 0 和 l2 : 3x ? 4 y ? 8 ? 0 截得的线段长为 4
且 l 过点 P ? 2,3? ,求直线 l 的方程.

15



考点四 对称问题 问题 6. ?1? 点 ? 2,3? 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点是

.

? 2 ? ( 2012 南京调研)与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线方程为
A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. ?3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 3x ? 4 y ? 5 ? 0

? 3? 求直线 l1 y ? 2 x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1对称的直线 l2 的方程

课后作业:
1. 已知直线 l1 : ? m ? 2? x ? ? m ? 3? y ? 5 ? 0 和直线 l2 : 6x ? ? 2m ?1? y ? 5 ,求满足下列
条件的实数 m 的取值范围或取值: ?1? l1 与 l2 相交; ; ; ? 4 ? l1 与 l2 重合;

? 2 ? l1 ∥ l2 :

; ? 3? l1 ? l2 ;

2. ( 07 届高三北京海淀第一学期期末练习)若直线 x ? ?1? m? y ? m ? 2 ? 0 与直线
mx ? 2 y ? 8 ? 0 平行,则实数 m 的值为 A. 1 B. ?2 C. 1 或 ?2 D. ?1 或 ?2

3. ( 98 上海)设 a, b, c 分别为 △ ABC 所对边长,则直线 x sin A ? ay ? c ? 0 与直线

bx ? y sin B ? sin C ? 0 的位置关系是: A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直

4. 过点 P ? ?1, 2? 且与点 A ? 2,3? 和 B ? ?4,5? 距离相等的直线 l 的方程是

5. 已知: a 、 b ? R ,且 a ? b ? 2 ,求证: ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ? ≥ 2
2 2

6. 若两平行线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与 6 x ? 8 y ? k ? 0 之间的距离为 2 ,则 k ?

走向高考:
7. ( 97 全国)如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a ?
3 2 2 3

A. ?3

B. ?6

C. ?

D.

8. ( 98 全国)两条直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直的充要条件是:

A. A1 A2 ? B1B2 ? 0 B. A1 A2 ? B1B2 ? 0 C.

A1 A2 ? ?1 B1 B2

D.

B1 B2 ?1 A1 A2

9. ( 05 北京) “m ?
相互垂直”的

1 ”是“直线 ? m ? 2? x ? 3my ?1 ? 0 与直线 ? m ? 2? x ? ? m ? 2? y ? 3 ? 0 2

A. 充要条件; B. 充分而不必要条件;C. 必要而不充分条件; D. 既不充分也不必要条件.

10. ( 00 京皖春)直线 A. 相交不垂直

?

3 ? 2 x ? y ? 3 和直线 x ?

?

?

2 ? 3 y ? 2 的位置关系是

?

B. 垂直

C. 平行

D. 重合

11. ( 05 全国Ⅲ)已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m
的值为

A.

0

B. ?8

C. 2

D. 10

12. ( 07 天津文) “ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

13. ( 03 全国)已知点 ? a,2? ( a ? 0 )到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为1 ,则 a 等于
A.

2

B. 2 ? 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1


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