高中数学经典解题技巧和方法--导数及其应用(跟踪训练题)

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导数及其应用——练习
一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，总分 36 分）

f ? x ? ? x ? 2 f ? ? 2? x ? 3 1.若函数 f ( x ) 在 R 上可导，且 ，则（C）
2

A．

f ? 0? ? f ? 6?

B．

f ? 0? ? f ? 6?

C．

f ? 0? ? f ? 6?

D．无法确定

? 2．函数 f (x) 在定义域 R 内可导，若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ，且当 x ? (??,1) 时， ( x ? 1) f ( x) ? 0 ，设

1 b? f( ) a ? f (0) ， 2 ， c ? f (3) ，则（D）
A． a ? b ? c 3．设函数 A． C． B． b ? c ? a 在 C． c ? b ? a D． c ? a ? b

f ? x ?、g ? x ?

? a, b? 上可导，且 f ' ? x ? ? g ' ? x ? ，则当 a ? x ? b 时有(A)
B．

f ? x? ? g ? a? ? g ? x? ? f ? a? f ? x? ? g ? x?
D．

f ? x? ? g ? x?

f ? x ? ? g ?b ? ? g ? x ? ? f ?b ?

4．设 f '(x)是函数 f(x)的导函数，y=f '(x)的图像如右图所示，则 y=f(x)的图像最有可能的是（C）

， 5． f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 [ ?11] 上的最大值是（
3 2

C ）

A． ?2

B．0

C．2

D．4 ） ．

? 6．如图，函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线是 l ，则 f (2) ? f (2) =（ C

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9 A． 2

B．0

9 C． 8

D．不确定

二、填空题（共 3 小题，每小题 6 分，总分 18 分） 7．过原点作函数 y ? e 的图像的切线，则切点坐标是
x

8．函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1, 其中k ? N ，若 a1=16，则
2 2

?

a1+a3+a5 的值是________ 9．函数 f ( x) ? x ?15x ? 33x ? 6 的单调减区间为
3 2

。

三、解答题（10、11 小题各 15 分，12 题 16 分） 10．已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围. 11． （2010·安徽安庆高三二模（文） ）已知函数 ⑴当 a ? 2 时，求函数 f ( x) 的最小值； ⑵若 f ( x) 在 [1, e ] 上是单调函数，求 a 的取值范围. 12． （2010 届·北京市朝阳区高三一模（文） ）已知函数 f ( x) ? mx ? 3x ? 3x ， m ? R ．
3 2

f ( x) ? ax ?

s ? 3ln x x .

（Ⅰ）若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值，试求 m 的值，并求 f ( x ) 在点 M (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）设 m ? 0 ，若函数 f ( x ) 在 (2, ? ?) 上存在单调递增区间，求 m 的取值范围．

参考答案

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1．C

2．D

3．A

4．C

5．C

6．C

7． (1, e)

8． 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。 【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线的斜率，然后求得切线 方程，再由 y ? 0 ，即可求得切线与 x 轴交点的横坐标。
2 2

? 2 2 2 【 规 范 解 答 】 由 y=x (x>0) 得 ， y ? 2 x ， 所 以 函 数 y=x (x>0) 在 点 (ak,ak ) 处 的 切 线 方 程 为 ：

y ? ak ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时，解得
2

x?

ak 2 ，

所以

ak ?1 ?

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 2 .【答案】21

9． 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ，
由

( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 (?1,11)

【答案】

10． 【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当 a<0 时，对 x∈R 有 f′(x)>0.∴当 a<0 时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).

当a ? 0时,由f'(x)>0,解得x<- a或x ? a ; 由f'(x)<0解得- a <x< a , ?当a ? 0时,f(x)的单调增区间为(-?,- a ),( a , ??); f(x)的单调减区间为(- a , a ).
(2)∵f(x)在 x=-1 处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3, 由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1, 由（1）中 f(x)的单调性可知，f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点， f(-3)=-19<-3.f(3)=17>1,结合 f(x)的单调性可知， 又 m 的取值范围是(-3,1).

11．解析： （1）当 a ? 2 时，

f ( x) ? 2 x ?

2 ? 3 ln x x

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f ?( x) ? 2 ?

2 3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? ? x2 x x2
? 1 2 （? x ? 0 ，舍去负值） 。

………2 分

? 令 f ( x) ? 0 得 x ? 2 或

……… 3 分

? 函数 f (x) 及导数 f (x) 的变化情况如下表：

∴当 a ? 2 时，函数 f (x) 的最小值是 5 ? 3 ln 2

……… 6 分

ax2 ? 3x ? a f ?( x) ? x2 （2）? ， h( x) ? ax2 ? 3x ? a ? a( x ?
令

………7 分

3 2 9 ? 4a 2 ) ? 2a 4a

? ? 要使 f (x) 在 ?1, e? 上为单调函数，只需对 ?x ? (1, e) ，都有 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0
2 ? h(1) ? ?3 ? 0 ，∴ h(e) ? ae ? 3e ? a ? 0 ，∴

a?

3e e ?1
2

………8 分

0?a?
①当

3e e ? 1 时， h( x) ? 0 恒成立即 f ?( x) ? 0 恒成立；
2

……… 10 分

②当 a ? 0 时，

x?

3 ? 0 ?1 ? 2a ，∴ h( x) ? h(1) ? 0 ，∴ f ( x) ? 0 恒成立；……12 分

a?
综上所述：当

3e e ? 1 时， f (x) 在 ?1, e? 上为单调函数
2

………13 分

2 ? 12．解析： （Ⅰ） f ( x ) = 3mx ? 6 x ? 3 .

? 因为函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值，所以 f (?1) ? 0 ，解得 m ? 3 .

? 于是函数 f ( x) ? 3x ? 3x ? 3x ， f (1) ? 3 , f ( x) ? 9 x ? 6 x ? 3 .
3 2 2

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? 函数 f ( x ) 在点 M (1,3) 处的切线的斜率 k ? f (1) ? 12 ，
则 f ( x ) 在点 M 处的切线方程为 12 x ? y ? 9 ? 0 .
2

…………………………6 分

? ? （Ⅱ）当 m ? 0 时， f ( x) ? 3mx ? 6 x ? 3 是开口向下的抛物线，要使 f ( x ) 在 (2, ? ?) 上存在子区间使

? m ? 0, ? 1 ? m ? 0, ? ? ≥ 2, ? 1 ? ? m ?? ? 2, ? m 1 ? f ?( ? ) ? 0, ? ? f ?(2) ? 0. f ?( x) ? 0 ，应满足 ? m 或?
? 3 ? 1 3 1 ? ≤m?0 ? ?m?? ? ? , 0? 2 ，所以 m 的取值范围是 ? 4 ? ．……14 分 解得 2 ，或 4