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高三数学-2018年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F[下学期] 精品

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2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 F 学校 姓名 营员证号 一.设 a, b, c ? R? ,求证: ab bc ca 1 ? ? ? ?a ? b ? c? a ? b ? 2c b ? c ? 2a c ? a ? 2b 4 二.在 ? ABC 中, AB ? AC, 分别以 AB, AC 为边,向外作两个三角形: ? ABD 和 ? ACE , 使得 ?ABD ? ?ACE, ?BAD ? ?CAE, 设 CD 与 AB 交于点 P , BE 与 AC 交于点 Q ,求证: AP ? AQ 的充要条件是: 2 S? ABC ? S? ABD ? S? ACE 三. 对任意两个正整数 x 与 y , 有唯一的正整数 f ? x, y ? 与之对应,且函数 f ? x, y ? 具有性质: ?1? 对任意正整数 x 与 y , f ? x, y ? ? f ? y, x ? ; ? 2 ? 对任意正整数 x , f ? x, x ? ? x ; ? 3? 对任意正整数 x 与 y ,当 y ? x 时, ? y ? x ? f ? x, y ? ? yf ? x, y ? x ? . 求证:恰有一个函数 f ? x, y ? 满足上述三个性质,并求出这个函数. 四. 设 a0 , a1, a2 ,?为任意无穷正实数数列,求证:不等式 1 ? an ? an?1 n 2 对无穷多个正整数 n 成立. 2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 F 解答 学校 姓名 营员证号 一. 设 a, b, c ? R? , 求证: 证:因为 ab bc ca 1 ? ? ? ?a ? b ? c? a ? b ? 2c b ? c ? 2a c ? a ? 2b 4 ab ab ab ? 1 1 ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2c ? a ? c ? ? ? b ? c ? 4 ? a ? c b ? c ? bc bc ? 1 1 ? ? ? ? ? b ? c ? 2a 4 ? a ? b a ? c ? ac ca ? 1 1 ? ? ? ? ? c ? a ? 2b 4 ? a ? b b ? c ? 同理 所 ab bc ca 1 ? bc ? ca ab ? ca ab ? bc ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? c? a ? b ? 2c b ? c ? 2a c ? a ? 2b 4 ? a ? b b?c c?a ? 4 以 二.在 ? ABC 中, AB ? AC, 分别以 AB, AC 为边,向外作两个三角形: ? ABD 和 ? ACE , 使得 ?ABD ? ?ACE, ?BAD ? ?CAE, 设 CD 与 AB 交于点 P , BE 与 2 AC 交于点 Q ,求证: AP ? AQ 的充要条件是: S? ABC ? S? ABD ? S? ACE 证: AP ? AQ ? AP AQ S S AB ? AC ? ?ADC AB ? ?ABE AC AB AC S?DBC S?ECB 1 1 ADAC sin ?DAC ABAE sin ?BAE AB ? 2 AC ?2 S?ABC ? S ?ABD S ?ABC ? S ?ACE ① AD AB ? 即 AD·AC AD ? AC ? AB ? AE AE AC 且 ?DAC ? ?DAB ? ?BAC ? ?CAE ? ?BAC ? ?BAE 由题设条件知 ?ABD ∽ ?ACE ,故 从而 ①等价于 AB AC AB2 AC 2 ? ? ? S?ABC ? S? ABD S? ABC ? S? ACE (S?ABC ? S?ABD )2 ( S?ABC ? S?ACE )2 ② 记 S?ABC ? S , S?ABD ? S1, S?ACE ? S2 , 由于 ?ABD ∽ ?ACE ,所以 价于 S1 S2 ? 2 ( S ? S1 ) ( S ? S2 )2 2 S 2 S1 ? S1S2 ? S 2 S2 ? S12 S2 AB 2 S1 ? 从而②等 AC 2 S2 ? 2 S1 ? S 2 ? S 2 ? 2SS 2 ? ? S 2 ? S 2 ? S12 ? 2SS1 ? ? ? (S 2 ? S1S2 ) ? S1 ? S2 ? ? 0 因为 AB ? AC ,所以 S1 ? S2 ,从而 S 2 ? S1S2 2 即 AP ? AQ ? S? ABC ? S?ABD S?ACE 三. 对任意两个正整数 x 与 y , 有唯一的正整数 f ? x, y ? 与之对应,且函数 f ? x, y ? 具有性质: ?1? 对任意正整数 x 与 y , f ? x, y ? ? f ? y, x ? ; ? 2 ? 对任意正整数 x , f ? x, x ? ? x ; ? 3? 对任意正整数 x 与 y ,当 y ? x 时, ? y ? x ? f ? x, y ? ? yf ? x, y ? x ? . 求证:恰有一个函数 f ? x, y ? 满足上述三个性质,并求出这个函数. 解:取 f ? x, y ? 为 x, y 的最小公倍数 [ x, y ] 显然 f ? x, y ? = [ x, y ] 满足性质(1) , (2) 。下证它也满足(3) 若 [ x, y] ? M , y ? x. 设 a ? M M M ( a ? b) M M ? ? , b? 则 a 与 b 互质, y ? x ? b a ab x y M (a ? b) M ( a ? b) a a ?b 故 ? a ?b, y?x x 由 ? a, b? ? 1 知 ? a ? b, b? ? 1 故 [ x, y ? x ] ? M ( a ? b) a 从 而 ?

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