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高三数学-2018年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题与答案A[下学期] 精品

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2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 A 学校: 姓名: 营员证号:____ A 一.在 D ABC 中,a+c=3b,内心为 I,内切圆在 AB, BC 边上的切点分别为 D,E。设 K 是 D 关于点 I 的对称点,L 是 E 关于点 I 的对称点. B D L I K E C 求证:A,C,K,L 四点共圆。 二.设 a, b ? N+ ,且对任意 n ? N+ , 都有 (a n + n) │ (b n + n) 证明: a = b 三.求函数 f : R ? R, 满足: x ( f ( x + 1)- f ( x )) = f ( x ), x ? R 以及 R │ f (x)- f ( y) │ ? │ x - y │, x, y ? 四.设 n = 1000 ! ,能否把 1 到 n 的正整数摆在一个圆周上,使得我们沿着顺时 针方向移动时,每一个数都能按如下的法则由前一个数得到:或者把它加上 17, 或者加上 28,如果必要的话,它可以减去 n ? 2018 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 测试题 A 解答 学校: 姓名: 营员证号:____ 一. 在 ?ABC 中,a+c=3b,内心为 I,内切圆在 AB,BC 边上的切点分别 为 D,E, 设 K 是 D 关于点 I 的对称点,L 是 E 关于点 I 的对称点. 求证:A,C,K,L 四点共圆. 证:设直线 BI 交 ?ABC 的外接圆点 P,易知 P 是 AC 的中点。记 AC 的中 为 M,则 PM ? AC。设 P 在直线 DI 的射影为 N 由于 a ? c ? 3b, 则半周长 p ? a?b?c ? 2b , 2 则 BD ? BE ? p ? b ? b ? AC ? 2CM 又 ?ABP ? ?ACP, ?BDI ? ?CMP ? 900 D L A 所以 ?DBI ∽ ?MCP ,且相似比为 2 熟知; PI ? PC ? PA 。又 ?DBI ∽ ?NPI , 所以 DI ? 2 IN ,即 N 是 IK 的中点 进而 PK ? PI . 同理 PL ? PI , I N K M P B E C ,C,K,I,L 都在以 P 为圆心的同一个圆周上 所以 A 二. 设 a, b ? N? ,且对任意 n ? N? , 都有 ?a n ? n ? │ ?bn ? n ? 证明: a ? b 证:假设 a ? b ,则 b ? a 取素数 p ? b ,又取 n ? ? a ?1?? p ?1? ?1 由费马小定理 an ? a ? mod p ? ,从而 an ? n ? a ? n ? 0 ? mod p ? 进而 0 ? bn ? n ? b ? n ? 0b ? a ? mod p ? ,即 p b ? a 但 0 ? b ? a ? b ? p ,矛盾 三.求函数 f : R ? R, 满足: x ? f ? x ?1? ? f ? x ?? ? f ? x ? , ?x ? R 以及 │ f ? x ? ? f ? y ? │ ? │ x ? y │, ?x, y ? R 解:取 x ? 0 得 f ? 0? ? 0 x ? 0, ?1 时,可改写为: f ? x ? 1? f ? x ? ? x ?1 x f ? x ? n? f ? x? ? : x?n x 特别地,对任意 x ? 0 ,及 n ? N? ,有 则 x ? y ? f ?

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