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江苏省盐城市阜宁县2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版).doc

时间:2017-04-04


2016-2017 学年江苏省盐城市阜宁县高一(上)期中数学试 卷 参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分答案填在答题卡相应的位置上. 1. (2016 秋?阜宁县期中)设全集 A={0,1,2},B={﹣1,0,1},则 A∪B= 2} . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】直接利用并集运算得答案. 【解答】解:∵A={0,1,2},B={﹣1,0,1}, 则 A∪B={0,1,2}∪{﹣1,0,1}={﹣1,0,1,2}. 故答案为:{﹣1,0,1,2}. 【点评】本题考查了并集及其运算,是基础的会考题型. {﹣1,0,1,

2. (2016 秋?阜宁县期中)下面各组函数中为相同函数的是 ② . (填上正确的序号) ①f(x)= ,g(x)=x﹣1

②f(x)=x﹣1,g(t)=t﹣1 ③f(x)= ,g(x)=

④f(x)=x,g(x)=



【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】综合题;综合法;函数的性质及应用. 【分析】要判断两个函数是否是同一个函数,需要从三个方面来分析,即定义域,对应法则 和值域. 【解答】解:要判断两个函数是否是同一个函数,需要从三个方面来分析, 即:定义域,对应法则和值域, ①中两个函数 f(x)=|x﹣1|,g(x)=x﹣1 的对应法则不同,

②中两个函数的定义域和对应法则都相同,值域也相同, ③中两个函数的定义域分别为:x≤﹣1 或 x≥1; 或 x≥1,两个函数的定义域不同, ④中,f(x)=x 的定义域是 R,g(x)= 故答案为:② 【点评】本题考查判断两个函数是否是同一函数,在开始学习函数的概念时,这是经常出现 的一个问题,注意要从三个方面来分析. 的定义域是{x|x≠0},所以不是同一个函数;

3. (2016 秋?阜宁县期中)设 x0 是函数 f(x)=2x+x 的零点,且 x0∈(k,k+1) ,k∈Z,则 k= ﹣1 . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】判断函数 f(x)的单调性,利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)=2x+x, ∴函数 f(x)为增函数, f(0)=1>0,f(﹣1)= 满足 f(0)f(﹣1)<0, 则在(﹣1,0)内函数 f(x)存在一个零点, 即 x0∈(﹣1,0) , ∵x0∈(k,k+1) , ∴k=﹣1, 故答案为:﹣1 【点评】 本题主要考查函数零点和方程之间的关系, 利用根的存在性定理进行判断是解决本 题的关键. <0,

4. (2010?海安县模拟)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 【考点】幂函数的图象;函数的值. 【专题】待定系数法.

,则 f(﹣2)=



【分析】设出幂函数的解析式,由图象过( ,8)确定出解析式,然后令 x=﹣2 即可得到 f(﹣2)的值. 【解答】解:设 f(x)=x ,因为幂函数图象过
3 a



则有 8=

,∴a=﹣3,即 f(x)=x﹣ ,

3 ∴f(﹣2)=(﹣2)﹣ =﹣

故答案为:﹣ 【点评】 考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式. 会根据自变量的值求幂函数的函数 值.

5. (2016 秋?阜宁县期中)函数 f(x)= 【考点】函数的定义域及其求法.

+ln(x+1)的定义域为 (﹣1,1) .

【专题】计算题;函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】由分母中根式内部的代数式大于 0,对数式的真数大于 0 联立不等式组求解. 【解答】解:由 ,解得:﹣1<x<1.

∴函数 f(x)= 故答案为: (﹣1,1) .

+ln(x+1)的定义域为(﹣1,1) .

【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.

6. (2015 秋?忻州校级期末)已知 a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则 a,b,c 的大小关系是 a <c<b . 【考点】不等式比较大小. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】考查指数函数 y=2x、y=0.2x 及对数函数 y=log2x 在其定义域内的单调性并与 1,0 比较,即可比较出大小.

【解答】解:∵0<0.21.3<0.20=1,20.1>20=1,log20.3<log21=0, ∴a<c<b. 故答案为 a<c<b. 【点评】本题考查了指示函数和对数函数的单调性,深刻理解其单调性是解决此题的关键.

2 7. (2016 秋?阜宁县期中)若函数 f(x)=ax +2x﹣3 的图象与 x 轴只有一个公共点,则实数

a 取值的集合是 【考点】二次函数的性质.



【专题】计算题;分类讨论;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】通过 a 是否为 0,列出关系式,求解即可. 【解答】解:当 a=0 时,函数 f(x)=2x﹣3 的图象与 x 轴只有一个公共点,满足题意; 当 a≠0 时,若函数 f(x)=ax2+2x﹣3 的图象与 x 轴只有一个公共点, 可得△=4+12a=0,解得 a= . }.

则实数 a 取值的集合是:{0,﹣ 故答案为:{0,﹣ }.

【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查分类讨论思想的应用,是基础题.

8. (2016 秋?阜宁县期中)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x ﹣3x+k(k 为常数) ,则 f(﹣1)= 2 . 【考点】函数奇偶性的性质;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用函数是奇函数,求出 k,然后求解函数值即可. 【解答】解:已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x﹣3x+k(k 为 常数) , 可得 1+k=0,解得 k=﹣1, 当 x≥0 时,f(x)=2x﹣3x﹣1(k 为常数) ,则 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2﹣3﹣1)=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断与应用,考查计算能力.

9. (2016 秋?阜宁县期中)函数 【考点】指数型复合函数的性质及应用. 【专题】计算题.

的值域为 (0, ] .

【分析】先利用配方法求出指数的取值范围,然后根据指数函数的单调性求出值域即可. 【解答】解:∵x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1≥1 ∴函数 故答案为: (0, ] 【点评】本题主要考查了指数型复合函数的性质及应用,属于基础题. 的值域为(0, ]

10. (2016 秋?阜宁县期中)已知 f(x)=

满足[f(x1)﹣f(x2)](x1

﹣x2)>0 对任意定义域中的 x1,x2 成立,则实数 a 的取值范围是 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;函数思想;转化法;函数的性质及应用.



【分析】函数是一个分段函数,函数 f(x)在其定义域内是单调增函数,故函数在每一段 上是增函数,在整个定义域内也是增函数,再比较端点值即可. 【解答】解:∵[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)>0 对任意定义域中的 x1,x2 成立, ∴函数 f(x)在其定义域内是单调增函数, ∵f(x)= ,





解得 ≤a<6, 故答案为:[ ,6) 【点评】本题考查增函数的定义,对数函数、一次函数的单调性,体现了分类讨论的数学思 想.

2 11. (2016 秋?阜宁县期中)已知关于 x 的 x ﹣2ax+a+2=0 的两个实数根是 α,β,且有 1<α

<2<β<3,则实数 a 的取值范围是



【考点】函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】构造函数 f(x)=x2﹣2ax+a+2,根据根与系数之间的关系建立不等式关系即可得到 结论. 【解答】解:设 f(x)=x2﹣2ax+a+2, ∵1<α<2<β<3,



,即





,即 2<a<



故答案为: 【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据根与系数之间,转化为函数是解决本题的关 键.

12. (2016 秋?阜宁县期中)设函数 f(x)= ﹣m=0 有两个不相等的实根,则实数 m 的取值范围为 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】画出函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x) (1,2] .

的图象,和直线 y=m,将关于 x 的方程 f

(x)=m 有两个不等的实根等价于 f(x)的图象与直线有且只有两个交点.通过平移直线, 观察即可得到.

【解答】解:画出函数 f(x)= 和直线 y=m,

的图象,

关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不等的实根等价于 f(x)的图象与直线有且只有两个交点. 观察得出: 1<m≤2 有且只有 2 个交点. 故实数 k 的取值范围是(1,2]. 故答案为: (1,2].

【点评】本题考查方程的根的个数,考查数形结合的思想方法,注意转化思想,转化为函数 的图象的交点个数问题,属于中档题.

13. f x) f x) = (2016 秋?阜宁县期中) 定义在 R 上的函数 ( 满足 ( 则 f(11)= 2 . 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;解题思想;方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用分段函数的解析式,逐步化简求解即可. 【解答】解:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ,



则 f(11)=f(10)﹣f(9)=f(9)﹣f(8)﹣f(9)=﹣f(8)=﹣f(7)+f(6)=﹣f(6) +f(5)+f(6)=f(5)=…=f(﹣1)=log2(3+1)=2. 故答案为:2.

【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.

14. (2016 秋?阜宁县期中)下列判断正确的是 ②④

. (把正确的序号都填上)

①集合 A={(x,y)|x+y=5},B={(x,y)|x﹣y=﹣1},则 A∩B={2,3}; ②设 f(x)定义在 R 上的函数,且对任意 m,n 有 f(m+n)=f(m)?f(n) ,且当 x>0 时, 0<f(x)<1,则 f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; ③已知函数 f(x)= 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是﹣12<a<0;

④函数 y=﹣log2x 满足对定义域内任意的 x1, x2, 都有 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;分析法;简易逻辑. 【分析】①集合 A、B 是点的集合,则 A∩B={(x,y)}; ②令 m=x>0,n=﹣x,则 f(x)f(﹣x)=f(0)=1; ③实数 a=0 也可以; ④根据函数 y=﹣log2x 凹凸性(或根据图象)判定. 【解答】解:对于①,集合 A、B 是点的集合,则 A∩B={(2,3)},故错;

成立.

对于②,设 f(x)定义在 R 上的函数,且对任意 m,n 有 f(m+n)=f(m)?f(n) ,令 m=x >0,n=﹣x, 则 f(x)f(﹣x)=f(0)=1, ∵当 x>0 时,0<f(x)<1,有 f(﹣x)>1,∴当 x<0 时,有 f(x)>1,故正确; 对于③,已知函数 f(x)= 的定义域是 R,则实数 a=0 也可以,故错;

对于④,∵函数 y=﹣log2x 是凹函数(或根据图象) ,满足对定义域内任意的 x1,x2,都有 成立,故正确. 故答案为:②④ 【点评】本题考查了命题真假的判定,涉及到了函数及集合的基础知识,属于中档题.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) 15. (14 分) (2016 春?茂名校级期末) 已知全集为实数集 R, 集合 A={x|y= B={x|log2x>1}. (Ⅰ)分别求 A∩B, (?RB)∪A; (Ⅱ)已知集合 C={x|1<x<a},若 C? A,求实数 a 的取值集合. 【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)由 A={x|y= 出 A∩B 和(CRB)∪A. (Ⅱ)当 a≤1 时,C≠?,此时 C? A;当 a>1 时,C? A,则 1<a≤3,由此能求出 a 的取 值范围. 【解答】解: (Ⅰ)∵A={x|y= B={x|log2x>1}={x|x>2}, ∴A∩B={x|2<x≤3}, ∵CRB={x|x≤2}, ∴(CRB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.…(6 分) (Ⅱ)①当 a≤1 时,C≠?,此时 C? A;…(9 分) ②当 a>1 时,C? A,则 1<a≤3.…(11 分) 综合①②,可得 a 的取值范围是(﹣∞,3].…(12 分) 【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答. + }={x|1≤x≤3}, + }={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>2},能求 + },

16. (14 分) (2016 秋?阜宁县期中) (1)

÷


2 (2)2lg5+ lg8+lg5?lg20+(lg2) .

【考点】方根与根式及根式的化简运算;有理数指数幂的化简求值.

【专题】计算题;转化思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据指数幂的运算性质计算即可, (2)根据对数的运算性质计算即可. 【解答】解: (1)

= (2)原式=lg25+lg4(1﹣lg2) (1+lg2)+lg2=lg25+lg4+1﹣lg22+lg22=lg100+1=3 或: 原式=
2

=2 +lg5? + (lg5+lg2) (lg5+2lg2) (lg2)

=2+(lg5)2+2lg5?lg2+(lg2)2=2+(lg5+lg2)2=3

【点评】本题考查指数幂的运算性质和对数的运算性质,属于基础题.

x 17. (14 分) (2012 秋?吉林期末)已知:2 ≤256 且 log2x≥ ,

(1)求 x 的取值范围; (2)求函数 log2( )?log2( )的最大值和最小值以及相应的 x 的取值.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】函数的性质及应用.
x 【分析】 (1)由 2 ≤256 求得 x≤8,再由 log2x≥ 求得 x≥

,综上可得 x 的范围.

(2)由(1)可得,

≤x≤8, ≤log2x≤3,再根据 f(x)=(log2x﹣1) (log2x﹣2) ,利

用二次函数的性质求得它的最值,以及此时对应的 x 值. 【解答】解: (1)由 2x≤256=28,∴x≤8. 且 log2x≥ = 综上可得, ,可得 x≥ . ,8].

≤x≤8,即 x 的范围为[

(2)由(1)可得,

≤x≤8,∴ ≤log2x≤3,

∴f(x)=(log2x﹣1) (log2x﹣2)=

﹣ ,

∴当 log2x=

时,函数 f(x)取得最小值为﹣ ,此时,x=2



当 log2x=3 时,函数 f(x)取得最大值为 2,此时 x=8. 【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合,二次函数的性质应用,属于中档题.

18. (16 分) (2016 秋?阜宁县期中)在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)﹣f(x) ,某公司每年最多生产 80 台某种型号的大型计算机系统,生产 x 台(x∈N*)的收入函数为 R(x)=300x﹣2x2(单位:万元) ,其成本函数为 C(x)=80x+600 (单位:万元) ,利润是收入与成本之差. (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x) ; (2)①该公司生产多少台时获得的利润最大? ②利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用已知条件通过 P(x)=R(x)﹣C(x)求解函数的解析式,以及边际利 润函数 MP(x)的解析式; (2)①通过 P(x)=﹣2(x﹣55)2+5450,利用二次函数的性质求解即可; ②利用 MP(x)是减函数,求解即可. 【解答】解:由题意知,x∈[1,80],且 x∈N* (1)P(x)=R(x)﹣C(x)=300x﹣2x2﹣(80x+600)=﹣2x2+220x﹣600, MP(x)=P(x+1)﹣P(x)=﹣2(x+1)2+220(x+1)﹣600﹣[﹣2x2+220x﹣600]=﹣4x+218 (2)①P(x)=﹣2(x﹣55)2+5450,当 x=55 时,P(x)的最大值为 5450(万元) . 该公司产生 55 台时利润最大. ②又 MP(x)=﹣4x+218 是减函数,所以当 x=1 时,MP(x)的最大值为 214(万元) . 因此,利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)不具有相同的最大值. 【点评】 本题考查实际问题的处理方法, 二次函数的简单性质的应用, 函数的单调性的应用, 考查计算能力.

19. (16 分) (2016 秋?阜宁县期中)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4) ,对任意 x 满 足 f(3﹣x)=f(x) ,且有最小值是 . (1)求 f(x)的解析式;

(2)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈R; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的 范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题(1)用待定系数法设出函数解析式,利用条件图象过点(0,4) ,f(3﹣x) =f(x) ,最小值得到三个方程,解方程组得到本题结论; (2)分类讨论研究二次函数在区间上的最小值,得到本题结论; (3)将条件转化为恒成立问题,利用参变量分离,求出函数的最小值,得到本题结论. 【解答】解: (1)二次函数 f(x)图象经过点(0,4) ,任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x) 则对称轴 x= , f(x)存在最小值 , 则二次项系数 a>0
2 设 f(x)=a(x﹣ ) + .

将点(0,4)代入得: f(0)= 解得:a=1
2 2 ∴f(x)=(x﹣ ) + =x ﹣3x+4.



(2)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x =x2﹣2tx+4=(x﹣t)2+4﹣t2,x∈[0,1]. 当对称轴 x=t≤0 时,h(x)在 x=0 处取得最小值 h(0)=4; 当对称轴 0<x=t<1 时,h(x)在 x=t 处取得最小值 h(t)=4﹣t2; 当对称轴 x=t≥1 时,h(x)在 x=1 处取得最小值 h(1)=1﹣2t+4=﹣2t+5. 综上所述: 当 t≤0 时,最小值 4; 当 0<t<1 时,最小值 4﹣t2; 当 t≥1 时,最小值﹣2t+5.





(3)由已知:f(x)>2x+m 对于 x∈[﹣1,3]恒成立, ∴m<x2﹣5x+4 对 x∈[﹣1,3]恒成立,
2 ∵g(x)=x ﹣5x+4 在 x∈[﹣1,3]上的最小值为



∴m<



【点评】本题考查了二次函数在区间上的最值、函数方程思想和分类讨论思想,本题计算量 适中,属于中档题.

20. (16 分) (2016 秋?阜宁县期中)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D, 存在常数 M>0,都有|f(x)|≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)= + ﹣1,g(x)= .

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)①当 m=1 时,判断函数 g(x)的奇偶性并证明,并判断 g(x)是否有上界,并说明 理由; ②若 m∈ ,函数 g(x)在[0,1]上的上界是 G,求 G 的取值范围.

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】综合题;新定义;转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 a=1 时, 判断; (2)①当 m=1 时, 法确定函数的上界; ②化简 ,从而确定函数的值域,从而确定上界. ,利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性并利用分离常数 ,从而判断函数的单调性与值域,从而

【解答】解: (1)当 a=1 时, 因为 f(x)在(﹣∞,0)上递减,所以 f(x)>f(0)=1, 即 f(x)在(﹣∞,1)的值域为(1,+∞) 故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立 所以函数 f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函数. (2)①当 m=1 时, ,显然 g(x)定义域为 R,

又 ∴g(x)为奇函数. 由于 ,

∴|g(x)|<1,存在 M≥1 为 g(x)上界; ② ,

∵m>0,x∈[0,1],∴g(x)在[0,1]上递减, ∴g(1)≤g(x)≤g(0) ,即 又∵m∈ ∴ . ,∴ ; ,

【点评】本题考查了函数的值域的求法,同时考查了学生的学习能力及转化能力,属于中档 题.


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