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2017-2018学年辽宁省实验中学、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三(上)期末数学试卷(理科)

时间:2018-02-05


2017-2018 学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍 山一中、东北育才学校高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则复数 A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i ) 的虚部是( )

2. (5 分)设集合 M={x|0≤x≤1},N={x|x2≥1},则 M∪(?RN)=( A.[0,1] B. (﹣1,1) C. (﹣1,1] 3. (5 分)若 A. B. C. D. (0,1) )

,且 α 为第二象限角,则 tanα=( D. , 则

4. (5 分) 已知向量 与 的夹角为 120°, A. B.2 C. D.4

= (



5. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球半径为(



A.1

B.

C.

D. ,若 a<0,则( C.na1≤Sn≤nan )

6. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 A.nan≤na1≤Sn B.Sn≤na1≤nan

D.nan≤Sn≤na1 )

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最大值是(

A.﹣2 B.0

C.2

D.4

8. (5 分)把四个不同的小球放入三个分别标有 1?3 号的盒子中,不允许有空
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盒子的放法有( A.12 种

) C.36 种 D.48 种 ,现将 y=f(x)的图象向左平移 个单

B.24 种

9. (5 分)已知函数

位, 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g (x)的图象,则 g(x)在 A.[﹣1,2] 的值域为( )

B.[0,1] C.[0,2] D.[﹣1,0] 的左右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线 l1 与过 F2

10. (5 分)已知椭圆

的直线 l2 交于点 P,设 P 点的坐标(x0,y0) ,若 l1⊥l2,则下列结论中不正确的 是( A. ) B.

C.

D.

11. (5 分)某班有三个小组,甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试 成绩公布情况如下: 甲和三人中的第 3 小组那位不一样,丙比三人中第 1 小组的 那位的成绩低,三人中第 3 小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成 绩由高到低排列,正确的是( )

A.甲、乙、丙 B.甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D.丙、甲、乙 12. (5 分)已知函数 实数 a 的取值范围是( A. ) D. (1,+∞) 在 x=1 处取得极大值,则

B. (﹣∞,1) C.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)已知实数 x 满足 5x﹣1103x=8x,则 x= . .

14. (5 分)如图是一个算法的流程图,则输出的 a 的值是

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15. (5 分)已知双曲线的两个焦点为 ,则双曲线的标准方程为 . ,则 =

,渐近线为

16. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (12 分)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (1)求 A 的值; (2)若 ,BC 边上的高为 ,求 b+c 的值. .

18. (12 分)甲、乙两名同学准备参加考试,在正式考试之前进行了十次模拟测 试,测试成绩如下: 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146 (1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图,求出甲同学成绩的平均数和方差,并根据 茎叶图, 写出甲、 乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的
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结论; (2)规定成绩超过 127 为“良好”,现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选 出一个,求选出成绩“良好”的个数 X 的分布列和数学期望. (注: 方差 的平均数) 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60°, PA=AB=2,点 E,F 分别为 BC,PD 的中点,设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q. (1)已知平面 PAB∩平面 PCD=l,求证:AB∥l. (2)求直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值. , 其中 为 x1, x2, x3, …xn

20. (12 分)已知直线 y=2x+m(m≠0)与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点, (1)若 OA⊥OB,求 m 的值; (2)以 AB 为边作矩形 ABCD,若矩形 ABCD 的外接圆圆心为( ABCD 的面积. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x2﹣2(a+1)x+2axlnx+2a+1(a∈R) . (1)a=﹣2 时,求 f(x)在(0,2)上的单调区间; (2)? x>0 且 x≠1, 均恒成立,求实数 a 的取值范围. ) ,求矩形

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分) 已知平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 为参数,0≤α<π 且 (t

) ,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标
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系,曲线 C 的极坐标方程为 . (1)求 α 的大小;

.已知直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且

(2)过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 M,N 两点,求|MN|.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣3a|(a∈R) . (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)>5﹣|x﹣1|; (2)若存在 x0∈R,使 f(x0)>5+|x0﹣1|成立,求 a 的取值范围.

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2017-2018 学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四 中、鞍山一中、东北育才学校高三(上)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,则复数 A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i = 的虚部是 1. 的虚部是( )

【解答】解:复数 故选:B.

2. (5 分)设集合 M={x|0≤x≤1},N={x|x2≥1},则 M∪(?RN)=( A.[0,1] B. (﹣1,1) C. (﹣1,1] D. (0,1)



【解答】解:N={x|x2≥1}={x|x≥1 或 x≤﹣1}, 则?RN={x|﹣1<x<1}, 则 M∪(?RN)={x|﹣1<x≤1}=(﹣1,1], 故选:C

3. (5 分)若 A. B. C.

,且 α 为第二象限角,则 tanα=( D. ,且 α 为第二象限角, , .



【解答】解:∵ ∴sinα= 则 tanα= 故选:B.

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4. (5 分) 已知向量 与 的夹角为 120°, A. B.2 C. D.4

, 则

= (



【解答】解:根据题意, =(1,0) ,则| |=1, 又由| |=2,且向量 与 的夹角为 120°, 则 ? =2×1×(﹣ )=﹣1, 则有(2 + )2=4 2+4 ? + 2=4, 则 故选:B. =2;

5. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球半径为(



A.1

B.

C.

D.

【解答】解:由三视图还原原几何体如图:

该几何体为四棱锥,底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=1. 把该四棱锥补形为正方体,其外接球直径为正方体的对角线长,等于 则其外接球半径为 .
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故选:B.

6. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 A.nan≤na1≤Sn B.Sn≤na1≤nan

,若 a<0,则( C.na1≤Sn≤nan



D.nan≤Sn≤na1

【解答】解:数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn,若 a<0, 则 n=1 时,a1=S1=a+b; n≥2,n∈N 时,an=Sn﹣Sn﹣1=an2+bn﹣a(n﹣1)2﹣b(n﹣1) =2an+b﹣a,对 n=1 也成立, nan﹣Sn=2an2+bn﹣an﹣an2﹣bn=an2﹣an=an(n﹣1)≤0, 可得 nan≤Sn,排除 B,C, 由 Sn﹣na1=an2+bn﹣n(a+b)=an2﹣an=an(n﹣1)≤0, 可得 Sn≤na1,排除 A, 可得 nan≤Sn≤na1,D 正确. 故选 D.

7. (5 分)若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最大值是(



A.﹣2 B.0

C.2

D.4 对应的平面区域如图: (阴影部

【解答】解: x , y 满足约束条件

分) .
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由 z=x﹣y 得 y=x﹣z,平移直线 y=x﹣z, 由平移可知当直线 y=x﹣z,经过点 A 时, 直线 y=x﹣z 的截距最小,此时 z 取得最大值, 由 ,解得 A(2,0)代入 z=x﹣y 得 z=2,

即 z=x﹣y 的最大值是 2, 故选:C.

8. (5 分)把四个不同的小球放入三个分别标有 1?3 号的盒子中,不允许有空 盒子的放法有( A.12 种 ) C.36 种 D.48 种

B.24 种

【解答】解:根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有 1?3 号的盒子中, 且没有空盒, 三个盒子中有 1 个中放 2 个球,剩下的 2 个盒子中各放 1 个, 则分 2 步进行分析: ①、先将四个不同的小球分成 3 组,有 C42=6 种分组方法; ②、将分好的 3 组全排列,对应放到 3 个盒子中,有 A33=6 种放法; 则不允许有空盒子的放法 6×6=36 种; 故选:C.

9. (5 分)已知函数

,现将 y=f(x)的图象向左平移

个单

位, 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g (x)的图象,则 g(x)在 A.[﹣1,2] 的值域为( )

B.[0,1] C.[0,2] D.[﹣1,0] 的图象向左平移 )=2sin(2x+ )的图象, 个单位,

【解答】解:把函数 可得 y=2sin(2x+ +

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)=2sin(4x+ )的图象,
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在 故当 4x+ 大值为 2,

上,4x+ =

∈[



], = 时,g(x)取得最

时,g(x)取得最小值为﹣1;当 4x+

故函数 g(x)的值域为[﹣1,2], 故选:A.

10. (5 分)已知椭圆

的左右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线 l1 与过 F2

的直线 l2 交于点 P,设 P 点的坐标(x0,y0) ,若 l1⊥l2,则下列结论中不正确的 是( A. ) B.

C.

D.

【解答】解:由椭圆

的左右焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,

过 F1 的直线 l1 与过 F2 的直线 l2 交于点 P,且 l1⊥l2, ∴P 在线段 F1F2 为直径的圆上,故 x02+y02=1, ∴ < + = <1,

故 A 错误,B 正确. 3x02+2y02>2x02+2y02=2(x02+y02)=2>1,故 C 正确; 由圆 x2+y2=1 在 P(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=1,

则( , )到切线的距离 d=

=|

+

﹣1|,

1﹣

≤|

+

﹣1|≤1+



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+

﹣1>1﹣

,则

+

>2﹣





+

>1,故 D 正确,

故选:A.

11. (5 分)某班有三个小组,甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试 成绩公布情况如下: 甲和三人中的第 3 小组那位不一样,丙比三人中第 1 小组的 那位的成绩低,三人中第 3 小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成 绩由高到低排列,正确的是( )

A.甲、乙、丙 B.甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D.丙、甲、乙 【解答】解:甲和三人中的第 3 小组那位不一样,说明甲不在第三组,三人中第 3 小组的那位比乙分数高,说明乙不在第三组,则丙在第三组, 第三组比第 1 小组的那位的成绩低, 大于乙, 这时可得乙为第二组, 甲为第一组, 甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列,甲、丙、乙, 故选 B.

12. (5 分)已知函数

在 x=1 处取得极大值,则

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实数 a 的取值范围是( A.

) D. (1,+∞)

B. (﹣∞,1) C.

【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)=lnx+1﹣ax+a﹣1=lnx﹣ax+a, 若 f(x)在 x=1 处取极大值, 则 f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, 则 lnx﹣ax+a<0 在(1,+∞)恒成立, 故 a> 在(1,+∞)恒成立, , (x>1) ,

令 h(x)=

则 h′(x)=

<0,

故 h(x)在(1,+∞)递减, 由 故 a>1, 故选:D. = =1,

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)已知实数 x 满足 5x﹣1103x=8x,则 x= 【解答】解:根据题意,5x﹣1103x=8x, 即 5x﹣1×(2×5)3x=23x, 则有 54x﹣1=1, 则有 4x﹣1=0,解可得 x= ; 故答案为: .

14. (5 分)如图是一个算法的流程图,则输出的 a 的值是

7



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【解答】解:当 a=2,b=10 时,不满足 a>b,故 a=3,b=9, 不满足 a>b,故 a=4,b=8 不满足 a>b,故 a=5,b=7 不满足 a>b,故 a=6,b=6 不满足 a>b,故 a=7,b=5 满足 a>b,输出的 a 值为 7, 故答案为:7.

15. (5 分)已知双曲线的两个焦点为 ,则双曲线的标准方程为 【解答】解:双曲线的两个焦点为 为: 可得 c= 渐近线为 ,所以:a2+b2=10, ,可得 2b=a, .

,渐近线为

,设双曲线方程

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解得 b=

,a=2

; .

所以双曲线方程为:

故答案为:



16. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若

,则

=



【解答】解:由等比数列的前 n 项求和公式可知:Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n,成等比 数列,当 =3 时,有 S2n=3Sn①

因为 Sn?(S3n﹣S2n)=(S2n﹣Sn)?(S2n﹣Sn) ,所以 Sn?(S3n﹣3Sn)=(3Sn﹣Sn) ?(3Sn﹣Sn) ,即得 S3n=7Sn② 由①②得 = = ,

故答案为: .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (12 分)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (1)求 A 的值; (2)若 ,BC 边上的高为 ,求 b+c 的值. , , . ,∵ ,∴ , .

【解答】解: (1)∵ ∴ ∵0<A<π,∴ (2)由已知, 又∴ ,∴

=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣4,
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∴(b+c)2=7, ∴ .

18. (12 分)甲、乙两名同学准备参加考试,在正式考试之前进行了十次模拟测 试,测试成绩如下: 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146 (1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图,求出甲同学成绩的平均数和方差,并根据 茎叶图, 写出甲、 乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的 结论; (2)规定成绩超过 127 为“良好”,现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选 出一个,求选出成绩“良好”的个数 X 的分布列和数学期望. (注: 方差 的平均数) 【解答】解: (1)由甲、乙两名同学十次模拟测试成绩,作出茎叶图如下: , 其中 为 x1, x2, x3, …xn

甲同学成绩的平均数: = (119+120+121+123+125+137+131+132+133)=127,

甲同学成绩的方差为: S 2= [(127﹣119)2+(120﹣119)2+(121﹣119)2+(123﹣119)2+(125﹣

119)2+(137﹣119)2+(131﹣119)2+(132﹣119)2+(133﹣119)2]=35. 由茎叶图知:甲的中位数大于乙的中位数,甲的平均成绩小于乙的平均成绩. (2)由已知,X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= = ,

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P(X=1)= P(X=2)= = ,

= ,

∴X 的分布列为: X P E(X)= =1. 0 1 2

19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60°, PA=AB=2,点 E,F 分别为 BC,PD 的中点,设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q. (1)已知平面 PAB∩平面 PCD=l,求证:AB∥l. (2)求直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值.

【解答】 (1)证明:∵AB∥CD,AB?平面 PCD,CD? 平面 PCD. ∴AB∥平面 PCD, ∵AB? 平面 PAB,平面 PAB∩平面 PCD=l ∴AB∥l. (2)解:∵底面是菱形,E 为 BC 的中点 AB=2, ∴ ,

∴AE⊥AD∵PA⊥平面 ABCD,则以点 A 为原点,直线 AE、AD、AP 分别为轴建立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 则



F



0



1



1





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, 设平面 PCD 的法向量为 设 则 解之得 ,则 ,∴ , 有 , , 得 ,

设直线 AQ 与平面 PCD 所成角为 α, 则 , .

∴直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为

20. (12 分)已知直线 y=2x+m(m≠0)与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点, (1)若 OA⊥OB,求 m 的值; (2)以 AB 为边作矩形 ABCD,若矩形 ABCD 的外接圆圆心为( ABCD 的面积. 【解答】解: (1)y=2x+m 与 y2=4x 联立,得 y2﹣2y+2m=0, 由△>0 得 ∵OA⊥OB,∴ ∴ ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=2,y1?y2=2m, , , ) ,求矩形

∴y1y2=﹣16∴2m=﹣16m=﹣8,满足题意.
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(2)设弦 AB 的中点为 M,则 ∵TM⊥AB,∴ ∴m=﹣4, 则 ∴ ∴ , ,∴ ,∴|BC=2 |, ,







∴面积为|AB|?|BC|=30.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x2﹣2(a+1)x+2axlnx+2a+1(a∈R) . (1)a=﹣2 时,求 f(x)在(0,2)上的单调区间; (2)? x>0 且 x≠1, 均恒成立,求实数 a 的取值范围.

【解答】解: (1)a=﹣2 时,f'(x)=2(x﹣1﹣2lnx) ,设 h(x)=f'(x) , 当 x∈(0,2)时, ,则 h(x)在(0,2)上是单调递减函数,

即则 f'(x)在(0,2)上是单调递减函数, ∵f'(1)=0,∴1<x<2 时,f'(x)<0;0<x<1 时,f'(x)>0 ∴在(0,2)上 f(x)的单调增区间是(0,1) ,单调减区间是(1,2) ; (2)x>1 时,2axlnx>(2a+1﹣x) (x﹣1) ,即 0<x<1 时,2axlnx<(2a+1﹣x) (x﹣1) ,即
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; ;

设 则 ∵ a=﹣1 时,﹣(2a+1)=1, ,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增

∴x>1 时,g(x)>g(1)=0;0<x<1 时,g(x)<g(1)=0, ∴a=﹣1 符合题意;a<﹣1 时,﹣(2a+1)>1,1<x<﹣(2a+1)时,g'(x) <0, ∴g(x)在(1,﹣2a﹣1)上单调递减, ∴当 1<x<﹣(2a+1)时,g(x)<g(1)=0,与 x>1 时,g(x)>0 矛盾; 舍去, a>﹣1 时,设 M 为﹣(2a+1)和 0 中的最大值,当 M<x<1 时,g'(x)<0, ∴g(x)在(M,1)上单调递减, ∴当 M<x<1 时,g(x)>g(1)=0,与 0<x<1 时,g(x)<0 矛盾;舍去 综上,a∈{﹣1}.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分) 已知平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 为参数,0≤α<π 且 系,曲线 C 的极坐标方程为 . (1)求 α 的大小; (2)过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 M,N 两点,求|MN|. 【解答】 (1)由已知直线 l 的参数方程为: 且 则: ∵ , ) , , ,
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(t

) ,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 .已知直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且

(t 为参数,0≤α<π

∴O 到直线 l 的距离为 3, 则 解之得 ∵0<α<π 且 ∴ (2)直接利用关系式, 解得: . , . ,

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣3a|(a∈R) . (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)>5﹣|x﹣1|; (2)若存在 x0∈R,使 f(x0)>5+|x0﹣1|成立,求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由已知|x﹣3|+|x﹣1|>5, 当 x<1 时,解得 ,则 ;

当 1≤x≤3 时,解得 x∈?,则 x∈?, 当 x>3 时,解得 综上:解集为 ,则 或

(2)∵||x﹣3a|﹣|x﹣1||≤|(x﹣3a)﹣(x﹣1)|=|3a﹣1| ∴|x﹣3a|﹣|x﹣1|≤|3a﹣1| 当且仅当(x﹣3a) (x﹣1)≥0 且|x﹣3a|≥|x﹣1|时等号成立. ∴|3a﹣1|>5,解之得 a>2 或 ∴a 的取值范围为 , .

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