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2017届高三数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 简单的三角恒等变换开卷速查

时间:

开卷速查(二十一)

简单的三角恒等变换
)

A 级 基础巩固练
1.计算 sin20°cos70°-cos160°sin70°=(

A.0 C.1
=sin20°cos70°+cos20°sin70° =sin(20°+70°)=sin90°=1。 答案:C

B.-sin50°
D.-1

解析:原式=sin20°cos70°-cos(180°-20°)sin70°

α 4 α 2.已知 cos = ,α ∈(0,2π ),则 sin =( 2 5 4

) 10 10

A. C.

10 10

B.-

3 10 10

3 10 D.- 10

α α 解析:角 是 的 2 倍, 2 4
2α 所以 sin = 4

α 4 1-cos 1- 2 5 1 = = 。 2 2 10

α ? π? 因为 α ∈(0,2π ),所以 ∈?0, ?, 2? 4 ? α 所以 sin = 4 答案:A 1 10 = 。 10 10

? π? 3.[2016·长沙模拟]函数 f(x)=sinx-cos?x+ ?的值域为( 6? ?
A.[-2,2] C.[-1,1]
解析:f(x)=sinx- = 3? 3 1 cosx+ sinx 2 2 B.[- 3, 3] D.?-

)

? ?

3 3? , ? 2 2?

1 ? 3 ? ? π? sinx- cosx?= 3sin?x- 6 ?。 ? ? 2 ?2 ?

π x∈R,所以 x- ∈R, 6 所以 f(x)∈[- 3, 3],故选 B。 答案:B 4.[2016·成都模拟]已知锐角 α 满足 cos2α =cos?

?π -α ?,则 sin2α 等于( ? ?4 ?

)

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1 A. 2 C. 2 2

1 B.- 2 D.- 2 2

?π ? 解析:由 cos2α =cos? -α ?, ?4 ?
得(cosα -sinα )(cosα +sinα )= 由 α 为锐角知 cosα +sinα ≠0。 所以 cosα -sinα = 1 所以 sin2α = 。 2 答案:A 2 1 ,平方得 1-sin2α = 。 2 2 2 (cosα +sinα ), 2

?π ? ?π ? ?π ? 2x 5.[2016·临沂模拟]已知函数 f(x)=sinx+2 3cos ,设 a=f? ?,b=f? ?,c=f? ?, 7 6 2 ? ? ? ? ?3?
则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c 解析:f(x)=sinx+2 3· ) B.c<a<b D.b<c<a 1+cosx ? π? =sinx+ 3cosx+ 3=2sin?x+ ?+ 3, 3? 2 ?

? π? 因为函数 f(x)在?0, ?上单调递增, 6? ?
2π ?π ? ?π ? ?π ? 所以 f? ?<f? ?,而 c=f? ?=2sin + 3= 3 ?7? ?6? ?3? π ?π ? 2sin + 3=f(0)<f? ?,所以 c<a<b。 3 ?7? 答案:B 1+sinβ ? π? ? π? 6.[2014·课标全国Ⅰ]设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tanα = ,则( 2? 2? cosβ ? ? π A.3α -β = 2 π C.3α +β = 2 π B.2α -β = 2 π D.2α +β = 2 )

sinα 1+sinβ 解析:由条件得 = ,即 sinα cosβ =cosα (1+sinβ ),sin(α -β )=cosα = cosα cosβ π π π π π π ?π ? sin? -α ?,因为- <α -β < ,0< -α < ,所以 α -β = -α ,所以 2α -β = , 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 故选 B。 答案:B 7.[2016·兰州模拟]计算: 2sin50°- 3sin20° =________。 cos20°
2
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解析:原式=

+ - 3sin20° cos20°

2sin30°cos20°+2cos30°sin20°- 3sin20° = cos20° cos20°+ 3sin20°- 3sin20° = =1。 cos20° 答案:1 8.[2016·汉中模拟]设 θ 为第二象限角,若 π? 1 ? tan?θ + ?= ,则 sinθ +cosθ =________。 4? 2 ? π? 1 ? 解析:因为 tan?θ + ?= , 4? 2 ? π? π? ?? 所以 tanθ =tan??θ + ?- ? 4? 4? ?? π? π ? tan?θ + ?-tan 4? 4 ? = π? π ? 1+tan?θ + ?tan 4? 4 ? 1 -1 2 1 = =- , 1 3 1+ ×1 2 1 2 2 即 sinθ =- cosθ ,又因为 sin θ +cos θ =1, 3 1 2 9 2 2 所以 cos θ +cos θ =1,cos θ = , 9 10 因为 θ 为第二象限角, -3 10 1 10 所以 cosθ = ,sinθ =- cosθ = , 10 3 10 3 10 10 10 sinθ +cosθ =- + =- 。 10 10 5 答案:- 10 5

π? 2 ? π? ? 4 4 9.已知 cos α -sin α = ,且 α ∈?0, ?,则 cos?2α + ?=__________。 2? 3? 3 ? ? 2 4 4 2 2 2 2 解析:∵cos α -sin α =(sin α +cos α )(cos α -sin α )= , 3 2 ? π? ∴cos2α = 。又 α ∈?0, ?, 2? 3 ? ∴2α ∈(0,π ),∴sin2α = 1-cos 2α =
2

5 。 3

3
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π? 1 3 1 2 3 5 2- 15 ? ∴cos?2α + ?= cos2α - sin2α = × - × = 。 3? 2 2 2 3 2 3 6 ? 2- 15 答案: 6 5 ?π ? 10.[2014·江苏]已知 α ∈? ,π ?,sinα = 。 5 ?2 ?

?π ? (1)求 sin? +α ?的值; ?4 ?
(2)求 cos?

?5π -2α ?的值。 ? ? 6 ? ?π ,π ?,sinα = 5, ? 5 ?2 ?

解析:(1)因为 α ∈?

2 5 2 所以 cosα =- 1-sin α =- 。 5 故 sin?

?π +α ?4

?=sinπ cosα +cosπ sinα = 2×? 2 5?+ 2× 5=- 10。 ? ?- ? 4 4 2 ? 5 10 ? 5 ? 2
5 ? 2 5? 4 ? 5? 2 ×?- =- , cos2α =1-2sin α =1-2×? ? ? 5 ? 5 5 ? ?5?

(2)由(1)知 sin2α =2sinα cosα =2×
2

3 = , 5 所以 cos? 4+3 3 3? 3 1 ? 4? ?5π -2α ?=cos5π cos2α +sin5π sin2α =? ? ?- ?×5+2×?-5?=- 10 。 6 6 ? 6 ? ? ? ? 2? B 级 能力提升练 11.[2016·铜陵模拟]已知 α 为第二象限角,sinα +cosα = A.- C. 5 9 3 , 3 5 3 B.- D. 5 3 5 9 3 ,则 cos2α =( 3 )

解析:∵sinα +cosα = 1 2 ∴(sinα +cosα ) = , 3

2 2 ∴2sinα cosα =- ,即 sin2α =- 。 3 3 又∵α 为第二象限角且 sinα +cosα = π 3 ∴2kπ + <α <2kπ + π (k∈Z)。 2 4 3 ∴4kπ +π <2α <4kπ + π (k∈Z)。 2 3 >0, 3

4
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∴2α 为第三象限角。 ∴cos2α =- 1-sin 2α =- 答案:A 12. [2016·西安模拟]设当 x=θ 时, 函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值, 则 cosθ =________。 解析:f(x)=sinx-2cosx= 5sin(x+φ ), π 其中 tanφ =-2,当 x+φ =2kπ + 时, 2 π 函数 f(x)取得最大值,即 θ =2kπ + -φ 。 2
2

5 。 3

?π ? 所以 cosθ =cos? -φ ?=sinφ , ?2 ?
又因为 tanφ =-2,φ 在第四象限, 2 5 所以 sinφ =- , 5 2 5 即 cosθ =- 。 5 2 5 答案:- 5 π? ? 13.已知函数 f(x)=sin?3x+ ?。 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α ? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos2α ,求 cosα -sinα 的值。 4? ?3? 5 ? π ? π ? 解析:(1)因为函数 y=sinx 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z。 2 2 ? ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z。 4 3 12 3 所以,函数 f(x)的单调递增区间为

?-π +2kπ ,π +2kπ ?,k∈Z。 ? 4 3 12 3 ? ? ?
π? 4 π? ? ? 2 2 (2)由已知,有 sin?α + ?= cos?α + ?(cos α -sin α ), 4? 5 ? 4? ? π π 所以,sinα cos +cosα sin 4 4 π π? 4? 2 2 = ?cosα cos -sinα sin ?(cos α -sin α ), 4 4? 5? 4 2 即 sinα +cosα = (cosα -sinα ) (sinα +cosα )。 5

5
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3π 当 sinα +cosα =0 时,由 α 是第二象限角,知 α = +2kπ ,k∈Z。 4 此时,cosα -sinα =- 2。 5 2 当 sinα +cosα ≠0 时,有(cosα -sinα ) = 。 4 由 α 是第二象限角, 知 cosα -sinα <0,此时 cosα -sinα =- 综上所述,cosα -sinα =- 2或- 5 。 2 5 。 2

14.[2016·保定模拟]已知函数 f(x)=sin cos +cos -1。 2 2 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间;

x

x

2

x

?π 3π ? (2)求函数 f(x)在? , ?上的最小值。 2 ? ?4
x x 1+cosx 解析:(1)f(x)=sin cos + -1 2 2 2
1 1 1 = sinx+ cosx- 2 2 2 = 2 ? π? 1 sin?x+ ?- 。 4? 2 2 ?

所以函数 f(x)的最小正周期为 2π 。 π π 3π 由 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 得 2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z。 4 4 π 5π ? ? 则函数 f(x)的单调递减区间是?2kπ + ,2kπ + ?,k∈Z。 4 4 ? ? π 3π π π 7π (2)由 ≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ 。 4 2 2 4 4 π 3π 5π 则当 x+ = ,即 x= 时, 4 2 4

f(x)取得最小值为-

2+1 。 2

6
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