nbhkdz.com冰点文库

一道解析几何经典老题的探究

时间:2015-05-24


2 0 1 1年  第 5 O卷  第 4期 

数 学通 报 

3 3  



道 解 析 几 何 经 典 老 题 的 探 究 
袁 开 标 
( 安 徽 省 泾 县 中学 2 4 2 5 0 2 )  

最 新人 教 A 版课标 实验 课 本 _ 1 j ( 以 下 记 为 书 

解 法.设 - A - ' f 2 韭 p, y 1 ) ,  f " 韭 2 p, y 2 ) , 则有 k o A 一  Y l 一  
2   p 2


口 ] ) P   。 例 5是 : “ 过抛 物 线焦 点 F的直 线交 抛 物 线  于A, B两点 , 通过 点 A 和抛 物线 顶 点 的直 线 交  抛物线 的 准线 于点 D. 求证 : 直线 DB平行 于抛 物  线 的对 称轴 . ” 如图 1 . 笔 者 与 此 题 打 交 道 已 有 近 
所以 O A:  : 2 2 P _.z
_



将 此方 程 与 准 线方 程 z  
易知 , 直 线 AB 若 无 斜 

3 o年 的历 史 了 !但 是 笔者 认 为 : 此 题 不仅 风 姿 犹 
存, 而且 是 活力 四射 “ 经 典 老题 ” !之 所 以 这 样认  为, 有 3个 理 由 : 第一 , 笔 者 使 用 过 的 不 同时 期 4  
,  





 

P  

得 y 。一 一 


率, 则直 线 AB 方 程 为 : z一 -   ; 直 线 AB若 有 斜  率, 则斜 率不 为 0 , 所 以可设 直 线 AB方 程 为 : z= = =  

m y +要, 将它代人 Y 。 一2 p x , 并整理得: Y   一  
F  D  .   x  

2 r n p y- -p   一o = >  I? Y z 一 -p 。   j , 2 一 
一 一   = ==  


, 即 Y 。  

/  
幽 1  

所以B D/ /  轴 .  

变式 探 究 1 设 抛物 线 Y   一2 p x ( p >0 ) 的 焦  点 为 F, 经 过点 F 的 直线 交 抛 物 线 于 A, B两点,  

种 普通 高 中课本 所共 有 , 除 了书  P   。 例 5外 , 另 3   种 课本 分别 是 , 书[  P l l l 1 3 、 书[  P 。 9 1 3 、 书[ 4 ] P  6 .  
这 4 种 课 本 的新 老 更 替 , 历经 了近 3 O年 的 风 雨 沧 

点 C在抛 物线 的准 线 上 , 且 BC/ /z轴 . 证 明直 线 
AC过 原点 0( 2 0 0 1年全 国高考 题) .  
此 题证 法较 多 , 这 里 给 出 3种 较 简 的证 法 .  

桑, 老课 本 的每一 道题 都经 历 了“ 生 杀” 考验 , 这 道  题不仅 幸存 了下 来 , 而 且 现 在还 f  "为新 书 L 1   的  例题 , 它的身 价 可略见 一 斑; 第 _ - , 它 的 一 个 变 
身—— 变式 题 , 曾 经 身份 显 赫一 一 反 响 很 好 的 

证法 1 ( 巧 设 直 线 AB 的方 程 ) 易知 焦点 F  

( 号 , o ) , 又 依 题 意 可 设 A B 的 方 程 为 z — m   + 号 .  
将 其 代 人  一 2 p x得  一 2 mp y一  一 0 . 设 A  

2 0 0 1 年 全 国 高 考 题 !因此 有 理 由相 信 它 的 亮 丽  转身—— 与其难 度相 当 , 且 略加 “ 打扮” 的变 式题 ,   完全有 可 能 在 以后 的重 要 考 试 中 闪 亮 登 场 !第 
三, 更 重要 的是 , 它 和它 的变式 题 , 难 度适 中 、 破 题  的 入 口较 宽 、 而 且 解 法 都 很 常 规 ,不 需 要 特 殊 技 
巧, 这对 学 生学 习和掌 握解 析几 何 的通性 通法 、 培 

( z l , Y 1 ) , B(  2 , Y 2 ) , 贝 0   Y l Y 2 一 一P 。 . 因为 B C/ / z  
轴, 点 C在 准 线 z= 一  上 ,  

所 以 点 c ( 一 号 ,   。 ) , 所 以 忌   一 兰   一 磬 一  
2  


养 学生 的发 散 思维 能力 和 创 新 思 维 能力 , 具 有极  佳 的训 练价值 !   现 将笔 者近 期对 这道 “ 经典 老题 ” 的探究 所 得  整 理 出来 , 以期与 同仁 切磋 、 同乐 、 共享.  
解 法探 究 书口   上解法较 繁, 以 下 给 出 简 捷 

尼 0 A . 所 以 AC 经 过 原 点 0.  

证法 2 ( 利用 抛物线的参数方程) 依据题意,   焦 点 F(   1 -, O ) , 设 A( 2 p t   , 2 p t i ) , B( 2 p t ; , 2 p t 2 ) ,  
因 为 A ,B,F 三 点 共 线 ,所 以 足 ^ 日一 忌 ^ F,  

3 4  
2 pt z -2 pt l
一   == = 

数 学通报 

2 0 1 1 年  第 5 0卷  第 4期  类 似地有 志 阳一  2 py  2




 



2  £ ; 一2 户   }   2  f  
一 一

要  ; 一   4   一   “  
r。 、  

( 2 ) . 将( 1 ) 式 代 入 


2 p(一  PY1 )
1 .  

式 得

目 

是 阳 一 
4   x 



Z Z1  




4 xl y ̄
一  



 



 

D   ‘ y  

/  
A 

D  .  
一  


E 

C 

4 ? 荨  
图 2  

。  ~   舶 似一 ~ 

所以 志   一点 舶, 故 F在 直 

,  

证 法 2 设 P ( 易 , 。 ,   ) , P o :   一 Y   l ?   , 联 立  
P O方 程和准 线方程 z:一  得 

2  

因 为 B C / / x 轴 , 所 以 c ( 一 号 , 2 p £ z ) ,  
所以 走   一  一  1


k o c- - 

4  
一  

M( 一要, 一  ) . 因为MQ #  轴  MQ :  —  
V 

p2


÷, 所 以k o A : = = k o c , 于是 直线 AC经过 原点 0.  
证法 3 ( 平几法 ) 如图 2 , 记 z轴与抛 物线准线 

z 一

V 1   将 其 代 人 抛 物 线 方 程 j ,   一 2 户 z 得 蛋 V i   一 2 户 z   磊, 所 以 Q   p 3 , 一 蛋 ) ,  
所  一

z 的交 点为 E, 过 A 作 AD上z , D是垂 足 , 则 AD∥ 
EF / / BC . 连 结 AC与 E F相交于点 N, 则 
一  

羞 一 辫 一一 一  

l   C AI   一     I B A   l , ’f     C B     I 一 AB l   l . 。 根 ’  据 抛 物 线 的 

c z 一 易 , . 令   一 。 得 z 一 号 .  
直线P Q过焦点F ( 要, 0 ) .  

几何 性 质 ,   I AF   l — I   AD   l , I   B F   l —I   B C   J , 于 是 

  I ENI - 

一  

一I   F N  I ,  

即 N是 E F 的中点 , 与抛 物 线 的顶 点 0 重合 , 所  以直 线 AC经 过原点 O.  
洼 1 不 难 看 出 本 题 还 可 用 直 线 的 参 数 方 程 

和用极 坐标 的方 法等来 证 明.  
变 式探究 2 过 抛物 线 y   一2 p x( p >0 ) 的 顶 

拓展 结论 1 抛 物线 y   一2 p x ( p  ̄O ) 的焦点 

点作 直线 P M 交准线 于点 M , 作 MQ∥z轴 , 则 直 
线 P Q过 焦点 F.  
证法 1   设 P( x 】 ,  1 ) , Q( x 2 , y 2 ) , 则 0P: y 一  
?  ,

将其 与准 线方程z 一 一鲁 联立得Y   一 Y  





生  
2 x1  

2 0 1 1年  第 5 0卷  第 4期 

数 学通报 

3 5  

证法 1   易 知 直 线 AF ’ 的 斜 率 不 等 于 0, 司设  

弦 AB 的 中 点 为 M , A、 B、 M 在 准 线 上 的 射 影 依 
次 为 C、 D、 N.  

直线A F : _ z — m y +要, 设A (  ,  ) , B ( z   ,   2 ) ,  
则 O A:  一
  Yl


( 1 ) 问 B、 o、 C三 点 共 线 吗 ? 为 什 么 ?  


. z

2 C . 因 为 准 线 z :   一 一 号 . 联 立 O A 和  
2  

( 2 ) 求 F N 与 AB 所 成 的 角 .  
C 

z 的 方 程 得 y Q  ̄ -  — 一   一 _ 蛋 ? 所 以 Q  
( 一 号 , 一 蛋 ) . 因 为 Q B ∥ z 轴 , 所 以 B ( z   , 一   2 ) .  
下 证 B( z 。 , 一  ) 在 抛 物 线  z =2 p  上 .  
Y1  

Ⅳ 

D 

D 

,  





  2 1

一  Y 2  

2 1

一 

解析 1   如图 3 . ( 1 ) 因为 AC / /  轴, AB过 焦 
一   —  

zz一
~  

号   = - p Z x l + 等 3   z 一 号?  
P。 P。  

点 F, 由 变 式 探 究 1的 结 论 立 知 : B、 0、 C 三 点 共 

线( 顺 便提 一下 : 同理 A, 0, D 三点 也共线 ) .  
解析 2   因为 点 C在 准线 . z一 一   上, 所 以 

2 觚  科譬  一 蚤 一 南 一 嚣 ?  
即y ; 一2 p x z , 这 表 明 B( x   , Y z ) 在 抛 物线 y 。 一2 p x  
上.  

忌   一 一 等 . 因 为  一   Y 2 一   2 p 一   2 p ( 因 为  
2 p   yl  

. y z 一 一p 2 ) 一 一  . 故 最   一点 伽. 故 B、 0、 c 三 
点共线 .  

证法 2 易知 直线 AF 的斜率 不 等 于 0 , 可 设 

直 线 A F : z — m   + 号 , 设 A ( 鑫 ,   1 ) , 则  一   Y l  
—  

( 2 ) 解析 1   易 知 弦 AB 的斜 率 不 等 于 0 , 所 

2  
0  ●  

以 可 设 直 线 A B : z 一 优   十 鲁 。 由   z = =  + 号  
【   一2 px  



2 p  

y  

2 mp y- -P 。 一0 . 设 A( z 1 , Y1 ) , B(  2 , Y 2 ) ,  

所 以 A Q :   一 磬 z . 将 其 与 准 线 方 程 z - 一 一 号  
联立得:   。 一   ( 一- P - ) =一   A p  =   ( 因为 Q B∥ 


则 { l   y l _ = ’ -     y 2   一 一 户 ‘ … ( * ) .   所 以 N   c 一 号 ,  
口 N ( 一 号 , a r p ) .  

轴)  

( 3 ) .  

设 直 线 AF 与 抛 物 线 交 于 点 N , 将 AF 的 方 

因 为 F ( 号 , 。 ) , 所 以 是   一 二   M 五 P一 一 m .  
2   2  

程z —m   +要与抛物线方程 y z = = = 2 p  联立并消  
去  得 
y。 一2 m py- -P  = 0. = >  1?   N一 ~ P。 = >  N一  

又是 A B一  ( 设  ≠ O ) ,   则 是 F N ?是   =( 一  )?   一 ~ 1, 故 FN 与 

m  
一  

( 4) .  

AB 成 9 0 。 角; 当  一 0时 AB_ L  轴, 显然 F N 与  由( 3 ) , ( 4 ) 知 y e —y   . 又 因 为 点 B, N 都 在 直  线 AF 上 , 所 以点 B与 N 重合 , 因 为 点 N 在 抛 物  线上 , 所 以点 B 在 抛 物 线 上 .   变式探 究 4 抛物线 v 。 一2 p x( P >0 ) 的 焦 点 
解析 2   由 (*) 知 N( 一  P, —  V 1 — — 一  ) , 因 为 F  AB 成 9 O 。 角.  

3 6  

数 学通报 

2 0 1 1年  第 5 0卷
一 Z 

第 4期 

( 号 , 。 ) , A ( 蓦 ,   ) , 由 斜 率 公 式 得 志   一   .  
因 为五 加 一 是  一 五3 ' 1一  
2 p  2  

所 以 O A :   一 凳 z  一  
I   J

( 1 O ) .  

,  

将( 1 0 ) 式代 入 ( 9 ) 式并 整 理得 : 2 z 。 +Y 。 一p x  
=0 (  ≠ 0 ) .  

所以点   ?五 A B 一 一1 , 故 FN 与 AB 成 9 0 。 角.  

变式 探究 6 设 点 P是抛 物线 . ) ,  =2 p x( p ̄ 

z 

变式探 究 5 从抛 物线 Y 。 一2 p x( p  ̄O ) 上不 
同 于 顶 点 的 一 点 A 向 准 线 Z作 垂 线 , 乖 足 是 B, 谇 

0 ) 的准线上不同于P   ( 一要, o ) 的任意一点, 0为  
5  

坐标原 点 , 直线 P O交 抛物 易  线于点 N , 直线 P M ∥ 


结抛 物线顶 点 O 和 A 的 直线 与 连 接 抛物 线 的焦 

知  轴 且交抛 物线 于点 M . 证 明点 0在 以 MN 为直 
8  

点 F 和垂足 B 的直线交 于 R, 求 点 R 的轨迹方 程 
( 见图 4 ) .  

径 的圆内.  

  —

一 2  证法 1   易知抛物线焦点 F ( 要, 0 ) . 由变式  

‘ 、   .
D 

探究 2知 , 直 线 MN 过 焦 点 F, 又 因为 直 线 MN 

的斜 率 不 等 于 0 , 所 以 可 设 直 线 MN:   = my  

F 

+ 号 .  
设 M( x   ,  ) , N( x   , Y 。 ) . 联 立 直 线 MN 的 方  程 和 抛 物 线 方 程 得  一2   3 , 一P 。 =0 .  
图4  

,  

解 析 1   设 A ( z 。 ,   ) , 准 线 z 一 一 号 , 则 直 线  


所 以 j   1 +   2 — 2 m   【  1‘Yz 一 一 P‘  
?   = = = z1 z2 + l Y  

(   )  

(  + 号 ) (  z + 号 ) +  z  



(   z + 1 )  +  (   +   ) + 譬  
}户 。 <0 .  
所  s <  ,   > 一  <。 ,  

所以 点  = = = 一? y o   . 所 以直线 B F:  一 一Y - Z( x 一 




号 )  
联立 ( 5 ) ( 6 ) 得  。 一  -  2 p x  
2 p  y  

( 6 )  
( 7 )  
( 8 )  

Nt 2<U :  ̄, Ug>大 于9 O 。 . 故 点 O在 以 MN 直 径 
的 圆 内.  

。 —

一 

证法 2   由证法 1 知: 可设直 线 MN:   —my  

将( 7 ) ( 8 ) 代人 5 :2 p x o 并 化 简得 : 2 x   +  。 一p x  
—O (  ≠ O ) .  

+ 要, 设M( z 】 ,  ) , N ( z 2 ,   2 ) ,  


解 析 2   设 A ( 券 2 ,   。 ) , 则 B ( 一 号 , y 。 ) . 依 题  
意 , F ( 号 , 0 ) ,   。 ≠ o .  
所以 愚   一  , 所 以 BFt y= - y

』   + 弛 一 2  ’   【  1一yz   P   .  
(   +1 ) [ (  1 + 2 )  一4 y l  2 ] = = : ( m   +1 )  

则 I   M N  I  一 ( 工 2 一z 1 )  + (   2 一Y 1 )   一 仇。  
(  2一 1 )  + (  2 一 y1 )  


o (   ~ 号 )   户
( 9 ) .  

[ ( 2 a r p)   +4 p 。 ] .   所 以(   )   :( mz +1 ) z 户 z .  

N ̄ k o A 一   Y o 一  2 p
,  

设原点到直线MN:  : m y + 要的距离为d ,  

2 0 1 1年  第 5 O卷  第 4期 

数 学通报 
将 (*)  中 的第 一 式 代 入 得 :  

3 7  

径 

.  

j   z 。 一 m 。 p 十 号 , 即 Q (   z 声 + 等 ,  ) , 则 点 Q 到  
t   I , y0一 m p.  


而(  

 
) 2  

l   干  J   ~   . 从   准 线 z 一 一 号 的 距 离 d = m   p + 号 一 ( 一 号 ) :  
一( m  一   + .  



 

: ±  :   : 二生 : 一— ( 4 m 6 +3 m 4 + — 3 m 2 +3 ) p  ̄  

又因 为(   )   一d   一( 优   + 1 ) ~ P~  
(   +1 ) 。 P 。 一0 . 所 以 以 MN 为 直 径 的 圆与 准 线 
相 切.  

>0 . 所 以原 点 O在 以 MN 为 直径 的 圆 内.  
拓 展 结 论 3 在 变 式 探 究 6的条 件 下 , 点 P  

注3   为 了 突 出 问题 的本 质 , 不 在 细 枝 末 节  上 纠缠 , 本 文涉及 的抛 物 线 都 设 为 Y 。 一2 p x ( 户 >  O ) , 其 他形 式抛 物线 相应 的结 论类 似可 得.  

( 一要, 0 ) 在以MN为直径的圆内或圆上( 仿照变  
式 探究 6的两种 证法 可证 , 留给读 者玩 味) .  
拓展 结 论 4   在 变 式 探 究 6的 条 件 下 , 以  

注4   限于篇 幅 , 对 以上 的变 式探 究 1 ~6 , 都 
只 呈 现 了两 种 方 法 , 其他 的方 法不赘 述 .  

MN为直径的圆与准线  一一要相切.  
证 明  设 M N 的 中 点 Q( z - 。 , y 。 ) , M( x   , y   ) ,  
N( x2 , Y2 ),  

1   I 如一 : : : — o 丁 r 1   t — x 2 一  。 .  ±  十  ’   .

I  一  
( 上接 第 3 2页 )  

=  .  
( 9 ) 式 又 等 价 于 
s i n2 Bs i n2 C+ s i n2 Cs i n 2 A+ s i n2 As i n2 B 

由定 理 1 , 在( 3 ) 式 两边 同乘 以正数 2 s i n ( B+ 
C)?2 s i n( C+ A) ?2 s i n( A + B)一 2 s i n A ?2s i n B 
?

≥1 8 c o s   AC O S   BC O S   C  

( 5 )  

2 s i n C, 并 将左 边积 化 和差 , 可知 ( 3 ) 式等价 于 :  
( s i n 2 B+ s i n 2 C)( s i n 2 C+ s i n 2 A )( s i n 2 A - 4 -  

再证 不等 式 ( 6 )   在( 7 ) 式 的两边 同加上 8 ( s i n   2 B+ s i n   2 C )  

s i n2 B)  

( s i n   2 C +s i n   2 A) ( s i n   2 A+ s i n   2 B) , 并 利 用 代 数 
( 7 )  

≥8 s i n 2 As i n 2 Bs i n 2 C  

恒 等式 ( 8 ) , 可知 :  
( 3 ) 式铮 ( 7 ) 式 e 9 ( s i n   2 B+s i n   2 C)  
( s i n   2 C+ s i n   2 A) ( s i n   2 A+ s i n   2 B) ≥8 ( s i n   2 A + 
s i n   2 B- + - s i n   2 C)( s i n   2 Bs i n   2 C+ s i n   2 Cs i n   2 A + 
s i n   2 As i n   2 B)   ( 1 1 )  

利用 代数 恒等 式 
( 6 +f ) ( c + a)( 口+ b)一 ( a+ b4 - c)( b e十 c a4 -  
a b) ~ ab c   ( 8 )  

可知( 7 ) 式等 价于 
( s i n   2 A+s i n   2 B+ s i n   2 C)( s i n   2 Bs i n   2 C+  s i n   2Cs i n   2 A+ s i n   2 As i n   2 B)  

将( 1 1 ) 式 的左 边 和 差 化积 、 右 边 利 用 三 角 形 

恒等式 ( 1 0 ) , 最后将 两边 同除以正数 8 s i n   As i n  
( 9 )  

≥9 s i n   2 As i n   2 Bs i ‘ n   2 C  

B s i n   C, 知( 1 1 ) 又 等 价 于 
9 c os ( B— C) C OS( C— A) C O S( A— B)  

再 把 三 角 形 恒 等 式 
s i n   2 A+ s i n   2 B+ s i n   2 C一 4s i n   As i n   Bs i n   C  ( 1 0)  

≥4 ( s i n   2 Bs i n   2 C- 5   s i n   2 Cs i n   2 A+ s i n   2 As i n  
2 B)   ( 6 )  

代人( 9 ) 式 的左边 , 并 在 两边 同 除 以这 个 正 数 , 知 

综上 所述 , 定 理 2获 证 .  


赞助商链接

一道解析几何试题的多角度认识及其推广

一道解析几何试题的多角度认识及其推广 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道解析几何试题的多角度认识及其推广 作者:沈铁表 来源:《中学生数理化· 学...

一道解析几何题的巧解

一道解析几何题的巧解 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道解析几何题的巧解 作者:苏乌利 来源:《读写算· 教研版》2014 年第 22 期 在高中的...

一道高考解析几何题引申出的几个结论

一道高考解析几何题引申出的几个结论 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道高考解析几何题引申出的几个结论 作者:张焕云 来源:《理科考试研究· 高中...

一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究

一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究 - 2011 年山东省高考理科解析几何压轴题集定值、最值问题于一体,让五万考生得零分,得知此情我对 此题做了深入...

解析几何经典例题

解析几何经典例题_数学_高中教育_教育专区。解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探 讨一...

高考数学-一道高考解析几何题的拓展与推广

高考数学-一道高考解析几何题的拓展与推广 - 一道高考解析几何题的拓展与推广 2010 年高考全国卷Ⅰ第 21 题如下: 已知抛物线 关于 轴的对称点为 (1) 证明:...

解析几何大题分类问题

解析几何大题分类问题_数学_高中教育_教育专区。定点...已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线...4 相较于点 Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点...

一道解析几何问题的求

一道解析几何例题的探究... 2页 免费 一道解析几何调研题的解题... 3页...一道解析几何问题的求解淮州中学 朱国军 曾经在课堂上与学生一起探讨下面这道解...

解析几何经典题目200题

解析几何经典题目200题_数学_高中教育_教育专区。解析几何大题,有难度,有助于拔...一道解析几何经典老题的... 暂无评价 5页 免费 经典解析几何 3页 免费 高中...

一道解析几何题的几种解题思维

一道解析几何题的几种解题思维 - 一道解析几何题的几种解题思维 庞士昌 淮南市职教中心 数学是解决问题的学科, 解决具体问题的时候, 选择解题的方法是十分重要 ...