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浙江省杭州市学军中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷(理科)

时间:2015-12-23


浙江省杭州市学军中学 2015 届高三上学期第五次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) A.x>y 的一个充分不必要条件是() B.x>y>0 C.x<y D.y<x<0

2. (5 分)已知点 P 是函数 f(x)=sin(ωx+ 的对称轴距离的最小值为 A.2π B. π

)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C

,则 f(x)的最小正周期是() C. D.

3. (5 分)已知 M={(x,y)| A.﹣6 或﹣2 B . ﹣6

=3},N={(x,y)|ax+2y+a=0}且 M∩N=?,则 a=() C.2 或﹣6 D.﹣2

4. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C. 1

D.2

5. (5 分)斜率为

的直线 l 与椭圆

交与不同的两点,且这两个交点

在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.

6. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x﹣1|)﹣1 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)若等差数列{an}满足: 项和取最大值时,n 的值为() A.12 B.11

<﹣1,且其前 n 项和 Sn 有最大值.则当数列{Sn}的前 n

C.23
2 2

D.22 相切,且 θ 为锐角,则

8. (5 分)若直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 与圆(x﹣cosθ) +(y﹣1) = 这条直线的斜率是() A. B.
2 2

C.
2 2 2

D.

9. (5 分)已知圆 O1: (x﹣2) +y =16 和圆 O2:x +y =r (0<r<2) ,动圆 M 与圆 O1、圆 O2 都相切,动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2(e1>e2) ,则 e1+2e2 的最小值是() A. B. C. D.

10. (5 分)如图:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 A1B1,CD 的中点, 点 M 是 EF 的动点,FM=x,过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部 分的体积为 V(x) ,则函数 V(x)的大致图象是()

A.

B.

C.

D.

一、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 10 10 11. (4 分)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 S30+S10=(2 +1)S20,则数列{an} 的公比. 12. (4 分)在一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,并且能使正方体在纸盒内任意 转动,则正方体的棱长的最大值为? 13. (4 分)如图,线段 AB 长度为 2,点 A,B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动,以线 段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD,BC=1,O 为坐标原点,则 的取值范围是.

14. (4 分)定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|,若对任意的 x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1) ﹣f(x2)|≤2,则实数 a 的取值范围是.

15. (4 分)若 a≥0,b≥0,且当 所形成的平面区域的面积等于.

时,恒有 ax+by≤1,则以 a、b 为坐标的点 P(a,b)

16. (4 分)已知△ ABC 的三个顶点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(3,2) ,其外接圆为圆 H.对 于线段 BH 上的任意一点 P,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M,N,使得点 M 是 线段 PN 的中点,则圆 C 的半径 r 的取值范围是.

17. (4 分)设函数 f(x) ,g(x)满足下列条件: (1)f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=1. (2) 对任意实数 x1,x2 都有 f(x1)?f(x2)+g(x1)?g(x2)=g(x1﹣x2) ,则当 n>2,n∈N 时, n n [f(x)] +[g(x)] 的最大值为.
*

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)设△ ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数 列,且 .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 x∈[0,π) ,求函数 f(x)=sin(x﹣B)+sinx 的值域. 19. (14 分) 如图, DC 垂直平面 ABC, ∠BAC=90°, AC= BC=kCD, 点 E 在 BD 上, 且 BE=3ED. (1)求证:AE⊥BC; (2)若二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 120°,求 k 的值.

20. (14 分)已知数列{an}中,a1=1,且 an= (1)求数列 的通项公式;
*

an﹣1+2n?3

n﹣2

(n≥2,n∈N ) .

*

(2)令 bn=

(n∈N ) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 S

与 n 的大小,并证明.

21. (16 分)设椭圆 C:

的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交

于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°, (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程.



22. (16 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+bx (Ⅰ)当 a=2,且 f(x)是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围;

(Ⅱ)当 b=﹣2,且对任意 a∈(﹣2,4) ,关于 x 的程 f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根, 求实数 t 的取值范围.

浙江省杭州市学军中学 2015 届高三上学期第五次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) A.x>y 的一个充分不必要条件是() B.x>y>0 C.x<y D.y<x<0

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 x>y>0? x>y>0. 解答: 解:∵x>y>0? ?x>y>0 或 x<y<0. 故选 B. 点评: 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要注意不等式的合理运用. , , ?x>y>0 或 x<y<0,知 的一个充分不必要条件是

2. (5 分)已知点 P 是函数 f(x)=sin(ωx+ 的对称轴距离的最小值为 A.2π B. π

)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C

,则 f(x)的最小正周期是() C. D.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先根据函数 f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为 定周期. ,从而确

解答: 解:已知函数 f(x)=sin(ωx+ 到对称轴的距离的最小值为 ,

) (ω>0) ,若函数 f(x)图象上的一个对称中心

∴由正弦函数的图象和性质可知: = ∴解得:T=π, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点:正弦型三角函数的周期,对称中心到对称轴的距离与周期的关 系,属于基本知识的考查. =3},N={(x,y)|ax+2y+a=0}且 M∩N=?,则 a=() C.2 或﹣6 D.﹣2

3. (5 分)已知 M={(x,y)| A.﹣6 或﹣2 B . ﹣6

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 集合 M 表示 y﹣3=3(x﹣2)上除去(2,3)的点集,集合 N 表示恒过(﹣1,0)的 直线方程,根据两集合的交集为空集,求出 a 的值即可. 解答: 解:集合 M 表示 y﹣3=3(x﹣2) ,除去(2,3)的直线上的点集; 集合 N 中的方程变形得:a(x+1)+2y=0,表示恒过(﹣1,0)的直线方程, ∵M∩N=?, ∴若两直线不平行,则有直线 ax+2y+a=0 过(2,3) , 将 x=2,y=3 代入直线方程得:2a+6+a=0,即 a=﹣2; 若两直线平行,则有﹣ =3,即 a=﹣6, 综上,a=﹣6 或﹣2. 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 4. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C. 1

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形,利用三视图的数 据,直接求出棱柱的体积即可. 解答: 解:由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形, 直角边分别为:1, ,棱柱的高为 ,所以几何体的体积为: =1.

故选 C. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查想的视图能力与空间想象能力.

5. (5 分)斜率为

的直线 l 与椭圆

交与不同的两点,且这两个交点

在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 先根据题意表示出两个焦点的交点坐标, 代入椭圆方程, 两边乘 2a b , 求得关于 的 方程求得 e. 解答: 解:两个交点横坐标是﹣c,c 所以两个交点分别为(﹣c,﹣ c) (c, c)
2 2

代入椭圆
2 2

=1

两边乘 2a b 2 2 2 2 2 则 c (2b +a )=2a b 2 2 2 ∵b =a ﹣c 2 2 2 2 2 c (3a ﹣2c )=2a^4﹣2a c 2 2 2a^4﹣5a c +2c^4=0 2 2 2 2 (2a ﹣c ) (a ﹣2c )=0 =2,或 ∵0<e<1 所以 e= = 故选 A 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中 a,b 和 c 的关系. 6. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x﹣1|)﹣1 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 去掉 y=f(|x﹣1|)﹣1 中的绝对值,讨论复合函数 y 的增减性. 解答: 解:∵y=f(|x﹣1|)﹣1= ,且 f(x)是 R 上的增函

数; ∴当 x≥1 时,y=f(x﹣1)﹣1 是增函数, 当 x<1 时,y=f(﹣x+1)﹣1 是减函数; ∴函数 y=f(|x﹣1|)﹣1 的图象可能是第二个; 故选:B. 点评: 本题考查了复合函数的增减性问题,判定 f(g(x) )的单调性,当 f(x) 、g(x)单 调性相同时,f(g(x) )是增函数;当 f(x) 、g(x)单调性相反时,f(g(x) )是减函数.

7. (5 分)若等差数列{an}满足: 项和取最大值时,n 的值为() A.12 B.11

<﹣1,且其前 n 项和 Sn 有最大值.则当数列{Sn}的前 n

C.23

D.22

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据所给的等差数列{an}满足: 得出结论. 解答: 解:∵等差数列{an}满足: ∴a11>0,a12<0,a11+a12>0, ∴S22= S23= (a1+a22)=11(a11+a12)>0, (a1+a23)=23a12<0, <﹣1,且其前 n 项和 Sn 有最大值说明公差 d<0, <﹣1,且公差 d<0,可得 a11>0,a12<0,即可

∴当数列{Sn}的前 n 项和取最大值时,n=22. 故选:D.

点评: 本题考查等差数列的性质和前 n 项和,本题解题的关键是看出所给的数列的项的正 负,本题是一个基础题.
2 2

8. (5 分)若直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 与圆(x﹣cosθ) +(y﹣1) = 这条直线的斜率是() A. B. C.

相切,且 θ 为锐角,则

D.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件利用直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式求得 sinθ= .再结合 θ 为锐 角,可得 θ= ,从而求得直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 的斜率﹣ 的值.

解答: 解:由题意可得圆心(cosθ,1)到直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 的距离等于半径 ,
2 2



= ,化简可得|sinθ﹣sin θ|= ,即 sinθ﹣sin θ= ,求得 sinθ= .

再结合 θ 为锐角,可得 θ=

,故直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 的斜率为﹣

=﹣



故选:A. 点评: 本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数 学思想,属于基础题. 9. (5 分)已知圆 O1: (x﹣2) +y =16 和圆 O2:x +y =r (0<r<2) ,动圆 M 与圆 O1、圆 O2 都相切,动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2(e1>e2) ,则 e1+2e2 的最小值是() A. B. C. D.
2 2 2 2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别求出 e1、e2(e1>e2) ,利用基本不等式求出 e1+2e2 的最小值. 解答: 解:①当动圆 M 与圆 O1、O2 都相内切时,|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a,∴e1= ②当动圆 M 与圆 O1 相内切而与 O2 相外切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a′,∴e2= ∴e1+2e2= + = , .

令 12﹣r=t(10<t<12) ,e1+2e2=2×

≥ 2×

=

=

故选:A. 点评: 本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率,属于难题. 10. (5 分)如图:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 A1B1,CD 的中点, 点 M 是 EF 的动点,FM=x,过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部 分的体积为 V(x) ,则函数 V(x)的大致图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数思想. 分析: 本题关键是理解,体积 V(x)的变化是随变 x 的变化而怎样变化的,可以找列出 V 关于 x 的关系式,利用相似比就可以找到它们的关系,从而得到答案,当然此题也可以从体积 的变化快慢来理解得到答案. 解答: 解:如图: (1)当 时,过点 M、直线 AB 作平面交 CC1,DD1 于点 P、Q,

则四边形 ABPQ 为矩形, 此时,截面下面那部分是三棱矩 ADQ﹣BCP,

∵FM=CM1=x,如图:B1C=

,△ BB1M1∽△PM1C,由相似比得,



,∴CP=

, = ;

∴三棱矩 ADQ﹣BCP 的体积 V(x)=S△ BCP?AB= (2)当 为矩形, 此时,截面下面那部分是四棱矩 ADQA1﹣BCPB1, ∵FM=x,由相似比知 C1P= ,

时,过点 M、直线 AB 作平面交 B1C1,A1D1 于点 P、Q,则四边形 ABPQ

∴四棱矩 ADQA1﹣BCPB1 的体积 V(x)=

=



∴V(X)=



由解析式,知 V(x)的图象为 C. 故选:C. 点评: 本题考查空间相象能力,函数思想,关键是要求理解变量与变量之间的关系.属于 较难题. 一、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 10 10 11. (4 分)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 S30+S10=(2 +1)S20,则数列{an} 的公比 .

考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 专题: 计算题. 10 分析: 把条件变形可得 2 (S30﹣S20)=(S20﹣S10) ,由等比数列的定义和性质可得 10 (S20﹣S10)q =(S20﹣S10) , 由此求得 q 的值. 10 10 解答: 解:设数列{an}的公比为 q,因为 2 S30+S10=(2 +1)S20, 10 10 10 所以,2 (S30﹣S20)=(S20﹣S10) ,由此可得 2 (S20﹣S10)q =(S20﹣S10) ,

2

10

所以,q = 故答案为: .

10

.又因为{an}是正项等比数列,所以 q= .

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和 公式,属于中档题. 12. (4 分)在一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,并且能使正方体在纸盒内任意 转动,则正方体的棱长的最大值为 ? 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 在一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,并且能使正方体在纸盒内任意转 动,说明正方体在正四面体的内切球内,求出内切球的直径,就是正方体的对角线的长,然后 求出正方体的棱长. 解答: 解:设球的半径为 r,由正四面体的体积得: ,所以 r= 设正方体的最大棱长为 a,所以, ,a= ,

故答案为: 点评: 本题是中档题,考查正四面体的内接球的知识,球的内接正方体的棱长的求法,考 查空间想象能力,转化思想,计算能力. 13. (4 分)如图,线段 AB 长度为 2,点 A,B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动,以线 段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD,BC=1,O 为坐标原点,则 [1,3]. 的取值范围是

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 令∠OAD=θ,由边长为 1,2 的长方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴 上,可得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAB=θ,θ∈ 如图∠DAX= ,由于 AB=2 故 0A=2cosθ,OB=2sinθ, ﹣θ)=2cosθ+sinθ,

﹣θ,BC=1,故 xD=2cosθ+cos(

yD=sin( 故

﹣θ)=cosθ

=(2cosθ+sinθ,cosθ) =(sinθ,cosθ+2sinθ) ,

同理可求得 C(sinθ,cosθ+2sinθ) ,即 ∴ ∵θ∈

=(2cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+2sinθ)=1+2sin2θ, ,∴2θ∈[0,π] 的最大值是 3,最小值是 1,

∵sin2θ∈[0,1],∴ 故答案是:[1,3].

点评: 本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐 标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标. 14. (4 分)定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|,若对任意的 x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1) ﹣f(x2)|≤2,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|,由 f(﹣x)=﹣f(x) ,即﹣x|﹣x+m|=﹣x|x+m|, 则|x﹣m|=|x+m|对于 x∈R 都成立,可得 m=0.因此 f(x)=x|x|.由于对任意的 x1,x2∈[1,1+a], 2 2 总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,且 f(x)=x .可得(1+a) ﹣1≤2,a>0.解出即可. 解答: 解:∵定义域为 R 的奇函数 f(x)=x|x+m|, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即﹣x|﹣x+m|=﹣x|x+m|,则|x﹣m|=|x+m|对于 x∈R 都成立, ∴m=0. ∴f(x)=x|x|. 2 ∵对任意的 x1,x2∈[1,1+a],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,且 f(x)=x . 2 ∴(1+a) ﹣1≤2, 2 化为 a +2a﹣2≤0,a>0, , ∴实数 a 的取值范围是: . 故答案为: . 点评: 本题考查了函数奇偶性、二次函数的单调性、含绝对值函数的性质,属于难题.

15. (4 分)若 a≥0,b≥0,且当 所形成的平面区域的面积等于 1.

时,恒有 ax+by≤1,则以 a、b 为坐标的点 P(a,b)

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 先依据不等式组 ,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表

示的平面区域,再利用求最优解的方法,结合题中条件:“恒有 ax+by≤1”得出关于 a,b 的不 等关系,最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可. 解答: 解:令 z=ax+by, ∵ax+by≤1 恒成立, 即函数 z=ax+by 在可行域要求的条件下,zmax≤1 恒成立. 当直线 ax+by﹣z=0 过点(1,0)或点(0,1)时,0≤a≤1,0≤b≤1. 点 P(a,b)形成的图形是边长为 1 的正方形. ∴所求的面积 S=1 =1. 故答案为:1
2

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出 可行域、求出关键点、定出最优解. 16. (4 分)已知△ ABC 的三个顶点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(3,2) ,其外接圆为圆 H.对 于线段 BH 上的任意一点 P,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M,N,使得点 M 是 线段 PN 的中点,则圆 C 的半径 r 的取值范围是( , ) .

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设 P 的坐标,可得 M 的坐标,代入圆的方程,可得以(3,2)为圆心,r 为半径的 圆与以(6﹣m,4﹣n)为圆心,2r 为半径的圆有公共点,由此求得⊙C 的半径 r 的取值范围.

解答: 解:由题意,A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(3,2) , ∴AB 的垂直平分线是 x=0, ∵BC:y=x﹣1,BC 的中点是(2,1) , ∴BC 的垂直平分线是 y=﹣x+3. 由 ,得到圆心 H 是(0,3) ,∴r= ,

则直线 BH 的方程为 3x+y﹣3=0,设 P(m,n) (0≤m≤1) ,N(x,y) . 因为点 M 是点 P,N 的中点,所以 M( , ) ,

又 M,N 都在半径为 r 的圆 C 上,所以







因为上式是关于 x,y 的方程组有解, 即以(3,2)为圆心,r 为半径的圆, 与以(6﹣m,4﹣n)为圆心,2r 为半径的圆有公共点, 所以(2r﹣r) <(3﹣6+m) +(2﹣4+n) <(r+2r) , 又 3m+n﹣3=0, 所以 r <10m ﹣12m+10<9r 对任意 m∈[0,1]成立. 而 f(m)=10m ﹣12m+10 在[0,1]上的值域为[ 又线段 BH 与圆 C 无公共点, 所以(m﹣3) +(3﹣3m﹣2) >r 对任意 m∈[0,1]成立,即 r < 10m ﹣12m+10<9r 对任意 m∈[0,1]成立,则有 r 故圆 C 的半径 r 的取值范围为( 故答案为: ( , ) . , ) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,10],





点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查解不等式,考查学生分析解决 问题的能力,有难度. 17. (4 分)设函数 f(x) ,g(x)满足下列条件: (1)f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=1. (2) * 对任意实数 x1,x2 都有 f(x1)?f(x2)+g(x1)?g(x2)=g(x1﹣x2) ,则当 n>2,n∈N 时, n n [f(x)] +[g(x)] 的最大值为 1. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 由题意,令 x2=0 得 g(x1)=0 或 g(0)=1,再令 x1=﹣x2=1 得 g(0)=1;从而令 2 2 x1=x2 得 f (x1)+g (x1)=1,从而求最大值. 解答: 解:由题意,令 x2=0 得, f(x1)?f(0)+g(x1)?g(0)=g(x1) , 即 g(x1)?g(0)=g(x1) , 故 g(x1)=0 或 g(0)=1; 令 x1=﹣x2=1; 则 f(1)?f(﹣1)+g(1)?g(﹣1)=g(2) , 即﹣1+g(1)?g(﹣1)=g(2) , 故 g(x1)=0 不成立, 故 g(0)=1; 令 x1=x2 得, 2 2 f (x1)+g (x1)=1, n n 故[f(x)] +[g(x)] 的最大值为 1; 故答案为:1. 点评: 本题考查了抽象函数的应用,注意特殊值的应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)设△ ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数 列,且 .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 x∈[0,π) ,求函数 f(x)=sin(x﹣B)+sinx 的值域. 考点: 解三角形;三角函数的最值. 专题: 综合题;解三角形. 2 2 分析: (Ⅰ)根据 a、b、c 成等比数列,可得 b =ac,由正弦定理得 sin B=sinAsinC,利用 ,可得 ,根据 b 不是△ ABC 的最大边,即可求角 B 的大小; ,从而可得

(Ⅱ)先化简函数,再根据 x∈[0,π) ,可得 ,故可求函数 f(x)的值域.

解答: 解: (Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,所以 b =ac,所以由正弦定理得 sin B=sinAsinC. 又 ,所以 . 或 . .…(6 分) .

2

2

因为 sinB>0,则 因为 B∈(0,π) ,所以 B=
2

又 b =ac,则 b≤a 或 b≤c,即 b 不是△ ABC 的最大边,故 (Ⅱ)因为 ,则

= ∵x∈[0,π) ,∴ 故函数 f(x)的值域是

.…(10 分) ,∴ .…(14 分) .

点评: 本题考查三角函数的化简,考查正弦定理的运用,考查三角函数的性质,正确化简 函数是关键.

19. (14 分) 如图, DC 垂直平面 ABC, ∠BAC=90°, AC= BC=kCD, 点 E 在 BD 上, 且 BE=3ED. (1)求证:AE⊥BC; (2)若二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 120°,求 k 的值.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)过 E 点作 EF⊥BC 与点 F,连 AF,由已知条件得 EF∥DC,从而 EF⊥平面 ABC,进而 EF⊥BC,又 AF⊥BC,由此能证明 BC⊥AE. (2)法一(空间向量法)以 F 为原点,FA 为 x 轴,FC 为 y 轴,FE 为 z 轴,建立空间直角坐 标系,利用向量法能求出 k 的值. 法二: (综合几何法)过 F 作 FG⊥AE 于 G 点,连 GC,GB,由 AE⊥BC,得 AE⊥平面 BCG, 所以 AE⊥CG,AE⊥BG,所以∠BGC 为 B﹣AE﹣C 的平面角,由此能求出能求出 k 的值. 解答: (Ⅰ)证明:过 E 点作 EF⊥BC 与点 F, 连 AF,由已知条件得 EF∥DC 所以 EF⊥平面 ABC,又 BC?平面 ABC,所以 EF⊥BC; 又∠BAC=90°, 所以 所以 , ,所以∠ABF=30°, , ,

,所以△ BAF 与△ BCA 相似,所以∠BFA=90°,即 AF⊥BC,

又 AF∩EF=F,于是 BC⊥平面 AEF,又 AE?平面 AEF, 所以 BC⊥AE. (2)解法一(空间向量法) 如图,以 F 为原点,FA 为 x 轴,FC 为 y 轴,FE 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,

则 于是 =(﹣

, ,0, ) , =(﹣

, , ,0) , =(

, ,﹣ ,0) ,



设平面 ABE 的法向量为

=(x1,y1,z1) ,



,令 z1=1,得

=(

,﹣

,1) .

设平面 ACE 的法向量为

=(x2,y2,z2) ,



,令 z2=1,得

=(

) ,

,解得:



解法二: (综合几何法) 过 F 作 FG⊥AE 于 G 点,连 GC,GB, 由 AE⊥BC,得 AE⊥平面 BCG,所以 AE⊥CG,AE⊥BG, 所以∠BGC 为 B﹣AE﹣C 的平面角, 设 AC=1,则 ,所以 ,

于是





于是由

,得到



点评: 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的 数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 20. (14 分)已知数列{an}中,a1=1,且 an= (1)求数列 的通项公式;
*

an﹣1+2n?3

n﹣2

(n≥2,n∈N ) .

*

(2)令 bn=

(n∈N ) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 S

与 n 的大小,并证明.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an= an﹣1+2n?3
n﹣2

,可得

,利用“累加求和”与等

比数列的前 n 项和公式即可得出; (2)bn= = ,可得 = …+ ,记函数 f(n)= ﹣n= …+ ﹣n,可

得 f(n+1)﹣f(n)<0,即可得出. 解答: 解: (1)由 an= an﹣1+2n?3
n﹣2

,可得





=

+

+…+

+

=2×3

n﹣2

+2×3

n﹣3

+…+2×3

1﹣1

+1=

+1=3

n﹣1



又 a1=1, 故 .

(II)bn= 记函数 f(n)=

= ,则 ﹣n=

= …+

…+



﹣n,

则 f(n+1)﹣f(n)= ∴f(n+1)<f(n) . 由于 f(1)= f(2)= f(3)= =

+…+

﹣1<

﹣1<0,

,此时 >0,此时 ;



+…+ ﹣3<0,此时

<3; . .

由于 f(n+1)<f(n) ,故 n≥3 时,f(n)≤f(3)<0,此时 综上所述:当 n=1,2 时, ;当 n≥3(n∈N )时,
*

点评: 本题考查了“累加求和”方法、数列的单调性、等比数列的前 n 项和公式,考查了推理 能力与计算能力,属于难题.

21. (16 分)设椭圆 C:

的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交

于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°, (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程.



考点: 椭圆的简单性质;直线的倾斜角;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)点斜式设出直线 l 的方程,代入椭圆,得到 A、B 的纵坐标,再由 ,

求出离心率. (2)利用弦长公式和离心率的值,求出椭圆的长半轴、短半轴的值,从而写出标准方程. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意知 y1>0,y2<0. (1)直线 l 的方程为 ,其中 .

联立





解得





因为

,所以﹣y1=2y2.即﹣ . (6 分)

=2



解得离心率

(2)因为

,∴

?







,所以

,解得 a=3,



故椭圆 C 的方程为

. (12 分)

点评: 本题考查椭圆的性质标和准方程,以及直线和圆锥曲线的位置关系,准确进行式子 的变形和求值,是 解题的难点,属于中档题. 22. (16 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+bx (Ⅰ)当 a=2,且 f(x)是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)当 b=﹣2,且对任意 a∈(﹣2,4) ,关于 x 的程 f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根, 求实数 t 的取值范围. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)去绝对值号得 R 上递增等价于这两段函数分别递增,从而解得; ,f(x)在

(Ⅱ) 函数的单调区间,从而求实数 t 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ) 因为 f(x)连续, 所以 f(x)在 R 上递增等价于这两段函数分别递增,

,tf(a)=﹣2ta,讨论 a 以确定



所以



解得,b≥2; (Ⅱ) ,tf(a)=﹣2ta,

当 2≤a≤4 时, f(x)在(﹣∞,



≤a, )上递增,在( )= ﹣a+1, ,a)上递减,在(a,+∞)上递增,

所以 f 极大(x)=f(

f 极小(x)=f(a)=﹣2a,

所以

对 2≤a≤4 恒成立,

解得:0<t<1, 当﹣2<a<2 时, f(x)在(﹣∞, 所以 f 极大(x)=f( f 极小(x)=f( 所以﹣ )=﹣ <a< , , )上递减,在( ,+∞)上递增,

)上递增,在( )= ﹣a+1,

﹣a﹣1, ﹣a+1 对﹣2<a<2 恒成立,

﹣a﹣1<﹣2ta<

解得:0≤t≤1, 综上所述,0<t<1. 点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了数形结合的数学思想,属于难题.


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