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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 坐标系与参数方程 计时双基练77 参数方程 理 北师大版选修4-4

时间:2016-07-01

计时双基练七十七
1.下列叙述正确的个数为( (1)参数方程?
? ?x=t+1, ?y=2-t ?

参数方程

)

(t≥1)表示的曲线为直线;

(2)直线?

? ?x=-2+tcos 30°, ?y=1+tsin 150° ? ?x=2cos θ , ? ?y=5sin θ ?

(t 为参数)的倾斜角 α 为 30°;

(3)参数方程? A.0 C.2 解析

π θ 为参数且 θ ∈0, 表示的曲线为椭圆。 2 B.1 D.3

对于(1),表示的是射线;对于(2),方程可化为?

? ?x=-2+tcos 30°, ?y=1+tsin 30°, ?

表示

经过点(-2,1),倾斜角为 30°的直线;对于(3),表示的是椭圆的一部分,故只有(2)正确。 答案 B 2.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标 系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是?
? ?x=t+1, ?y=t-3, ?

(t 为参数),圆 C 的极坐

标方程是 ρ =4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 C. 2 B.2 14 D.2 2

)

解析 由题意可得直线和圆的方程分别为 x-y-4=0,x +y =4x, 所以圆心 C(2,0),半径 r=2, 圆心(2,0)到直线 l 的距离 d= 2,由半径,圆心距,半弦长构成直角三角形,解得弦 长为 2 2。 答案 D 3.已知动直线 l 平分圆 C:(x-2) +(y-1) =1,则直线 l 与圆 O:? (θ 为参数)的位置关系是( A.相交 C.相离
2 2 2 2

2

2

?x=3cos θ , ? ? ?y=3sin θ ,

) B.相切 D.过圆心

解析 动直线 l 平分圆 C:(x-2) +(y-1) =1,即圆心(2,1)在直线 l 上,又圆 O:
?x=3cos θ , ? ? ? ?y=3sin θ

的普通方程为 x +y =9,且 2 +1 <9,故点(2,1)在圆 O 内,则直线 l 与
1

2

2

2

2

圆 O 的位置关系是相交。 答案 A

?x= t, ? 4.已知曲线 C1 的参数方程是? 3t y= , ? 3 ?

(t 为参数)。以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________。

?x= t, ? 解析 由曲线 C1 的参数方程? 3t y= , ? 3 ?
曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2, 可得方程 x +y =4,② 由①②联立解得? 答案 ( 3,1) 5.若点 P(x,y)在曲线? ________。 解析 由?
? ?x=cos θ , ?y=2+sin θ ?
2 2 2 2

得 y=

3 x(x≥0),① 3

?x= 3, ?y=1,

故 C1 与 C2 交点的直角坐标为( 3,1)。

?x=cos θ , ? ? ?y=2+sin θ ,

(θ 为参数,θ ∈R)上,则 的取值范围是

y x

消去参数 θ 得 x +(y-2) =1,① 设 =k,则 y=kx, 代入①式并化简得(1+k )x -4kx+3=0,此方程有实数解, ∴Δ =16k -12(1+k )≥0,解得 k≤- 3或 k≥ 3。 答案 (-∞,- 3]∪[ 3,+∞) 1 x=1+ t, ? 2 ? 6.已知 P ,P 是直线? 3 ? ?y=-2+ 2 t,
1 2 2 2 2 2

y x

(t 为参数)上的两点,它们所对应的参数

分别为 t1,t2,则线段 P1P2 的中点到点 P(1,-2)的距离是________。 解析 由 t 的几何意义可知,线段 P1P2 的中点对应的参数为 =0。
2

t1+t2
2

,P 对应的参数为 t

|t1+t2| ∴线段 P1P2 的中点到点 P 的距离为 。 2 答案 |t1+t2| 2

1 ? ?x=3+2t, 7.(2015·陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 3 y= t , ? ? 2

(t

为参数), 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ⊙C 的极坐标方程为 ρ =2 3sin θ 。 (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标。 解 (1)由 ρ =2 3sin θ ,得 ρ =2 3ρ sin θ ,
2 2 2 2 2

从而有 x +y =2 3y,所以 x +(y- 3) =3。 3 ? ? 1 (2)设 P?3+ t, t?, 2 2 ? ? 又 C(0, 3), 则|PC|=

? ?3+1t?2+? 3 ? 2 ? ? t- 3?2= t2+12, ? ? ?2 ?

故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时 P 点的直角坐标为(3,0)。 8.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? π 3
? ?x=4cos θ , ?y=4sin θ , ?

(θ 为参数),直线

l 经过点 P(2,2),倾斜角 α = 。
(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|·|PB|的值。 解 (1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x +y =16。
2 2

π 因为直线 l 过点 P(2,2),倾斜角 α = , 3 π ? ?x=2+tcos 3 , 所以直线 l 的参数方程为? π ? ?y=2+tsin 3 ,

(t 为参数),

3

1 x=2+ t, ? 2 ? 即? 3 ? ?y=2+ 2 t,

(t 为参数)。

1 x=2+ t, ? 2 ? (2)把直线 l 的参数方程? 3 ? ?y=2+ 2 t, 代入圆 C:x +y =16 中 3 ?2 ? 1 ?2 ? 得?2+ t? +?2+ t? =16, ? 2 ? ? 2 ?
2 2

(t 为参数),

整理得:t +2( 3+1)t-8=0,设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2=-8, 即|PA|·|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=8。 故|PA|·|PB|的值为 8。 9 . (2015· 河 南 郑 州 二 模 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 M 的 参 数 方 程 为

2

?x= 3cos α +sin α , ? ?y=2 3sin α cos α -2sin2α +2,

(α 为参数), 若以直角坐标系中的原点 O 为极点,

π? 2 ? x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 N 的极坐标方程为 ρ sin?θ + ?= t(t 为参数)。

?

4?

2

(1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程; (2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围。 解 (1)由 x= 3cos α +sin α ,得 x =( 3cos α +sin α ) =2cos α +2 3sin
2 2 2

α cos α +1, 所以曲线 M 可化为 y=x -1,x∈[-2,2], π? 2 2 2 2 ? 由 ρ sin?θ + ?= t,得 ρ sin θ + ρ cos θ = t, 4 2 2 2 ? ? 2 所以 ρ sin θ +ρ cos θ =t, 所以曲线 N 可化为 x+y=t。 (2)若曲线 M,N 有公共点,则当直线 N 过点(2,3)时满足要求,此时 t=5,并且向左下 方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点, 联立?
?x+y=t, ? ?y=x -1, ?
2 2

得 x +x-1-t=0,

2

5 由 Δ =1+4(1+t)=0,解得 t=- 。 4

4

5 综上可求得 t 的取值范围是- ≤t≤5。 4 10 . (2016·河南 省八市重点高中 高三质量检测试题 ) 已知曲 线 C 的参数方程 为
? ?x=6cosθ ? ?y=4sinθ ?



为参数 ) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上的点按坐标变换

1 ? ?x′=3x ? 1 ? ?y′=4y

得到曲线 C′。

(1)求曲线 C′的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C′上,点 D(1,3)。当点 A 在曲线 C′上运动时,求 AD 中点 P 的轨迹 方程。 解 本题主要考查参数方程与普通方程的互化。 1 x′= x ? ? 3 代入? 1 y′= y ? ? 4

(1) 将 ?

?x=6cos θ ? ?y=4sin θ ?

, 得 曲 线 C′ 的 参 数 方 程 为 v

?x′=2cosθ , ? ? ?y′=sin θ , ?

∴曲线 C′的普通方程为 +y =1。 4 (2)设点 P(x,y),A(x0,y0),又 D(1,3),且 AD 的中点为 P, ∴?
? ?x0=2x-1 ?y0=2y-3 ?

x2

2



又点 A 在曲线 C′上,∴代入 C′的普通方程 +y =1,得(2x-1) +4(2y-3) =4, 4 ∴动点 P 的轨迹方程为(2x-1) +4(2y-3) =4。
2 2

x2

2

2

2

5


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