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2.2.1等差数列定义及通项公式[2]

时间:2012-04-15


第1课时 等差数列的定义及通项公式

1.通过实例,理解等差数列的概念. 通过实例,理解等差数列的概念. 通过实例 2.探索并掌握等差数列的通项公式. .探索并掌握等差数列的通项公式. 3.掌握等差数列的简单应用. .掌握等差数列的简单应用

1.等差数列的定义 等差数列的定义 如果一个数列从第二项起, 如果一个数列从第二项起, 从第二项起 每一项与它前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列, 等差数列的公差, 表示. 等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 公差

2.等差数列的通项公式 . 如果等差数列{a 的首项为 如果等差数列 n}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通 , 项公式是 an=a1+(n-1)d. - 3.等差中项 . 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差 , , 成等差数列, 中项. 中项.

1.正确理解等差数列的定义 正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 注意定义中“ 项起” 注意定义中 义,其一,第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一 项前面没有项,无法与后续条件中“ 其一, 项的差”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量, 项的差”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差. 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.

(2)注意定义中“ 每一项与它的前一项的差 ” 这一运算 注意定义中“每一项与它的前一项的差” 注意定义中 要求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 要求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序, 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求, 注意定义中的 同一常数”这一要求, 否则这个数列 注意定义中 不能称为等差数列. 不能称为等差数列.

2.怎样认识等差数列通项公式 . (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法. 确定 是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据 an,a1,n,d 中任何三个量可求 由方程思想, 由方程思想 , 解另一个量,即知三求一. 解另一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为 an=dn+(a1-d),可把 an 看作自 通项公式可变形为 + , 的一次函数. 变量为 n 的一次函数.

等差数列的通项公式 在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元 在等差数列 中 有关等差数列的问题, 如果条件与结论间的联系不明显, 素; 有关等差数列的问题, 如果条件与结论间的联系不明显, 的关系列方程组求解,但是, 则均可化成有关 a1、d 的关系列方程组求解,但是,要注意 公式的变形及整体计算,以减少计算量. 公式的变形及整体计算,以减少计算量.

在等差数列{a 中 例 1 在等差数列 n}中,已知 a3=7,a5=11,求 a8. , ,

[分析 分析] 分析

已知等差数列中的某两项求另外项, 已知等差数列中的某两项求另外项,可利用待

定系数法求出 an,由 an 求另外一项. 求另外一项.

[解] 解

设数列{a 的公差为 , 设数列 n}的公差为 d,由题意知
?a1=3 ? ,解得? ?d=2 ? =

?a1+2d=7 = ? ? ?a1+4d=11 = ?

.

∴an=3+(n-1)×2=2n+1, + - × = + , ∴a8=2×8+1=17. × + =

变式训练 1 在等差数列{an}中,已知 a5=11,an=1,d=- ,求 在等差数列 中 , , =-2, =- n.

[解] 解

?a +4d=11 = ? 1 由? ?a1+(n-1)·d=1 - ) = ?

?a =19 ? 1 ,解得? ?n=10 ? =

.

等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种: 等差数列的判定方法有以下二种: (1)定义法:n+1-an=d(常数 ∈N*)?{an}为等差数列; 定义法: 常数)(n∈ ? 为等差数列; 定义法 a 常数 为等差数列 (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数 等差中项法: 等差中项法 ∈ ? 为等差数 列. 如果要证明一个数列是等差数列, 必须用定义法或等差 如果要证明一个数列是等差数列, 中项法. 中项法.

例 2 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- 已知数列 满足 , - 1 . = an-2 (1)求证:数列{bn}是等差数列; 求证:数列 是等差数列; 求证 是等差数列 (2)求数列 n}的通项公式. 求数列{b 的通项公式 的通项公式. 求数列

4 an-1

(n≥2),bn ≥ ,

[分析 分析] 分析

欲证数列{b 是等差数列 是等差数列, 欲证数列 n}是等差数列,根据等差数列的定

1 1 是常数, (n∈N*)为常 义只要证 bn+1-bn 是常数,即证 - ∈ 为常 an+1-2 an-2 数,而数列{an}的通项公式可以利用 求得. 的通项公式可以利用(1)求得 而数列 的通项公式可以利用 求得.

(1)[证明 ∵an=4- 证明] (n≥2), 证明 - ≥ , an-1 ( ) 4 2(an-2) ∴an+1-2=2-a = a = - , n n 1 an 1 1 (n≥1). ∴ = = + ≥ . an+1-2 2(an-2) 2 an-2 ( ) 1 1 1 故 - =2(n≥1), ≥ , an+1-2 an-2 1 是等差数列. 即 bn+1-bn=2.∴数列 n}是等差数列. ∴数列{b 是等差数列

4

(2)[解] 解

1 ∵{ }是等差数列, 是等差数列, 是等差数列 an-2

1 1 1 n ∴ = +(n-1)·2=2 , - an-2 a1-2 2 2 ∴an-2=n,∴an=2+n. = +

[评析 评析] 评析

的结构,将条件变形, 根据 bn 的结构,将条件变形,然后利用定义进

1 行证明.在求{a 通项公式时 要用到{ 通项公式时, }是等差数列, 是等差数列, 行证明.在求 n}通项公式时,要用到 是等差数列 an-2 1 先求{ }的通项,再求 n}的通项公式. 的通项, 的通项公式. 先求 的通项 再求{a 的通项公式 an-2

变式训练 2 2an 已知数列{a , 已知数列 n},满足 a1=2,an+1= , , an+2 1 (1)数列 a }是否为等差数列?说明理由; 数列{ 是否为等差数列 说明理由; 是否为等差数列? 数列 n (2)求 an. 求

[解] 解

1 (1)数列 a }是等差数列,理由如下: 数列{ 是等差数列 理由如下: 是等差数列, 数列 n

2an ∵a1=2,an+1= , , an+2 an+2 1 1 1 1 1 ∴ = 2a =2+a ,∴ -a =2, an+1 an+1 n n n 1 1 1 1 1 即{a }是首项为a =2,公差为 d=2的等差数列. 是首项为 = 的等差数列. n 1

1 1 n (2)由上述可知a = +(n-1)d= , 由上述可知 - =2 a1 n 2 ∴an=n.

等差中项问题 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 可设出首 列方程组求解, 也可采用对称的设法, 项 a1 和公差 d 列方程组求解, 也可采用对称的设法, 三个数 时,设 a-d,a,a+d;四个数时,设 a-3d,a-d,a+d, - , , + ;四个数时, - , - , + , a+3d.利用和为定值.先求出其中某个未知量. + 利用和为定值 先求出其中某个未知量. 利用和为定值.

例 3 成等差数列的四个数之和为 26,第二个数和第三 , 个数之积为 40,求这四个数. ,求这四个数.

[分析 分析] 分析

已知四个数成等差数列,有多种设法,但如果 已知四个数成等差数列,有多种设法,

四个数的和已知, 四个数的和已知,常常设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d 更 - , - , + , + 简单,再通过联立方程组求解. 简单,再通过联立方程组求解.

[解] 解

设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 - , - , + , + ,

?(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26,① - ) - ) + ) + ) , ? )(a+ ) - )( ?(a-d)( +d)=40. ②

13 3 代入② 由①,得 a= 2 .代入②,得 d=±2. = 代入 = ∴四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

[评析 就本题而言, 评析] 就本题而言, 若用两个基本量首项和公差表示, 评析 若用两个基本量首项和公差表示, 建立方程组求解,计算量大,容易出错.通过巧妙地设解, 建立方程组求解,计算量大,容易出错.通过巧妙地设解, 会使计算量明显降低,达到快速解题的目的.一般地, 会使计算量明显降低,达到快速解题的目的.一般地,已知 三个数成等差数列且和已知, 三个数成等差数列且和已知,可设 a-d,a,a+d.四个数成 - , , + 四个数成 等差数列且和已知,可设 a-3d,a-d,a+d,a+3d.同样, 等差数列且和已知, - , - , + , + 同样, 同样 若奇数个数成等差数列且和为定值时, 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为 a- - d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中 , , + ;若偶数个数成等差数列且和为定值时, a+ , 间两项为 a-d, +d, - , 其余各项再根据等差数列的定义进行 对称设元. 对称设元.

变式训练 3 设 x 是 a 与 b 的等差中项,2 是 a2 与-b2 的等差中项, 的等差中项, x 的等差中项, 则 a、b 的关系是 、 的关系是( A.a=- . =- =-b C.a=- 或 a=3b . =- =-b = ) B.a=3b . = D.a=b=0 . = =

[解析 由等差中项的定义知: 解析] 由等差中项的定义知: 解析 a+b 2 a2-b2 + x= = 2 ,x = 2 , a2-b2 a+b 2 + ) ,即 a2-2ab-3b2=0. ∴ =( - 2 2 =-b 故 a=- 或 a=3b. =- =
[答案 C 答案] 答案

教师备选例题 某公司经销一种数码产品, 例 4 某公司经销一种数码产品,第 1 年可获利 200 万 年起,由于市场竞争等方面的原因, 元.从第 2 年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年 万元,按照这一规律, 比上一年减少 20 万元,按照这一规律,如果公司不开发新 产品,也不调整经营策略,从哪一年起, 产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产 整经营策略 品将亏损? 品将亏损?

[分析 分析] 分析

万元, 由题设知第 1 年获利 200 万元, 2 年获利 180 第

万元, 3 年获利 160 万元, , 万元, 第 万元, 每年获利构成等差数列{an} … 每年获利构成等差数列 该公司会出现亏损. 且当 an<0 时,该公司会出现亏损.

[解] 解

年起, 设从第 1 年起,第 n 年的利润为 an,则 a1=200, ,

an-an-1=- =-20(n≥2,n∈N*),所以每年的利润 an 可构成一 ≥ ,∈ , 个等差数列{a , =-20, 个等差数列 n},且公差 d=- , =- ∴an=a1+(n-1)·d=200+(n-1)(-20)=220-20n. - = + - - = - 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由 an= ,则该公司经销这一产品将亏损, 220-20n<0,得 n>11. - , 年起,该公司经销此产品将亏损. 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损.

[评析 评析] 评析

在实际问题中, 在实际问题中,若涉及到一组与顺序有关的数

的问题,可考虑利用数列方法解决. 的问题,可考虑利用数列方法解决.若这组数依次成直线上 升或递减,则可考虑利用等差数列方法解决. 升或递减,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方 法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题. 法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.

1.已知等差数列 n}的通项公式 an=3-2n, 已知等差数列{a 的通项公式 已知等差数列 - , 则它的公差 为( ) A.2 . C.- .-2 .- B.3 . D.- .-3 .-

[答案 C 答案] 答案

2.△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B . 、 、 成等差数列, 等于( 等于 ) B.60° . D.120° .

A.30° . C.90° .

[解析 ∵A+C=2B,又 A+B+C=180°,∴B=60°. 解析] 解析 + = , + + = , =
[答案 B 答案] 答案

3. . 数列{an}是首项为 2, 的等差数列, 数列{b 数列 是首项为 , 公差为 3 的等差数列, 数列 n} 是首项为-2,公差为 4 的等差数列.若 an=bn,则 n 的值 是首项为- , 的等差数列. 是( ) A.4 . B.5 . C.6 . D.7 .

[解析 2+3(n-1)=- +4(n-1),∴n=5. 解析] + - =- =-2+ - , 解析 =
[答案 答案] 答案 B

4.首项是 18,公差为 3 的等差数列的第 . 的等差数列的第________项开 , 项开 始大于 100.
[解析 由题意 an=18+3(n-1)=3n+15, 解析] 解析 + - = + , 1 由 3n+15>100 得 n>28 . + 3 ∵n∈N*, ∈

∴n=29,即从 29 项开始大于 100. = ,
[答案 29 答案] 答案

1 1 1 5.若 . , , 成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列,求证: b+c c+a a+b + + + 成等差数列. 成等差数列.

1 1 2 [证明 由已知得 证明] . 证明 + = b+c a+b a+c + + + 2b+a+c + + 2 ∴ = , )(a+ ) (b+c)( +b) a+c + )( + ∴(2b+a+c)(a+c)=2(b+c)(a+b), + + + = + + , ∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2 成等差数列. ∴ 成等差数列

一、选择题 1.已知数列 3,9,15,…,3(2n-1),…那么 81 是它的 . , - , 第几项( 第几项 A.12 . ) B.13 . C.14 . D.15 .

[解析 an=3(2n-1)=6n-3.由 6n-3=81 得 n=14. 解析] 解析 - = - 由 - = =
[答案 C 答案] 答案

2.在等差数列{an}中,a2=- ,a6=a4+6,则 a1 等于 .在等差数列 =-5, 中 , ( ) A.- .-9 .- B.- .-8 .-

C.- .-7 D.- .-4 .- .- [解析 由 a6=a4+6,得 a6-a4=6=2d,∴d=3. 解析] 解析 , = , =

=-5, =-8. 又 a2=a1+d=- ,∴a1=- =-
[答案 B 答案] 答案

3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 .在数列 中 , ( ) A.49 . C.51 . B.50 . D.52 .

[解析 解析] 解析

1 由 2an+1=2an+1,得 an+1-an=2, ,

1 ∴{an}是首项 a1=2,公差 d=2的等差数列. 是首项 , = 的等差数列. n+3 + 1 ∴an=2+2(n-1)= 2 , + - = 101+3 + ∴a101= 2 =52. [答案 D 答案] 答案

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 . ,公差为整数的等差数列, 项均为正数,第 7 项起为负数,则它的公差是( 项均为正数, 项起为负数,则它的公差是 A.- .-2 .- C.- .-4 .- B.- .-3 .- D.- .-5 .- )

[解析 解析] 解析

设该数列的公差为 d,则由题设条件知:a6=a1 ,则由题设条件知:

+5d>0,a7=a1+6d<0. , 23 ? - ?d>- 5 又∵a1=23,∴? , ?d<-23 -6 ? 23 23 ,即- 5 <d<- 6 . -

是整数, =- =-4.故选 又∵d 是整数,∴d=- 故选 C.

[答案 答案] 答案

C

二、填空题 5.若 x≠y,数列 x,a1,a2,y 和 x,b1,b2,b3,y 各 . ≠ , , , a1-a2 自成等差数列, 自成等差数列,则 =________. b1-b2 x-y x-y a 1- a 2 4 - - [解析 由于 a1-a2= 解析] b 解析 , 1-b2= , 则 = . 3 4 b 1- b 2 3

4 [答案 答案] 答案 3

6.已知直线上的一列点 P1(1,a1)、P2(2,a2)、…Pn(n, . , 、 , 、 , an)、…,且 a1=-2,a2=- ,则数列 n}的通项公式 an 、 =- , =-1.2,则数列{a 的通项公式 =________.
[解析 由题意,知数列 n}成等差数列,由 a1=- , 解析] 由题意,知数列{a 成等差数列 成等差数列, =-2, 解析 a2=- =-1.2 得公差 d=0.8,则 an=a1+(n-1)d=0.8n-2.8. = , - = -
[答案 0.8n-2.8 答案] 答案 -

7.等差数列的首项为 2,从第 10 项起开始比 10 大,则 . , 公差的取值范围是________. 公差的取值范围是 .
?2+8d≤10 ? + ≤ ? ?2+9d>10 ? +

[解析 解析] 解析

8 ,解得 <d≤1. ≤ 9

8 [答案 ( ,1] 答案] 答案 9

三、解答题 5 8.在数列 n}中,an=lg 2n+1,判断该数列是否为等 .在数列{a 中 3 差数列? 差数列? 5 5 [解 [解] an+1-an=lg 2n+3-lg 2n+1= 3 3

32n+1 5 1 lg( 2n+1 2× )=lg =-lg3(常数 . 常数). 常数 5 = 3=- 3 ·3


是等差数列. ∴{an}是等差数列. 是等差数列

9.等差数列的 a1=- ,公差 d 为整数,且从第 10 项 . =-24, 为整数, 开始为正数, 和通项公式. 开始为正数,求 d 和通项公式. [解] 设数列的通项公式为 an=-24+(n-1)·d 解 =- + -
?a10>0 ? 则由题意知? ?a9≤0 ? ?-24+9d>0 + ? , ∴? ?-24+8d≤0 + ≤ ?



24 ∴ 9 <d≤3.又 d 为整数, ≤ 又 为整数,

∴d=3. =

=-24+ - = - ∴an=a1+(n-1)·d=- +3(n-1)=3n-27. - =- ∴通项公式为 an=3n-27. -

10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始, .如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始, 每一项与它前一项的平方差是相同的常数, 则称该数列为等 每一项与它前一项的平方差是相同的常数, 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)设数列 n}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an- 设数列{a 是公方差为 的等方差数列, 设数列 的关系式; ≥ 的关系式 1(n≥2)的关系式; (2)若数列 n}既是等方差数列,又是等差数列,证明该 若数列{a 既是等方差数列 又是等差数列, 既是等方差数列, 若数列 数列为常数列. 数列为常数列.

[解] 解

(1)由等方差数列的定义可知: 2 -a2 -1=p(n≥2). 由等方差数列的定义可知: n n 由等方差数列的定义可知 a ≥ .

(2)解法一:∵{an}是等差数列,设公差为 d,则 an-an 解法一: 是等差数列, 解法一 是等差数列 , 是等方差数列, n =an+1-an=d(n≥2).又{an}是等方差数列,∴a2 -a2 -1= ≥ . 是等方差数列 -1 n a 2 +1- a 2 (n≥2),∴(an + an - 1)(an - an - 1)= (an + 1 + an)(an + 1 - = n n ≥ , an),即 d(an+an-1-an+1-an)=- 2=0,∴d=0,即{an} =-2d , =- , = , 是常数列. 是常数列.

解法二: 是等差数列, 解法二:∵{an}是等差数列,设公差为 d,则 an-an-1 是等差数列 , =d(n≥2),即 an-1=an-d①, ≥ , ① 是等方差数列, 又{an}是等方差数列,设公方差为 p′, 是等方差数列 ′ 则 a2 -a2 -1=p′(n≥2)②, ′ ≥ ② n n ①代入②得,-d2+2dan-p′=0③, 代入② ,- ′ ③ ∴-d2+2dan-1-p′=0(n≥2)④, ′ ≥ ④ 两式相减得 2d(an-an-1)=2d2=0, = , 是常数列. ∴d=0,即{an}是常数列. = , 是常数列


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2.2.1 等差数列的概念及通项公式 课件(人教A版必修5)(1)_数学_高中教育_教育专区。2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式 学习目标 1.理解等差...

高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念与通项公式教案....doc

等差数列的概念通项公式 、教学目标: 1.知识目标:理解等差数列的概念,了解等差数列的通项公式的推导过程及思想,掌握等差数列的通项公 式2.能力目标:培养...

学年高中数学 2.2.1等差数列的概念及通项公式练习 苏教....doc

2.2.1 等差数列的概念及通项公式 1.如果一个数列从第二项起,每一项减去它的

...数列1.2等差数列1.2.1.1等差数列的概念和通项公式课....ppt

高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1.1等差数列的概念和通项公式课件北师大版必修5_高中教育_教育专区。§2 等差数列 2.1 等差数列 第1课时 等差数列的概念...

...(2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式)示范教....doc

使用等差数列的各种表示法, 能灵活运用通项公式等差数列的首项、 公差、 项数、指定的项 、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及...

二阶等差数列及其通项公式.doc

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