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高中数学 空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2013-10-31


第3课时

空间点、直线、平面

之间的位置关系

2014高考导航
考纲展示 1.理解空间直线位置关系的 定义. 2.了解可以作为推理依据的 备考指南 1.本部分重点考查点、线的位置关

系,同时考查逻辑推理能力与空间
想象能力.有时考查应用公理、定 理证明点共线、线共点、线共面的 问题. 2.本部分内容多以填空题的形式考

公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获 得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.

查,有时也出现在解答题中,属低
中档题.
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本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.平面的基本性质及推论

图形

文字语言

符号语言

基本性 质1

如果一条直线上的两点 _______在一个平 面内,那么这条直 线上的所有点都在 这个平面内
经过 不在同一条直线上 _______________ 的三点,有且只有 一个平面 A,B,C三点不共 线?有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
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基本性 质2

图形

文字语言

符号语言

如果不重合的两个
基本 平面有一个公共点, P∈α且P∈β?有且只 那么它们 有一条直线a使α∩β 有且只有一条 _______________过 =a,且P∈a 这个点的公共直线 过一条直线和 直线BC,A∈/ BC?

性质3

推论1

直线外 ________的一点, 有且只有一个平面

有且只有一个平面α,
使BC?α,A∈α
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图形

文字语言

符号语言
直线AB、AC?有

推论2

相交直线 经过两条___________, 有且只有一个平面

且只有一个平面α,
使AB?α,AC?α

推论3

平行直线 经过两条_________,有 且只有一个平面

l1∥l2?有且只有一
个平面α,使l1?α, l2?α
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2.直线与直线的位置关系 图形语言 符号语言 公共点

共 面 直 线

平行 直线 相交 直线 异面 直线

a∥b ________
a∩b=A _________

0 _____个
1 _____个

a,b是异面 直线

0 _____个

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3.异面直线所成的角 (1)定义 设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,

锐角(或直角) b′∥b,把 a′与 b′所成的_________________叫做异面直线 a

?0,π ?. 与 b 所成的角,其范围为: ? 2?
(2)定理

相等. 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角______

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课前热身
1.(教材习题改编)下列命题是真命题的是( A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 )

解析:选D.空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间
中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经 过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确.

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2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b
( ) B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线

解析:选C.由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直 线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为 异面直线相矛盾.

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3.(2011· 高考浙江卷)若直线l不平行于平面α,且l?α,则(

)

A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 解析:选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的

直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.

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4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与B1C1所成
的角为__________. 答案:45° 5.三条直线两两相交,可以确定__________个平面. 答案:1或3

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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 平面的基本性质及应用 例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BC1D 交于点 O,AC、BD 交于点 M,求证:点 C1、O、M 共线.

【证明】

如 图 所 示 , A1A ∥ C1C , 则 A1A 与 C1C可确定平面A1C.

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A1C?平面A1C? ? ??O∈平面A1C 又O∈A1C ? ? 平面BC1D∩直线A1C=O ?O∈平面BC1D

? ? ? ? ?

?O 在平面 A1C 与平面 BC1D 的交线上, AC∩BD=M?M∈平面 BC1D. 又 M∈平面 A1C,所以平面 BC1D∩平面 A1C=C1M, 所以 O∈C1M,即 O、C1、M 三点共线.

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【名师点评】

(1)要证明点共线或线共点的问题,关键

是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在 两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然 后证明另一点也在该直线上.

(2)证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点,
然后再证明这一点在第三条直线上,而证明后者,往往 是利用这点在两个平面的交线上.

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跟踪训练
1.

如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、 CF CG AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且 = = CB CD 2 ,求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 3

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证明:∵E、H 分别是 AB、AD 的中点, 1 ∴由中位线定理知,EH 綊 BD. 2 CF CG 2 又∵ = = , CB CD 3 ∴在△CBD 中,FG∥BD, 2 且 FG= BD. 3 ∴由公理 4 知,EH∥FG, 且 EH<FG. ∴四边形 EFGH 是梯形, EH、FG 为上、下两底.

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∴两腰 EF、GH 所在直线必相交于一点 P. ∵点 P∈直线 EF, EF?平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 同理可得 P∈平面 ADC, ∴点 P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线上. 又∵面 ABC∩面 ADC=AC, ∴点 P∈直线 AC.故 EF、GH、AC 三直线交于一点.

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考点 2 点、线共面问题 例2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别

是棱 AA1、CC1 的中点,求证:D1、E、F、B 共面.

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【证明】

∵D1、E、F三点不共线,

∴D1 、E、F三点确定一平面α,又由题意可知D1E与DA共面 于平面A1D且不平行,故分别延长D1E、DA相交于G,则G∈

直线D1E?平面α, ∴G∈α.

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同理,设直线D1F与DC的延长线交于点H,则H∈平面α.

又∵点G、B、H均在平面AC内,且由题设条件知E为AA1
的中点且AE∥DD1,从而AG=AD=AB, ∴△AGB为等腰直角三角形,∴∠ABG=45°, 同理∠CBH=45°, 又∵∠ABC=90°,从而点B∈α,

∴D1、E、F、B共面.

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【名师点评】

题中是先说明D1、E、F确定一平面,

再说明B在所确定的平面内,也可证明D1E∥BF,从 而说明四点共面.

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跟踪训练 2.

如图所示, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD 1 1 =∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、 2 2 FD 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?
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解:(1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD, 1 可得 GH 綊 AD. 2

1 又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形.

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1 (2)由 BE 綊 AF,G 为 FA 的中点知, 2

BE 綊 FG,

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面.

又 D∈FH,∴C 、D、F、E 四点共面.

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考点 3

空间两直线的位置关系

例3

设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,

不正确的是________.(填序号) ①若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面; ②若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线; ③若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC; ④若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC.

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【解析】

对于①,显然正确.

对于②,假设 AD 与 BC 共面,由①正确得 AC 与 BD 共面, 这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确,

对于③,如图,当 AB=AC,DB=DC,使二面角 A—BC—D 的大小变化时,AD 与 BC 不一定相等,故不正确.

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对于④,如图,取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,则由题设得 BC⊥AE,BC⊥DE. 根据线面垂直的判定定理得 BC⊥平面 ADE,从而 AD⊥BC. 【答案】 ①②④

【名师点评】

空间中直线位置关系的判定主要是异面和

垂直的判定.对于异面直线,可采用定理或反证法,对于 垂直关系,往往利用线面垂直的性质说明.

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跟踪训练 3.

如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论:①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线;③直线 BN 与 MB1 是异面直线;

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④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________ (注:把你认为正确的结论的序号都填上 ).

解析:直线AM与CC1 是异面直线,直线AM与BN也是 异面直线,故①②错误. 答案:③④

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方法感悟 1.考查平面基本性质的常见题型及解法 (1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面问题,关 键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件. (2)证明点或线共面问题,一般有两种途径:①首先由所给 条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线 (或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分 别确定平面,再证两平面重合.

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(3)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定 一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这 些点都在同一条特定直线上. (4)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线 交于一点,再证其他直线经过该点.

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2.判定直线位置关系的方法 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直

的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平
行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质及线面平行的性 质;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.

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名师讲坛精彩呈现
规范解答 异面直线所成角的主观题



(本题满分 14 分)已知 ABCD-A1B1C1D1 是底面边长

为 1 的正四棱柱,高 AA1=2,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积.

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【解】 (1)连接 BD,AB1,B1D1,AD1.1 分 ∵BD∥B1D1, ∴异面直线 BD 与 AB1 所成角为∠AB1D1(或 其补角),

记∠AB1D1=θ? 1 ,3 分 由已知条件得 AB1=AD1= 5,B1D1= 2,

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由已知条件得 AB1=AD1= 5,B1D1= 2, 在△AB1D1 中,由余弦定理得 AB2+B1D2-AD2 10 1 1 1 cosθ= = 10 2· 1 · 1D1 AB B
2 ?6 分

∴异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值为

10 .8 分 10

(2)连接 AC,CB1,CD1,则所求四面体的体积 V=VABCD- A B1C1D1-4VC- B1C1D1
1

1 2 =2-4× = .14 分 3 3

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抓关键

促规范

1 求角先找(或做)角,此为易失分点. 2 将角“放入”一个三角形内,再选适当方法求角.

【名师点评】 在用平移将异面直线所成的空间角转化为 平面角即三角形的内角时, 要说明该角即为两异面直线所 ?0,π ?, 成的角(或其补角).因异面直线所成角的范围为 ? 2? 若通过解三角形得到某异面直线夹角的余弦值为负值, 应 根据异面直线所成角的范围,将其转化为正值.

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知能演练轻松闯关

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