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教育最新K122018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训6古典概型与几何概型文

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小学+初中+高中

专题限时集训(六)

古典概型与几何概型

[建议 A、B 组各用时:45 分钟] [A 组 一、选择题 1.(2017·衡阳二模)同学聚会上,某同学从 A、B、C、D 四首歌中选出两首歌进行表演,则 歌曲 A 未被选取的概率为( A. C. B 1 3 2 3 ) 1 B. 2 5 D. 6 高考达标]

[从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为 AB,AC,AD,BC,BD,CD,

3 1 共 6 个,其中 A 未被选取的结果有 3 个,所以所求概率 P= = .故选 B.] 6 2 2.(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬 手.若从中任选 2 人,则选出的火炬手的编号相连的概率为( A. C. D 3 10 7 10 B. D. 5 8 2 5 )

[由题意得从 5 人中选出 2 人,有 10 种不同的选法,其中满足 2 人编号相连的有

4 2 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共 4 种不同的选法,所以所求概率为 = ,故选 D.] 10 5 1 3.在区间[0,π ]上随机地取一个数 x,则事件“sin x≤ ”发生的概率为( 2 )

【导学号:04024069】 A. C. D 3 4 1 2 B. D. 2 3 1 3

1 ? π ? ? 5π ? [由正弦函数的图象与性质知,当 x∈?0, ?∪? ,π ?时,sin x≤ ,所以所 6? ? 6 2 ? ?

求概率为

?π -0?+?π -5π ? ?6 ? ? 6 ? ? ? ? ? 1
π

= ,故选 D.] 3

小学+初中+高中

小学+初中+高中 4. (2017·莆田一模)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长, 则所取的两 个数使得斜边长不大于 1 的概率是( A. C. B π 8 1 2 ) B. D. π 4 3 4

[任取的两个数记为 x,y,所在区域是正方形 OABC 内部,而符合题意的 x,y 位于

1 2 π ×1 4 π 阴影区域内(不包括 x,y 轴),故所求概率 P= = .] 1×1 4

5.(2017·武汉二模)已知圆 C:x +y =4,直线 l:y=x,则圆 C 上任取一点 A 到直线 l 的距离小于 1 的概率为( A. C. D 3 4 1 2 ) B. D. 2 3 1 3

2

2

[如图所示,设与 y=x 平行的两直线 AD,BF 交圆 C 于点 A,D,B,F,且它们到直

线 y=x 的距离相等,过点 A 作 AE 垂直于直线 y=x,垂足为 E,当点 A 到直线 y=x π π 的距离为 1 时,AE=1,又 CA=2,则∠ACE= ,所以∠ACB=∠FCD= ,所以所求 6 3 2π 3 1 概率 P= = ,故选 D.] 2π 3

二、填空题 6.(2017·乌鲁木齐三模)不透明盒子里装有大小质量完全相同的 2 个黑球,3 个红球,从 盒子中随机摸取 2 个球,颜色相同的概率为________. 2 5 [设黑球编号为 A1,A2,红球编号为 B1,B2,B3,则从盒子中随机摸取 2 个球的情况

小学+初中+高中

小学+初中+高中 有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2), (B1,B3),(B2,B3),共 10 种,其中颜色相同的有(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,

B3),共 4 种,所以所求概率为 P= = .]
7.(2016·河南市联考)已知函数 f(x)=2x -4ax+2b ,若 a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},
2 2

4 2 10 5

则该函数有两个零点的概率为__________. 【导学号:04024070】 2 3 [要使函数 f(x)=2x -4ax+2b 有两个零点,即方程 x -2ax+b =0 要有两个实
2 2 2 2 2 2

根, 则 Δ =4a -4b >0.又 a∈{4,6,8}, b∈{3,5,7}, 即 a>b, 而 a, b 的取法共有 3×3 =9 种,其中满足 a>b 的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7),共 6 6 2 种,所以所求的概率为 = .] 9 3 8. (2017·郴州三模)从集合 A={-2, -1,2}中随机抽取一个数记为 a, 从集合 B={-1,1,3} 中随机抽取一个数记为 b,则直线 ax-y+b=0 不经过第四象限的概率为________. 2 9 [(a,b)所有可能的结果为(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),

(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共 9 种. 由 ax-y+b=0 得 y=ax+b, 当?
? ?a≥0, ?b≥0 ?

时, 直线不经过第四象限, 符合条件的(a, 2 9

b)的结果为(2,1), (2,3), 共 2 种, ∴直线 ax-y+b=0 不经过第四象限的概率 P= .]
三、解答题 9.(2017·枣庄模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》 :空气质量指数 划分为 0~50、51~100、101~150、151~200、201~300 和大于 300 六级,对应空气质 量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明 显.专家建议:当空气质量指数小于 150 时,可以进行户外运动;空气质量指数为 151 及以上时, 不适合进行旅游等户外活动, 下表是济南市某年 12 月中旬的空气质量指数情 况: 时间 AQI 11 日 149 12 日 143 13 日 251 14 日 254 15 日 138 16 日 55 17 日 69 18 日 102 19 日 243 20 日 269

(1)求 12 月中旬市民不适合进行户外活动的概率; (2)一外地游客在 12 月中旬来济南旅游,想连续游玩两天,求适合连续旅游两天的概 率. 【导学号:04024071】 小学+初中+高中

小学+初中+高中 [解](1)该试验的基本事件空间 Ω ={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}, 基本事件总 数 n=10. 设“市民不适合进行户外活动”为事件 A,则 A={13,14,19,20},包含的基本事件数

m=4,所以 P(A)= = ,
2 即 12 月中旬市民不适合进行户外活动的概率为 . 5 (2)该试验的基本事件空间 Ω ={(11,12),(12,13),(13,14),(14,15),(15,16), (16,17),(17,18),(18,19),(19,20)},基本事件总数 n=9, 设“适合连续旅游两天的日期”为事件 B,则 B ={(11,12) , (15,16) , (16,17) , (17,18)},包含的基本事件数 m=4, 4 4 所以 P(B)= ,所以适合连续旅游两天的概率为 . 9 9 10.已知向量 a=(1,-2),b=(x,y). (1)若 x,y∈R,且 1≤x≤6,1≤y≤6,求满足 a·b>0 的概率; (2)若 x, y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a·b=-1 的概率. [解](1)用 B 表示事件“a·b>0”,即 x-2y>0. 试验的全部结果所构成的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}, 构成事件 B 的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,x-2y>0}, 如图所示. 1分 2分 3分

4 2 10 5

1 ×4×2 2 4 所以所求的概率为 P(B)= = . 5×5 25

6分

(2)设(x,y)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有 (1,1),(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共 36 个. 9分 用 A 表示事件“a·b=-1”,即 x-2y=-1. 小学+初中+高中

小学+初中+高中 则 A 包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共 3 个. 3 1 ∴P(A)= = . 36 12 [B 组 一、选择题 1.(2017·太原一模)现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若 每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概 率为( A. C. C 1 3 1 2 ) B. D. 2 3 3 4 名校冲刺] 11 分 12 分

[记两道题分别为 A,B,所以抽取的情况为 AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,

BBB(其中第 1 个,第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目,第 3 个表示男教师抽取的
题目),共有 8 种.其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为 ABA,ABB,BAA,

BAB,共 4 种.故所求事件的概率为 .故选 C.]
→ → → 2.已知 P 是△ABC 所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则 黄豆落在△PBC 内的概率是( ) 【导学号:04024072】 A. C. C 1 4 1 2 B. D. 1 3 2 3

1 2

→ → → → → → → → [如图所示,取边 BC 上的中点 D,由PB+PC+2PA=0,得PB+PC=2AP.又PB+PC=

→ → → 2PD,故AP=PD,即 P 为 AD 的中点,则 S△ABC=2S△PBC,根据几何概率的概率公式知,所 求概率 P=

S△PBC 1 = , S△ABC 2

故选 C.]

小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 3 1 2 3. 已知函数 f(x)= ax - bx +x, 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a, b, 则函数 f′(x) 3 2 在 x=1 处取得最值的概率是( A. C. C 1 36 1 12
2

) B. D. 1 18 1 6

[由题意得 f′(x)=ax -bx+1,因为 f′(x)在 x=1 处取得最值,所以 =1,符 2a

b

合的点数(a,b)有(1,2),(2,4),(3,6),共 3 种情况.又因为抛掷两颗骰子得到的 3 1 点数(a,b)共有 36 种情况,所以所求概率为 = ,故选 C.] 36 12 4.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且 都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两 串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( A. C. C 1 4 3 4 B. D. 1 2 7 8 )

[如图所示, 设在通电后的 4 秒钟内, 甲串彩灯、 乙串彩灯第一次亮的时刻为 x, y,

0≤x≤4, ? ? x,y 相互独立,由题意可知?0≤y≤4, ? ?|x-y|≤2,

所以两串彩灯第一次亮的时间相差不

1 4×4-2× ×2×2 2 S正方形-2S三角形 12 3 超过 2 秒的概率为 P(|x-y|≤2)= = = = .] S正方形 4×4 16 4

二、填空题 5. 曲线 C 的方程为 2+ 2=1, 其中 m, n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数, 事件 A 为“方 程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=__________. 5 12 [试验中所含基本事件个数为 36.若表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m>n,有(2,1),

x2 y2 m n

x2 y2 m n

小学+初中+高中

小学+初中+高中 15 5 (3,1),…,(6,5),共 1+2+3+4+5=15 种情况,因此 P(A)= = .] 36 12 6.(2017·合肥一模)从[-2,2]中随机选取一个实数 a,则函数 f(x)=4 -a·2 点的概率是________. 1 4 1 x x x [函数 f(x)有零点,即 f(x)=4 -2a·2 +1=0 有解,则 2a=2 + x≥2,a≥1, 2
x x+1

+1 有零

2-1 1 当且仅当 x=0 时,等号成立.故所求概率为 = .] 2+2 4 三、解答题 7.现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀,B1,B2,B3 物理成绩优秀,

C1,C2 化学成绩优秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代
表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率. 【导学号:04024073】 [解] (1)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组成 的基本事件空间为 Ω ={(A1,B1,C1},(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,

C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3, C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3, C2)},共 18 个基本事件组成.
4分

由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“C1 恰被选中”这一事件,则

M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3, C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}.
6分 9 1 事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P(M)= = . 18 2 (2)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“A1,B1 全被选中”这一事件. 由于 N ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件 N 由 2 个基本事件组成,所以 P( N )= 2 1 = . 18 9 由对立事件的概率公式得 11 分 8分

小学+初中+高中

小学+初中+高中

P(N)=1-P( N )=1- = .

1 8 9 9

12 分

8.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面 体面朝下的数字分别为 b,c. (1)若直线 l:x+y-5=0,求点 P(b,c)恰好在直线 l 上的概率; (2)若方程 x -bx-c=0 至少有一根 x∈{1,2,3,4},就称该方程为“漂亮方程”,求 方程为“漂亮方程”的概率. [解] (1)因为是投掷两次,因此基本事件(b,c)为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 共 16 个, 当 b+c=5 时,(b,c)的所有取值为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),5 分 4 1 所以所求概率为 P1= = . 16 4 (2)①若方程一根为 x=1,则 1-b-c=0,即 b+c=1,不成立.7 分 ②若方程一根为 x=2,则 4-2b-c=0,即 2b+c=4,所以?
? ?b=1, ?c=2. ? ?b=2, ? ? ?c=3. ? ?b=3, ?c=4. ?
2

4分

6分

8分

③若方程一根为 x=3,则 9-3b-c=0,即 3b+c=9,所以?

9分

④若方程一根为 x=4,则 16-4b-c=0,即 4b+c=16,所以?

10 分 由①②③④知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4), 3 所以方程为“漂亮方程”的概率为 P2= . 16 11 分 12 分

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