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线面垂直证明题训练

时间:2015-12-29


线面垂直的证明 方法总结:直线垂直于平面内的两条相交直线;利用面面垂直的性质;利用勾股定理逆定理; 1.如图①所示,在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2、G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折 成一个几何体(如图②使 G1、G2、G3 三点重合于一点 G),则下列结论中成立的有________(填序号). ①SG⊥面 EFG; ②SD⊥面 EFG; ③EF⊥面SGD; ④GD⊥面 SEF.

2.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系正确的是________(填序号). ①PA⊥BC;②BC⊥平面 PAC;③AC⊥PB;④PC⊥BC.

3.以 AB 为直径的圆在平面 ? 内, PA ? ? 于 A,C 在圆上,连 PB、PC 过 A 作 AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,指出图中所有线面 垂直并逐一证明。 P
E F A C B

4.如图, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A, B 的任意一点, 求证: BC ? 平面A1AC;

D1 A1 B1

C1

5.已知,如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: A1C ? 平面AB1 D1 三垂线定理的运用
A

D B

C

6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,在平面 B1BDD1 中,过 B1 作 B1H⊥D1O,垂足为 H, 求证:B1H⊥平面 ACD1。

7.已知正方 形 ABCD 的边长为 1,

.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使 AC ? 1 ,得到三棱锥

A—BCD,如图所示.求证: AO ? 平面BCD ;

8.如图,在四面体 SABC 中,SA=SB=SC,∠ASC=90°,∠ASB=∠BSC=60°,若 O 为 AC 中点,求证: BO ? 平面SAC

9.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为棱 CC1 的中点, AC 交 BD 于点 O , 求证 A1O ? 平面BDM

10.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD.求证:DC ? 平面 PAD

12、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD。证明:AB⊥平面 VAD

线线垂直 1.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点.求证:MN⊥CD.

2.如图,一四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD、AD 与 BC 都互相垂直,证明:AC 与 BD 也互相垂直.

3.已知四面体 ABCD 中, AB ? AC, BD ? CD ,平面 ABC ? 平面 BCD , E 为棱 BC 的中点。 求证: AD ? BC

4.如图, 平行四边形 ABCD 中,?DAB ? 60? ,AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置, 使平面 EDB ? 平面 ABD 。求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

5.S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.

6.如图,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2 ,M 为 BC 的中点。 证明:AM⊥PM;

7.P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中的是

8.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 条件即可,不必考虑所有可能的情形.)

时,有 A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种

9.如图,已知 SA,SB,SC 是由一点 S 引出的不共面的三条射线,∠ASC=∠ASB=45°, ∠BSC=60°,∠SAB=90°,求证:AB⊥SC.

10.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部



面面垂直 1.在菱形 ABCD 中,∠A=60°,线段 AB 的中点是 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△FDE 的位置,使平面 FDE 和平面 EBCD 垂直,线 段 FC 的中点是 G.(1)证明:直线 BG∥平面 FDE;(2)判断平面 FEC 和平面 EBCD 是否垂直,并证明你的结论.

2.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 求证:(Ⅰ)CD⊥AE;(Ⅱ)PD⊥平面 ABE.

3.如图,等腰梯形 ABEF 中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1 AF⊥BF,O 为 AB 的中点,矩形 ABCD 所在的和 ABEF 互相. (1)求证:AF⊥面 CBF;(2)设 FC 的中点为 M,求证:OM∥DAF;(3)求三棱锥 C-BEF 的体积.

4.如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA⊥平面 ABCD,PB=AB=2MA.求证: (1)平面 AMD∥平面 BPC;(2)平面 PMD⊥平面 PBD.

5.已知:三棱锥 P-ABC,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC;(2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

6.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

时,

7.如图 1,矩形 ABCD 中,AB=2AD=2a,E 为 DC 的中点,现将△ADE 沿 AE 折起,使平面 ADE⊥平面 ABCE,如图 2. (1)求四棱锥 D-ABCE 的体积; (2)求证:AD⊥平面 BDE.

8.已知四边形 ABCD,BC=BD,AC=AD,E 是 CD 边的中点.在 AE 上的一个动点 P,讨论 BP 与 CD 是否存在关系,并证明你的结 论.

9.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点,现将△AFD 沿 AF 折起,使 平面 ABD⊥平面 ABC,在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足,设 AK=t,则 t 的取值范围是 .

3 10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,AB=5,cos∠BAC= 5 (1)求证:BC⊥AC1;

(2)若 D 是 AB 的中点,求证:AC1∥平面 CDB1.

12.已知:四棱锥 P-ABCD,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,∠A=90°,且 AB∥CD,AB= 2 CD,点 F 在线段 PC 上运动. (1)当 F 为 PC 的中点时,求证:BF∥平面 PAD;
PF

1

(2)设 FC =λ ,求当λ 为何值时有 BF⊥CD.

13.如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥平面 BEF,并证明你的结论.

14. 如图, P△ABC 所在平面外一点, PA=PB, CB⊥平面 PAB, M 是 PC 中点, N 是 AB 上的点, AN=3NB, (1)求证:MN⊥AB; (2)当∠PAB=90°,BC=2,AB=4 时,求 MN 的长.

15.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=1,CB= 2 ,侧棱 AA1=1, 侧面 AA1B1B 的两条对角线交于点 D,B1C1 的中点为 M,求证:CD⊥平面 BDM.

16.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别为 AB、PC 的中点; (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD;(Ⅱ)求证:MN⊥CD.

17.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA 1 ? 4. (Ⅰ)求证: AC ? BC1 ;(Ⅱ)在 AB 上是否存在点 D ,使得 AC1 ∥平面 CDB1 ,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.
C1 A1 B1

C A

B

18.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A1BE ; (Ⅱ)在棱 C1 D1 上是否存在一点 F ,使 B1 F //平面 A1 BE ?证明你的结论.

19.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 , AB ? BC .点 M , N 分别是 CC1 , B1C 的中点, G 是棱 AB 上的动点. (Ⅰ)求证: B1C ? 平面 BNG ; (Ⅱ)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并给出证明.

20.如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ?a ,点 E 在棱 PC 上. 问点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明.
P E D C

A

B

21. 如图,四棱锥P—ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA = AD = CD = 2AB = 2,M为PC 的中点. (1)求证:BM∥平面PAD; (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定N的位置,若不存在,说明理由;
2 0

0

7

22.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, 且 AD // BC ,?ABC ? ?PAD ? 90? , 侧面 PAD ? 底面 ABCD .
0

若 PA ? AB ? BC ? 2 AD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ;
0

1

4

(Ⅱ)侧棱 PA 上是否存在点 E ,使得 BE // 平面 PCD ?若存在,指出点 E
9

的位置并证明,若不存在,请说明理由;

24.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? AC ? AC ? 2, AB ? BC ,且 AB ? BC ,O 为 AC 中点. 1 (1) 证明: A1O ? 平面 ABC ; (2)在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.

25.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直 角梯形. (I)证明:BN⊥平面 C1B1N; (II)M 为 AB 中点,在线段 CB 上是否存在一点 P,使得 MP∥平面 CNB1,若存在,求出 BP 的长;若不存在,请说明理由.
C C1
4 正视图 8 左视图

B M A N

B1

4 4 俯视图

26.如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD,点 M , N 分别为 BC , PA 的中点,且 (2)求三棱锥 N ? AMC 的体积; PA ? AB ? 2 . (1)证明: BC ⊥平面 AMN ; (3)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

27.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, PD ? DC ? 4 , AD ? 2 , E 为 PC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? PC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? PDE 的体积; P (Ⅲ) AC 边上是否存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM ,若存在,求出 AM 的 长;若不存在,请说明理由. E
D C

A

B

28. 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD⊥DC,AB ∥DC 。 (1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E ∥平面 A1BD ,并说明理由。

29.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,BC= 2 AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ.

1


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