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备战2017高考十年高考理数分项版(新课标2专版)专题04三角函数与三角形解析版 Word版含解析

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一.基础题组 1.
【2014 新课标,理 4】钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

)

A. 5 【答案】B

B.

5

C. 2

D. 1

2.

【2012 全国,理 7】已知 α 为第二象限角,sinα+cosα=

3 ,则 cos2α=( 3

)

A. ?

5 3

B. ?

5 9

C.

5 9

D.

5 3

【答案】A 【解析】∵sinα +cosα = ∴α ∈(2kπ +

3 ,且 α 为第二象限角, 3

π 3π ,2kπ + )(k∈Z). 2 4 3π )(k∈Z). 2 1 , 3

∴2α ∈(4kπ +π ,4kπ +
2

由(sinα +cosα ) =1+sin2α = ∴ sin2?= ?

2 2 2 5 .∴ cos2? ? ? 1 ? (? ) ? ? . 3 3 3

3.

【2011 新课标,理 5】已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在 ) B.-

直线 y=2x 上,则 cos2θ=( A.- 【答案】B

4 5

3 5

C.

3 5

D.

4 5

1

【解析】

4.

【2006 全国 2,理 2】函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是?( ? B.4π ?? C.



? A.2π ? 【答案】:D ?? 【解析】:化简 y=

? ? 4

D.

? ? 2

1 ? sin4x,∴T= .∴选 D.? 2 2


5.

【2005 全国 3,理 1】已知 ? 为第三象限角,则 ? 所在的象限是( 2 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

【答案】B

6.

p p 【2005 全国 2,理 4】已知函数 y ? tan wx 在 (? , ) 内是减函数,则( 2 2
(A) 0 ? ? ? 1 (B) ?1 ? ? ? 0 (C) ? ? 1 (D) ? ? ?1



【答案】B 【解析】 y ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 上是增函数,由在 y ? tan ? x 在 ( ? , ) 是减函数, 2 2 2 2

? ?

可知 ? ? 0 ,并且 | ? x |?| x | , | ? |? 1 ,所以 ?1 ? ? ? 0 .
2

7.

【2010 全国 2,理 13】已知α 是第二象限的角,tan(π +2α )=-

4 ,则 tanα = 3

________. 【答案】 :-

1 2 4 4 ,tan2α =- , 3 3

【解析】 :tan(π +2α )=- ∴

2 tan ? 4 1 =- .解得 tanα =2 或 tanα =- . 2 1 ? tan ? 3 2 1 . 2

∵α 是第二象限的角, ∴tanα <0.∴tanα =-

8. 【2013 课标全国Ⅱ,理 17】(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,
b,c,已知 a=bcos C+csin B.
(1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【答案】 (1) B ?

π . 4

(2)△ABC 面积的最大值为 2+1 .

9.

【2010 全国 2,理 17】 (10 分)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB=

5 , 13

3

cos∠ADC=

3 ,求 AD. 5

BD ? sin B 【答案】AD= = sin ?BAD

33 ?

5 13 =25. 33 65

10.

【2006 全国 2,理 17】已知向量 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ),-

? ? <θ < .? 2 2

(1)若 a⊥b,求θ ; (2)求|a+b|的最大值. 【答案】 (1)θ =-

? .? (2)|a+b|的最大值为 2 +1.? 4

4

11.

【2015 高考新课标 2,理 17】 (本题满分 12 分)

?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍.
(Ⅰ) 求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? 【答案】(Ⅰ)

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 ;(Ⅱ) 1 . 2

【考点定位】1、三角形面积公式;2、正弦定理和余弦定理.

二.能力题组 1.
+ 【2010 全国 2,理 7】为了得到函数 y=sin(2x- )

? )的图像( 6

? )的图像,只需把函数 y=sin(2x 3

5

? ? 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 2 2
A.向左平移 【答案】 :B π ? ? ? ? )=sin2(x- )+ ], 所以只要把 y=sin(2x+ )的图像向右平移 4 个 3 4 6 6 ? 长度单位,就可得到 y=sin(2x- )的图像. 3 【解析】 y=sin(2x-

2.

【2005 全国 3,理 7】设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2x ? sin x ? cos x ,则( A. 0 ? x ? ? B.



?
4

?x?

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?

3? 2

【答案】C 【解析】可以得到|sinx-cosx|=sinx-cosx,所以 sin x ? cos x ? 0 ,

? ? ? 5? sin( x ? ) ? 0 , 2k? ? x ? ? 2k? ? ? ,解得: ? x ? . 4 4 4 4

3.

【2005 全国 2,理 1】函数 f ( x) ?| sin x ? cos x | 的最小正周期是( (A)

) (D) 2p

p 4

(B)

p 2

(C) p

【答案】C 【解析】

4. 【2005 全国 2,理 7】锐角三角形的内角 A 、B 满足 tan A ?

1 则有 ( ? tan B , sin 2 A



(A) sin 2 A ? cos B ? 0 (B) sin 2 A ? cos B ? 0 (C) sin 2 A ? sin B ? 0 (D)
sin 2 A ? sin B ? 0

【答案】A

6

5.

【 2014 新课标,理 14 】函数 f ? x? ? sin? x ? 2 ? ? ? 2sin? cos ? x ??? 的最大值为

_________. 【答案】1 【 解 析 】 由 题 意 知 :

f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? = sin[? ? ? x ? ? ?] ? 2sin ? cos ? x ? ? ?
=

sin ? cos ? x ? ? ? ?

cos ? sin ? x ? ? ? ?

2sin ? cos ? x ? ? ?

=

cos ? sin ? x ? ? ? ?

sin ? cos ? x ? ? ?
= sin[? x ? ? ? ? ? ] = sin x ,即 f ( x) ? sin x ,因为 x ? R ,所以 f ( x ) 的最大值为 1.

6. 【2012 全国,理 14】当函数 y=sinx- 3 cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=__________.
【答案】 :

5π 6

【解析】 :y=sinx- 3 cosx= 2( sinx ? 当 y 取最大值时, x ? 又∵ 0≤x<2π,∴x ?

1 2

3 π cosx) ? 2sin(x ? ) . 2 3

π π 5π ? 2kπ ? ,∴x=2kπ + . 3 2 6

5π . 6
sin 3a 13 ,则 ? sin a 5

7.

【 2005 全 国 2 , 理 14 】 设 a 为 第 四 象 限 的 角 , 若

t a na 2 ? __________________.

【答案】 ?

3 4

7

8.

【2005 全国 3,理 19】 (本小题满分 12 分) △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b, c 成等比数列,cos B ? (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC ?

3 . 4

??? ? ??? ?

3 , 求a ? c 的值. 2
3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4

【解析】 : (Ⅰ)由 cos B ? 由 b =ac 及正弦定理得 于
c A?c C ? 1 t A ? 1 t C ?
2

sin 2 B ? sin A sin C.


c s A c C s Cc A? c Cs ? ? A s C s As C A ? s A ? C) o s 2B o a a o i o i i

?

s B 1 4 ? ? 7. 2 s B s B 7

i i

i

??? ? ??? ? 3 3 3 (Ⅱ)由 BA ? BC ? 得ca ? cos B ? ,由cos B ? , 可得ca ? 2, 即b 2 ? 2. 2 2 4
由余弦定理 b =a +c -2ac+cosB
2 2 2

得 a +c =b +2ac·cosB=5.

2

2

2

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

9. 【2016 高考新课标 2 理数】若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 后图像的对称轴为

? 个单位长度,则平移 12

k? ? ? (k∈Z) 2 6 k? ? ? (k∈Z) (C)x= 2 12
(A)x= 【答案】B 【解析】

k? ? ? (k∈Z) 2 6 k? ? ? (k∈Z) (D)x= 2 12
(B)x=

试题 分析:由 题意,将函数 y ? 2sin 2 x 的 图像向 左平移

π 个单位 长度得函 数 12

8

π π ) ? 2sin(2 x ? ) 的 图 像 , 则 平 移 后 函 数 图 像 的 对 称 轴 为 12 6 π π π kπ 2 x ? ? ? kπ, k ? Z ,即 x ? ? , k ? Z ,故选 B. 6 2 6 2 y ? 2sin 2( x ?
【考点】三角函数图像的变换与对称性 【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言,即 x 本身加或减多少值,而不是 依赖于 ωx 加或减多少值. 10. 【2016 高考新课标 2 理数】若 cos( (A)

? ? ?α)= ,则 sin 2α= 4 5
(C)?

7 25

(B)

1 5

1 5

(D)?

7 25

【答案】D

【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系. 11. 【2016 高考新课标 2 理数】△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= cos C=

4 , 5

5 ,a=1,则 b= 13 21 【答案】 13

.

【考点】三角函数的和差角公式,正弦定理 【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两
9

个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦 或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则 考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.

三.拔高题组 1.
【2011 新课标,理 11】设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )

? )的最小正 2

周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( A.f(x)在(0,

? )单调递减 2

B.f(x)在(

? 3? , )单调递减 4 4 ? )单调递增 2

C.f(x)在(0,

D.f(x)在( 【答案】A 【解析】

? 3? , )单调递增 4 4

2.

【2005 全国 3,理 8】 A. tan ?

2 sin 2? cos2 ? =( ? 1 ? cos 2? cos 2?
C.1

) D.

B. tan 2?

1 2

【答案】B 【解析】原式=

sin 2? 2sin 2? cos 2 ? 2sin 2? cos 2 ? ? ? ? ? 2 2 cos 2? 1 ? 2cos ? ? 1 cos 2? 2 cos ? cos 2?

? tan 2? .

10

3.

【2013 课标全国Ⅱ,理 15】设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ?

? ?

π? 1 ? ? ,则 sin θ +cos 4? 2

θ =__________. 【答案】 :?

10 5

4.

【2011 新课标,理 16】在△ABC 中,B=60° ,AC= 3 ,则 AB+2BC 的最大值为

__________. 【答案】 2 7 【解析】

11

12


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