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高二文科数学《立体几何》大题训练试题(含解析)

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高二文科数学《立体几何》大题训练试题
1.(本小题满分 14 分) 如图的几何体中, AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形,

AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点.
(1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE 。

B A

E

C F

D

2.(本小题满分 14 分) GkStK 如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥ EF,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M,求证: OM ∥ 平面 DAF ; (3)求三棱锥 F-CBE 的体积.
A D

C

B

M E

O
F

(第 2 题图)

3.(本小题满分 14 分) 如图所示, 正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, E

?ADE ? 90 , AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ )求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅱ)求四面体 BDEF 的体积. F D C

A
1

B

4 . 如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 ,

A1 B1 A

D1

AB ? AA1 ? 1 , AD ? 2 , E 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证:直线 BB1 // 平面 D1 DE ; (Ⅱ)求证:平面 A1 AE ? 平面 D1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A ? A1 DE 的体积.

C1 D

B

E

C

5. (本题满分 14 分) 如图,己知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1, AB ? 平面BCD ,
0

且 ?ADB ? 600 , E, F分别是AC,AD上的动点,

AE AF = =? ,(0<? <1) AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面ABC; (2)若 ? =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

6.(本小题满分 13 分) 如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点, D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证: BC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.

2

7、 (本小题满分 14 分) 如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2, AD ? CD ? 1 . 将

?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求几何体 D ? ABC 的体积.
D C D

C A 图1 B

A 图2

B

8、 (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD (图 5) 的三视图如图 6 所示,?PBC 为正三角形,PA 垂直底面 ABCD ,俯视图是直角梯形. (1)求正视图的面积; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (3)求证: AC ? 平面 PAB ;

3

参考答案
1.(本小题满分 14 分) (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . B G A E

1 ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? DE . 2
∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . C

1 又 AB ? DE ,∴ GF ? AB . …………3 分 2
∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG .……………5 分

F

D

∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD …………9 分 ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ? AF .……………10 分 又 CD ? DE ? D ,∴ AF ? 平面 CDE .……………………………12 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE .…………………………………13 分 ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE .………………14 分 2.解: (1)? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD 平面 ABEF ? AB ,

? CB ? 平面 ABEF ,
∵ AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ? CB ,……… 2 分 又 AB 为圆 O 的直径,∴ AF ? BF , ∴ AF ? 平面 CBF . ……… 4 分 (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN 则 MN

// 1 // 1 CD ,又 AO CD , 2 2
C

//

AO ,四边形 MNAO 为平行四边形,

∴ OM / / AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ∴ OM / / 平面 DAF . …… 8 分 (3)∵ BC ? 面 BEF ,∴ VF ?CBE ? VC ? BEF ?

1 ? S ?BEF ? BC , 3

D

B

M E

B 到 EF 的距离等于 O 到 EF 的距离,
过点 O 作 OG ? EF 于 G ,连结 OE 、 OF , ∴ ?OEF 为正三角形,∴ OG 为正 ?OEF 的高, ∴ OG ?
O
A

F

3 3 ,……… 11 分 OA ? 2 2

4

∴ VF ?CBE ? VC ? BEF ?

1 ? S ?BEF ? BC 3

…… 12 分

1 1 1 1 3 3 。……… 14 分 ? ? ? EF ? OG ? BC ? ? ?1? ?1 ? 3 2 3 2 2 12
3、(Ⅰ)证明:设 AC

BD ? O ,取 BE 中点 G ,连结 FG, OG ,
因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ? OG , ………4 分 E ………7 分
//

1 DE 所以, OG ? 2
//

…2 分

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF

(Ⅱ )解:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD , 所以 AB ? 平面 ADEF . ………10 分 F D C

因为 AF // DE , ?ADE ? 90 , DE ? DA ? 2 AF ? 2 ,

A

B

1 ? ED ? AD ? 2 所以 ?DEF 的面积为 2 , ? 1 4 S ?DEF ? AB ? 3 3 .

……12 分

所以四面体 BDEF 的体积

……14 分

4、(Ⅰ)证明:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 // DD1 , 又 ∵

BB1 ? 平面 D1 DE , DD1 ? 平面 D1 DE ∴ 直线 BB1 // 平面 D1 DE

……4 分

(Ⅱ)证明:在长方形 ABCD 中,∵ AB ? AA 1 ? 1 , AD ? 2 , ∴ AE ? DE ?

2 ,∴ AE 2 ? DE 2 ? 4 ? AD 2 ,故 AE ? DE ,………6 分

∵在长方形 ABCD 中有 DD1 ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD , ∴ DD1 ? AE , ……7 分 又∵ DD1 ? DE ? D ,

∴直线 AE ? 平面 D1 DE ,……8 分

5

而 AE ? 平面 A1 AE ,所以平面 A1 AE ? 平面 D1 DE . (Ⅲ) VA? A1DE ? V A1 ? ADE ?

…………10 分

1 1 1 1 AA1 ? S ?ADE ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? .…………14 分 3 3 2 3

5.(1)证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所以,CD⊥平面 ABC, …………3 分 又在△ACD,E、F 分别是 AC、AD 上的动点, 且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) AC AD
………7 分

所以,不论 ? 为何值,EF//CD,总有 EF⊥平面 ABC:

(2)解:在△BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,所以,BD= 2 , 又 AB⊥平面 BCD,所以,AB⊥BD, 又在 Rt△ABD 中, ?ADB ? 600 , ∴AB=BDtan 600 ? 由(1)知 EF⊥平面 ABE,

6 。 ………………10 分

所以,三棱锥 A-BCD 的体积是

6 24

………………14 分

6、解: (1)由已知得,MD 是△ABP 的中位线,所以 MD∥AP.(2 分) 因为 MD?平面 APC,AP?平面 APC,所以 MD∥平面 APC.(4 分) (2)因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点,所以 MD⊥PB,(5 分) 所以 AP⊥PB.(6 分) 又因为 AP⊥PC,且 PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC.(7 分) 因为 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又因为 BC⊥AC,且 AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC.(10 分) (3)因为 MD⊥平面 PBC,所以 MD 是三棱锥 M—DBC 的高,且 MD=5, 又在直角三角形 PCB 中,由 PB=10,BC=4,可得 PC=2.(11 分) 1 1 于是 S△BCD=2S△BCP=2,(12 分)所以 VD-BCM=VM-DBC=3Sh=10.(13 分)

2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ……4 分 ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ……8 分 2 2 2 另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC
7. 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ?
6

∵面 ACD ? 面 ABC ,面 ACD

面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ? 所以 VB ? ACD ?

2 ,S

ACD

?

1 2

……11 分 ……13 分

1 1 1 2 Sh ? ? ? 2 ? 3 3 2 6
2 6

由等积性可知几何体 D ? ABC 的体积为

……14 分

8 解: (1)过 A 作 AE // CD ,根据三视图可知,E 是 BC 的中点, 且 BE ? CE ? 1 , AE ? CD ? 1 又∵ ?PBC 为正三角形,∴ BC ? PB ? PC ? 2 ,且 PE ? BC ∴ PE ? PC ? CE ? 3
2 2 2

(1 分) (2 分)

(3 分) (4 分)

∵ PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AE ∴ PA ? PE ? AE ? 2 ,即 PA ?
2 2 2

2

(5 分) (6 分)

正视图的面积为 S ?

1 ? 2? 2 ? 2 2

(2)由(1)可知,四棱锥 P ? ABCD 的高 PA ? 底面积为 S ?

2,

(7 分) (8 分)

AD ? BC 1? 2 3 ? CD ? ?1 ? 2 2 2

∴四棱锥 P ? ABCD 的体积为 VP ? ABCD ?

1 1 3 2 S ? PA ? ? ? 2 ? 3 3 2 2

(10 分) (11 分)

(3)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AC ∵在直角三角形 ABE 中, AB ? AE ? BE ? 2
2 2 2

在直角三角形 ADC 中, AC ? AD ? CD ? 2
2 2 2

(12 分) (13 分)

∴ BC ? AA ? AC ? 4 ,∴ ?BAC 是直角三角形
2 2 2

∴ AC ? AB 又∵ AB

PA ? A ,∴ AC ? 平面 PAB

(14 分)

7

8


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