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直线与平面垂直及线面角12.18

时间:2014-12-29


1

复习 一、直线与平面垂直定义 如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .

a?b

? ??a ?? b是?内任意直线?

a ??? ??a?b b ???

2

二、直线与平面垂直判定定理

直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直,则该直线与此平面垂直。
l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ??? l ? m, l ? n ?

m P

n

3

常用结论发散 结论1.过一点只有一条直线和一个平面垂直.

结论2.过一点只有一个平面和一条直线垂直.
结论3:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面。

4

3.直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面,那么

这两条直线平行。

a

b

?

5

小试牛刀
练习: 1.判断下列命题是否正确: ( 1 )垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ( . √) ( 2 )垂直于同一个平面的两条直线平行 ( . √) ( 3 )一条直线在平面内,另一条直线与这个平面 垂直,则这两条直线互相垂直 ( . √) b a

2.已知直线a , b和平面? , 且a ? b, a ? ?,则b与? b // ? , 或b ?___ ? . 的位置关系是 __________

?

6

练习1、在正方体AC1中,O为下底面的中心,

(1)求证:AC⊥面D1B1BD (2)求证:AC⊥D1O
D1 A1 B1 C1

D A

O

C B
7

(3) 在正方体AC1中, 求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1.
D1 A1 D A B
8

C1 B1 C

(4)证明正方体中A1C ? 面BC1D

D1 A1 D A B B1

C1

C
9

练习2:在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.
P D C

A B

10

练习3: 已知:PA⊥平面PBC, PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM.
P

C A M

B

11

练习4:如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC,
AB=BC,求证:VB⊥AC。

V

A B

C

12

P

练习5:如图,圆O所在一平面 为 ? ,AB是圆O 的直径,C 在圆 周上, 且PA? AC, PA ? AB, 求证:(1)PA ? BC (2)BC ? 平面PAC
解:(1) AB ? ? , AC ? ? , 且AB ? AC ? A PA ? AC , PA ? AB ? PA ? ? 又 BC ? ? ? PA ? BC
A
C

O

B

(2) ? C为圆 O上一点 ,AB 为直径 ? BC ? AC

?1?得BC ? PA, 又? PA ? AC ? A 由 ? BC ? 面PAC
13

A B C

?

一条直线和一个平面 相交,但不和这个平面垂 直,这条直线叫做这个平 面的斜线,斜线和平面的 交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间 斜线上任意一点 的线段叫做这点到这个平 在平面上的射影,一 面的斜线段。 定在斜线的射影上。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影;
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
14

练习一 判断下列说法是否正确
(1)两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 (2)两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 (3)两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线,要么是相交直线 ( (4)若斜线段长相等,则它们在平面内 的射影长也相等 ( )
15

( (

) ) )

重心:三条中线的交点 垂心:三条高的交点 外心:三条垂直平分线的交点(到△三个顶点 的距离相等) 内心:三角平分线的交点 中心:正△的重心、垂心、内心、外心重合 的点

16

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置?
P

OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心

B

A O C
17

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影 的位置?
P
? PA ? BC ? ? BC ? 平面PAD ? PO ? BC ? PA ? PO ? P ?

B

A D O C

O为三角形ABC的垂心
18

已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离相等,试判断点P在 底面ABC的射影的位置?
P

O为三角形ABC的内心
O
E C F
19

B

A

典型:四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O

(1)P到三顶点距离相等 O是 ABC的 外 心 (2)侧棱两两垂直 O是 ABC的 垂 心

(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的 内心
20

斜线





?

?

第2个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 O 面内的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的角

斜线在平面上的射影

一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所 成的角是0 ?的角

直线和平面所成角的范围是[0?,90?]
21

例题示范,巩固新知

例1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(1)直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。

(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面 BCC1B1和平面A1B1CD内的射 影,就可以求出A1B和平面 BCC1B1和平面A1B1CD所成的 角。
D1 A1 C1 B1

O
D C B
22

阅读教科书P67上的解答过程

A

练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
(1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 P

A B

C

23


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