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【优化指导】2015高考数学总复习 第2章 第6节 二次函数与幂函数课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

时间:2014-09-26


【优化指导】 2015 高考数学总复习 第 2 章 第 6 节 二次函数与幂函 数课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

1.(2014·孝感高中调研)函数 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为 增函数,则实数 m 的值是( A.-1 C.3 解析:选 B
2

2

m

) B.2 D.-1 或 2

由 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数得 m -m-1=1 解得 m=-1 或 m=2,又

m

2

当 x∈(0,+∞)是增函数,所以 m=2.故选 B. 2.(2014·陕西师大附中模拟)已知实数 a,b,c 满足 a>b>c 且 a+b+c=0.若 x1,x2 为方程 ax +bx+c=0 的两个实数根,则|x1-x2|的取值范围为( A.[0,3) C.(1,3) B.(0,1) D.[0,1)
2 2 2 2

)

解析:选 A 由题意 a>b>c,且 a+b+c=0 可得 a>0,c<0,∴方程 ax +bx+c=0 的判 别式 Δ =b -4ac>0,且其中一根为 1,不妨设 x1=1,则 x2= ,又 b=-a-c,∴a>-a-
2 1? c c c ? ? c? 2 c>c,即 1>-1- > ,解得 ∈?-2,- ?.|x2 1-x2|=?1- 2?∈[0,3),故选 A. 2? a a a ? ? a? 2

c a

3.(2014·佛山模拟)设 a=0.5 ,b=0.3 ,c=log0.3 0.2,则 a,b,c 的大小关系 是( ) A.a>b>c C.b<a<c
0.5

0.5

0.5

B.a<b<c D.a<c<b
0.5 0.5 0.5

解析:选 C 根据幂函数 y=x 的单调性,可得 0.3 <0.5 <1 =1,即 b<a<1;根据 对数函数 y=log0.3 x 的单调性;可得 log0.3 0.2>log0.3 0.3=1,即 c>1.所以 b<a<c. 4.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列四个结论:(1)b<0; (2)c>0;(3)b -4ac>0;(4)a-b+c<0.其中正确的个数有(
2 2

)

A.1 C.3

B.2 D.4

1

解析:选 C 由图知 a<0,c>0,抛物线的对称轴在 y 轴的左边,所以- <0,所以 b<0. 2a 由图知 f(-1)>0, 即 a-b+c>0, 图象与 x 轴有两个交点, 所以 b -4ac>0, 由此知(1)(2)(3) 正确,(4)不正确. 5. (2014·济宁模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx, 则“f(2)≥0”是“函数 f(x)在(1, +∞)上单调递增”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

b

解析:选 C 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增,则 a>0,x=- ≤1,所以 b≥-2a. 2a 这与 f(2)≥0 等价.而 f(2)≥0 不能确定函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增,故选 C. 1? ? ?? ?2?x-7,x<0, 6.设函数 f(x)=?? ? ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1)

b

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是(

)

B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

?1?a -a 3 解析:选 C 当 a<0 时,? ? -7<1,即 2 <2 ,∴a>-3,∴-3<a<0.当 a≥0 时, a<1, ?2?
∴0≤a<1,故-3<a<1. 7.已知函数 f(x)=-x +ax+b -b+1(a,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1 +x)成立,且当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( A.(-1,0) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(2,+∞) D.(-∞,-1) )
2 2

解析:选 C ∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)图象的对称轴为 x=1,则 a=2.易知 f(x) 在(-∞,1)上单调递增,当 x∈[-1,1]时,f(x)>0,故只需 f(-1)=b -b-2>0,解得
2

b>2 或 b<-1,故选 C.
1 1 - - 8.(2014·宜春检测)若(a+1) 3 <(3-2a) 3 ,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1) )

?2 3? B.? , ? ?3 2? ?2 ? D.(-∞,-1)∪? ,+∞? ?3 ?

?2 3? C.(-∞,-1)∪? , ? ?3 2?

1 1 - - 解析:选 C 由于 f(x)=x 3 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,∴(a+1) 3 <(3 1 2 3 - -2a) 3 等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a.解得 a<-1 或 <a< .故实 3 2

2

? ? ? 2 3 数 a 的取值范围为?a?a<-1,或 <a< 3 2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

9. 已知幂函数 f(x)满足 f? ?= =或<). 解析:>

3? ? 2? ? ?x? f x , 且 f(8)=4, 则 f? ? ________ f?- ?(填>、 ?y? f y ?2? ? 3?

2 α α 设 f(x)=x (α 为常数),又 f(8)=4,所以 4=8 ,所以 α = .于是 f(x) 3

2 =x ,显然该函数是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数, 3 所以 f?-

? ?

3? ? 3? ? 2? ?=f? ?<f? ?. 3? ?3? ?2?

10.(2014·宿州质检)已知函数 f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,

c 都在 f(x)的定义域内, 就有 f(a), f(b), f(c)也是某个三角形的三边长, 则称 f(x)为“保
三角形函数”.对于函数:①f1(x)= x;②f2(x)=x;③f3(x)=x .其中________是“保三 角形函数”(填上正确的函数序号). 解析:①② 对任意一个三角形,它的三边长为 a,b,c,不妨设 a≥b≥c,又 b+c>a,
2

b+ c> b+c> a, 所以 f1(x)= x为“保三角形函数”; f2(x)=x 为“保三角形函数”;
对于 f3(x)=x 3,3,5 可作为一个三角形的边长,但 3 +3 <5 ,所以不存在以 3 3 5 为三边 长的三角形,f3(x)=x 不是“保三角形函数”. 11.(2014·长沙模拟)已知函数 f(x)=x -2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b= ________. 解析:2 由 f(x)=x -2x+2 的对称轴方程为 x=1,开口向上,故在[1,b]上为单调 递增,则 f(b)=b,b>1,故 b=2. 1 12.(2013·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y= (x>0)
2 2 2 2, 2 2 2 2, 2, 2

x

图象上一动点.若点 P,A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的所有值为______. 解析: 10,-1

? 1? ?1 ? 2 ? 2 1 ? 2 2 设 P 点的坐标为?x, ? ,则 |PA| =(x- a) +? -a? =?x + 2? - ?
x?

?x

?

?

x?

1 ? 1? 2 2 2 2 2 2 2a?x+ ?+2a .令 t=x+ ≥2,则|PA| =t -2at+2a -2=(t-a) +a -2(t≥2).

?

x?

x

结合题意可知 (1)当 a≤2,t=2 时,|PA| 取得最小值.此时(2-a) +a -2=8,解得 a=-1,a= 3(舍去). (2)当 a>2,t=a 时,|PA| 取得最小值.此时 a -2=8,解得 a= 10,a=- 10(舍 去).故满足条件的实数 a 的所有值为 10,-1.
2 2 2 2 2

3

13.(2014·滨州模拟)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? +F(-2)的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立. 解:(1)由已知得 c=1,a-b+c=0,- =-1, 2a 解得 a=1,b=2,则 f(x)=(x+1) .
? ,x>0, ? x+ 则 F(x)=? 2 ?- x+ ,x<0. ?
2 2

2

?f ?

x ,x>0, x ,x<0,

? -f ?

求 F(2)

b

故 F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. 1 2 2 (2)由题意得 f(x)=x +bx, 原命题等价于-1≤x +bx≤1 在(0,1]上恒成立, 即 b≤ -

2

2

x

x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立.又当 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值 x x x
为-2,故-2≤b≤0. 2 7 m 14.已知函数 f(x)=x - ,且 f(4)= . x 2 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 2 7 m 解:(1)因为 f(4)= ,所以 4 - = .所以 m=1. 2 4 2 2 (2)由(1)知 f(x)=x- ,则 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.

1

1

1

x

2 ? 2? 又 f(-x)=-x- =-?x- ?=-f(x), -x ? x? 所以 f(x)是奇函数. (3)设 x1>x2>0, 2? 2 ? 则 f(x1)-f(x2)=x1- -?x2- ?

x1 ?

x2?

=(x1-x2)?1+

? ?

x1x2? ?

2 ?

. 2 >0.

因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+ 所以 f(x1)>f(x2).

x1x2

所以 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
4

1.已知二次函数 f(x)=x -2ax+5.若 f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的

2

x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数 a 的取值范围是(
A.[2,3] C.[-1,3] B.[1,2] D.[2,+∞)

)

解析:选 A 由题意知,二次函数 f(x)图象的开口向上,由函数 f(x)在(-∞,2]上是 减函数,知 a≥2.若任意的 x1,x2∈[1,a+1],|f(x1)-f(x2)|≤4 恒成立,只需 f(x)max-

f(x)min≤4(x∈[1,a+1])即可,由于对称轴 x=a∈[1,a+1],所以 f(x)min=f(a)=5-a2.
又(a-1)-(a+1-a)=a-2≥0,故最大值 f(x)max=f(1)=6-2a,由 f(x)max-f(x)min≤4, 解得-1≤a≤3,又 a≥2,故 a 的取值范围为[2,3]. 2.(2011·天津高考)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
? ?a,a-b≤1, ? ?b,a-b>1.

设函数

f(x)=(x2-2)?(x-x2),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c
的取值范围是( )

3? ? A.(-∞,-2]∪?-1, ? 2? ? 3? ? B.(-∞,-2]∪?-1,- ? 4? ? 1? ?1 ? ? C.?-1, ?∪? ,+∞? 4 ? ? ?4 ? 3? ?1 ? ? D.?-1,- ?∪? ,+∞? 4? ?4 ? ?

解析:选 B

?-1≤x≤3?, ? ?x -2? 2? ? ? 由已知得 f(x)=? ?x<-1或x>3?, ? ? ? x- x ? 2? ?
2 2

3 如图,要使 y=f(x)-c 与 x 轴恰有两个公共点,则-1<c<- 或 c≤-2,应选 B. 4 3.(2014·温州模拟)方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ( )
2

5

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ? ? 23 ? C.?- ,1? ? 5 ?
解析:选 C 令 f(x)=x +ax-2,
2

B.(1,+∞) 23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

由题意,知 f(x)图象与 x 轴在[1,5]上有交点, 则?
? ?f ?f ?



23 解得- ≤a≤1. 5
1

4.已知函数 f(x)=x2,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1; ②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1; ③若 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1f(x2); ④若 0<x1<x2,则

f x1 +f x2
2

<f?

?x1+x2?. ? ? 2 ?

其中正确命题的序号是________.
1

解析:①④ 对于①,f(x)=x2是增函数,f(1)=1,当 x>1 时,f(x)>1,①正确; 对于②, 对于③,

f x2 -f x1 >1,可举例(1,1),(4,2),故②错; x2-x1 f x1 -0 f x2 -0 < ,说明图象上两点 x1,x2 到原点连线的斜率越来越大, x1-0 x2-0

由图象可知,③错; 对于④,

f x1 +f x2
2
2

<f?

?x1+x2?,根据图象可判断出④正确. ? ? 2 ?

5.已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故?
?f ? ? ?f
2

=5, =2,

?9a-6a+2+b=5, ? 即? ? ?4a-4a+2+b=2,

??

?a=1, ? ? ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故?
?f ? ?f ?

=2, =5,

?9a-6a+2+b=2, ? 即? ?4a-4a+2+b=5, ?

??

?a=-1, ? ?b=3. ?

6

故 a=1,b=0 或 a=-1,b=3. (2)∵b<1,∴a=1,b=0, 即 f(x)=x -2x+2.
2

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2+m m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2

∴所求 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 6.(2014·江西师大附中测试)已知函数 f(x)=x -2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1) -f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f (x)=(x-a) +5-a (a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数 又定义域和值域均为[1,a], ∴?
?f ? ?f ?
2 2 2

=a

a =1

?1-2a+5=a ? ,即? 2 2 ?a -2a +5=1, ?

解得 a=2.

(2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a≥2, 又 x=a∈[2,+∞),且(a+1)-a≤a-1, ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a . ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a )≤4,解得-1≤a≤3, 又 a≥2,∴2≤a≤3. 故所求 a 的取值范围为[2,3].
2 2

7


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