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【全程复习方略】2013版高中数学 3.1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数课件 理 新人教B版_图文

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第一节 任意角的概念与弧度制、任意 角的三角函数

三年3考

高考指数:★★

1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点,注意三角函数值

符号的确定.
2.同角三角函数关系式常用来化简、求值,是高考的热点.

3.主要以选择题、填空题的形式考查.

1.角的有关概念 (1)角的分类(按旋转的方向) 逆时针 正角:按照______方向旋转而成的角. 角 顺时针 负角:按照______方向旋转而成的角. 零角 _____:射线没有旋转.

(2)象限角 象 限 角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 象限角α 的集合表示 {α |2kπ <α <2kπ +
? ,k∈Z} 2

{α |2kπ + ? <α <2kπ +π ,k∈Z}
2

{α |2kπ +π <α <2kπ +

3? ,k∈Z} 2

3? {α |2kπ + <α <2kπ +2π ,k∈Z} 2

(3)终边相同的角 所有与α 终边相同的角,包括α 本身构成一个集合,这 {β |β =α +k·360°,k∈Z} 个集合可记为S=___________________________或 {β |β =α +2kπ ,k∈Z}. ______________________

【即时应用】 (1)思考:角α 为锐角是角α 为第一象限角的什么条件? 提示:充分不必要条件.因为锐角为大于0小于 ? 的角,而第一
2

象限角为(2kπ,2kπ+ ? )(k∈Z).
2

(2)若α 是第二象限角,判断下列表述是否正确.(在括号内填

“√”或“×”)
①{α |α =k·360°+45°,k∈Z} ②{α |90°<α <180°} ( ( ) )

③{α |k·360°+90°<α <k·360°+180°,k∈Z}

(

)

④{α |α =k·180°+135°,k∈Z}

(

)

【解析】①α=k·360°+45°,k∈Z表示的是与45°终边相同 的角,是第一象限的角,故不正确. ②90°<α<180°,不能表示所有第二象限的角,故不正确. ③正确.

④α=k·180°+135°表示的是当k为偶数时,与135°终边相 同的角;当k为奇数时,与315°终边相同的角,不能表示第二 象限的角,故不正确. 答案:①〓 ②〓 ③√ ④〓

2.弧度的定义和公式 半径长 (1)定义:长度等于______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧 度记作rad. (2)公式
角 ? 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式

l r ? = ___ (弧长用l表示) ? 180 180 ? ①1°=______rad ②1rad= (______)°
弧长l=

r? · _____

1 2 1 r ? lr 2 2 S= ____ = ____

【即时应用】 (1)337°30′的弧度数是_______. (2) 5? 的度数为_______.
12

(3)扇形半径为45,圆心角为120°,则弧长为_______. 【解析】(1)337°30′表示的弧度数为 337.5 ? ? = 15? .
5? ? 180? =75°. 5? 的度数为 (2) 12 12 ? 2?

180

8

(3)圆心角120°的弧度数为

,故弧长l=

答案:(1) 15? 8

3 (2)75°

2? 〓45=30π. 3 (3) 30π

3.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数的定义
α 为任意角,α 的终边上任意一点P(异于原点)的坐标(x,y), 它与原点的距离|OP|=r=
x 2 ? y2

(r>0),

x y y 则sinα =___; cosα =___;tanα =___ ; r r x x cscα y secα cotα =__; _____ = r ; ______= r . y x

(2)三角函数在各象限的符号
象限 符号

函数

Ⅰ +

Ⅱ +

Ⅲ -

Ⅳ -

sinα ,cscα cosα ,secα tanα ,cotα

+
+

-

+

+
-

(3)三角函数线

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在
x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图

正弦线 余弦线 中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α 的______,角α 的______
正切线 和角α 的______.

【即时应用】

(1)已知角α 终边上一点A(2,2),则sinα =______,
cosα =_____,tanα =_____,cotα =_____,secα =______,

cscα =_____.
(2)判断下列三角函数值的符号: ①sin 11 ? ________;
12 23 ③csc ? ________. 12

②tan 5 ? _________;
4

【解析】
y 2 2 ,cosα= x ? 2 , ? ? r 2 2 2 r 2 tanα= y ? 1,cotα= x ? 1 ,secα= r ? 2 ,cscα= r ? 2 . y x y x 11 (2)① ? 是第二象限角,∴sin 11 ? ? 0 . 12 12 5 ② ? 是第三象限角,∴tan 5? ? 0 . 4 4 23 ③ ? 是第四象限角,∴csc 23 ? ? 0. 12 12 2 答案:(1) 2 2 2 1 1 2 2

(1)r= 22 ? 22 ? 2 2 ,∴sinα=

(2)①正

②正

③负

弧度制的应用 【方法点睛】 弧度制的应用 (1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制下 可以应用弧长公式:l=r·α ,扇形面积公式:S=
1 lr= 1 r2α . 2 2

计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便. (2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示.

【提醒】弧度制和角度制不能混用,解决问题时要先统一.

【例1】已知扇形的圆心角是α ,半径为R,弧长为l. (1)若α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长l.

(2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α 为多少弧度时,
这个扇形的面积最大?

(3)若α =

? ,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 3

【解题指南】(1)可直接用弧长公式,但要注意用弧度制. (2)可用弧长或半径表示出扇形面积,然后确定其取最大值时的半 径和弧长,进而求出圆心角α. (3)利用S弓=S扇-S△,这样就需要求扇形的面积和三角形的面积. 【规范解答】(1)l=10〓 (2)由已知得:l+2R=20, 所以S=
1 1 lR= (20-2R)R 2 2

? 10? = (cm). 3 3

=10R-R2=-(R-5)2+25,所以R=5时,S取得最大值25,此时l=10,
α=2 rad.

(3)设弓形面积为S弓. 由题知l= 2?cm
3

S弓=S扇-S△=

=( 2? - 3 )(cm2). 3

1 2? 〓 〓2- 1 〓22〓sin ? 2 3 2 3

【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的
2 n?r 、扇形面积公式S= n?r 有着必然的内在联系. 弧长公式l= 360 180

2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所
在的三角形.

终边相同角的表示
【方法点睛】 1.角α 与 ? 所在象限的关系
2

α
? 2

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

第一或第三象限
y y

第二或第四象限
45° 135°y

45°

y 135°



225°

O

x
225°

O

x

O

x
315°

O

x
315°

2.正确区分“α 是第一象限角”与“0<α < ? ” α 是第一象限角,则有2kπ <α <2kπ + ? (k∈Z),显然,若α 是 第一象限角,不一定是0<α < ? ,若0<α < ? ,则α 必为第一象限
2 2 2 2

角.

? 【例2】已知角α 是第一象限角,确定2α , 终边所在的象限位 4

置.

【解题指南】确定α的范围,并求出2α, ? 的范围.由2α, ? 的
4 4

范围讨论终边所在位置.

【规范解答】∵α是第一象限角,
∴k·2π<α<k·2π+ (k∈Z). ∴k·4π<2α<k·4π+π(k∈Z),
? 2

即2k·2π<2α<2k·2π+π(k∈Z), ∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.

∵ k ?? <? < k ?? ? ? ? k ? Z ? ,
当k=2n(n∈Z)时, n?<? <n? ? ? ? n ? Z ? ,
2 4 2 8 4 8

∴ ? 的终边在第一或第三象限.
当k=2n+1(n∈Z)时, ? 2n ? 1? ? <? <? 2n ? 1? ? ? ? ? n ? Z ? ,
2 4 即 n? ? ? <? <n? ? 5? ? n ? Z ? , 2 4 8 ? ∴ 的终边在第二或第四象限. 4 2 8

4

综上,2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上,
? 的终边在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限. 4

【反思·感悟】

1.α是第一象限的角,是指α的终边落在第一象限内,可表示
? 为 ?? | 2k? ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?. ? ? ? 2 ?

2.解答本题时容易出现把“第一象限的角”与“锐角”混为一 谈,误认为第一象限角就是锐角而出现错误.

三角函数的定义

【方法点睛】
定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α 终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离
r,然后利用三角函数的定义求解. (2)已知角α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的 坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解 相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α 的三 角函数值.

【例3】已知角α 的终边在直线3x+4y=0上,sinα ,cosα ,tanα 的值.

【解题指南】在直线上设出点,求出所设点到原点的距离,求
得三角函数值,因为所设点可在不同象限,所以需要讨论.

【规范解答】∵角α的终边在直线3x+4y=0上,
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0), 则x=4t,y=-3t, ∴r=|PO|= x 2 ? y 2 ? ? 4t ?2 ? ? ?3t ?2 ? 5 t ,

当t>0时,r=5t, sinα= y ? ?3t ? ? 3 ,cos? ? x ? 4t ? 4 ,
r 5t 5 tanα= y ? ?3t ? ? 3 ; x 4t 4 r 5t 5

当t<0时,r=-5t,

sinα= y ? ?3t ? 3 ,

r ?5t 5 cosα= x ? 4t ? ? 4 , r ?5t 5 tanα= y ? ?3t ? ? 3 . x 4t 4 综上可知,sinα= ? 3, cosα= 4 , tanα= ? 3; 5 5 4 3 或sinα= ,cosα= ? 4 ,tanα= ? 3 . 5 4 5

【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时,方法比较灵活, 若是角α的终边落到一条直线上,一般要分类讨论. 2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系. (1)联系:锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例,它们 的基础是建立于相似或直角三角形的性质,“r”同为正值.

(2)区别:锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函
数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角三

角函数的定义.

(3)实质:由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是

由特殊到一般的认识和研究过程.

【易错误区】三角函数的定义应用误区

【典例】(2011·江西高考)已知角θ 的顶点为坐标原点,始边
为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ 终边上一点,且sinθ = ? 2 5 ,
5

则y=_______. 【解题指南】根据三角函数的定义列方程求出y值,注意y的符号.

【规范解答】由P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ= ? 2 5 可知
5

y<0,|OP|= 42 ? y2, 根据任意角的三角函数的定义得
y 42 ? y 2 ?? 2 5 , 化简得y2=64,解得y=-8. 5

答案:-8

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以得

到以下误区警示和备考建议
求解本题时,常会出现以下两种失误: 误 区 警 示 备 考 建 议 (1)不能准确理解三角函数的定义将已知条件准确转化 为方程,求出y的值. (2)虽能应用三角函数定义列出方程,但忽视了y的符号, 开方后得y=〒8,导致错误结果. 应用三角函数的定义解决有关问题要注意以下两点: (1)准确掌握三角函数定义,弄清角α的三角函数与α终 边上点的坐标的关系. (2)角α终边上点的坐标的符号决定三角函数值的符号.

1.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为 E,F,则 ( (A)E? F (C)E=F ) (B)E? F (D)E∩F=? ?

【解析】选A.因为sinx=0,sin2x=0,所以角x和角2x的终边都 在x轴上,所以E={x|x=kπ,k∈Z},F={x|x= E? F.
k? , k∈Z},所以 2

2.(2012·东营模拟)若240°终边上有一点P(-4,a),则a的值

为 (
(A) 4 3

)
(B) ?4 3 (C) ?4 3 (D) 3
3 ,

【解析】选B.240°是第三象限角,且tan240°= tan240°=
a ? 3, ∴a= ?4 3. ?4

3.(2012·德州模拟)若sinα <0,且tanα >0,则α 是 ( (A)第一象限角 (C)第三象限角 (B)第二象限角 (D)第四象限角

)

【解析】选C.设(x,y)是角α终边上一点,设r= x 2 ? y2 ? 0, 则

sinα= y ? 0, tanα= y ? 0, ∴x<0且y<0,即点(x,y)在第三象
r x

限,∴α是第三象限角.


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