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华中师大附中高一数学三角函数的图象和性质 人教版_图文

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三角函数的图象和性质 华中师大一附中高一年级 《三角函数》的小结与复习 ?学习要求: 1、理解任意角的概念、弧度的意义;能正确地进行 弧度与角度的换算. 2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利 用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切;了解任意 角的余切、正割、余割的定义;掌握同角三 角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式. 3、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式; 掌握二倍角的有关公式;由公式的推导,了解它们的 内在联系,从而培养逻辑推理能力. 《三角函数》的小结与复习 4、能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值及 恒等式证明(包括引出半角、积化和差、和差化积公式). 5、会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦、正切函数的图象, 并在此之上由诱导公式画出余弦函数的图象;掌握周期函数与 最小正周期;掌握三角函数的性质; “五点法”与 的简图. y ? A sin(?x ? ? ) 6、会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx、arccosx和 arctanx表示. 《三角函数》知识结构图 应用 弧长与扇 形面积公 式 任 意 角 的 概 念 应 用 同角三角函 数的基本关 系式 诱导 公式 应用 计算与化 简、证明 恒等式 角度制与 弧度制 任意角 的三角 函数 和角公 式 应用 三角函数 的图象与 性质 倍角公式 应用 已知三 角函数 值求角 应用 差角公式 第四章 三角函数的图象和性质 三角函数的图象 ★作图 ①描点法:⒈确定函数的定义域;⒉化简、整理函数的解 析式;⒊讨论函数的主要性质;⒋列表、描点、成图. ②变换法:由基本函数的图象变换得到,变换一般有平移、 伸缩、对称等变换. ★识图 看左右、上下的分布范围,变化趋势,对称性, 特殊点的位置等,注意图象与函数解析式中的参数的关系. ★用图 图象是函数性质的直观解释,是探求解题途径获 得问题结果的重要工具. 函数 y ? Asin(? x ?? )的图象变换 (1)平移变换 (2)周期变换 (3)振幅变换 复习点拨 三角函数的图象及其变换不仅内容丰富, 而且寓一般函数的图象及其变换于特殊之中, 是考查学生直观思维、理性思维以及数形结 合与应用能力的重要内容. 三角函数的性质 函数 定义域 值域 周期 y ? sin x y ? cos x R R [ ?1,1] 2? [ ?1,1] 2? ? ? ? y ? tan x ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ? R ? 三角函数的性质 函数 奇偶性 单调区间 ? ? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z )增 2 2 ? 3? [2k?+ , 2k? ? ](k ? Z )减 2 2 [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z )增 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z )减 y ? sin x 奇函数 y ? cos x 偶函数 y ? tan x 奇函数 ? ? (k ? ? , k ? ? ) (k ? Z )增 2 2 三角函数的性质 函数 对称轴 对称中心 k? ( , 0)( k ? Z ) 2 k? ( , 0)( k ? Z ) 2 k? ( , 0)( k ? Z ) 2 y ? sin x ? x ? k? ? ( k ? Z ) 2 y ? cos x x ? k? (k ? Z ) y ? tan x 第四章 无 三角函数的图象和性质 三角函数的性质 方法主线 (1)求三角函数定义域 一般函数的定义域的规律 三角函数本身的特有属性 (2)求三角函数值域的常用方 法 ①将所给的三角函数转化为一个角的一个函数, 利用基本函数的值域来求解. 例 求下列函数的值域: f ( x) ? 2 cos( ? ? x) ; 3 (2)求三角函数值域的常用方法 ②化为二次函数通过配方法求值域 例 y= sin 2 x sin x 1 ? cos x (“元”的范围 cos x ? 1 ) ③换元法 例 y= sin x cos x ? sin x ? cos x (“元”的范围) ④利用基本不等式求值域 注:会求值域当然最值可求 (3)三角函数的奇偶性、单调性和周期性都是 对最简形式的三角函数而言的. (化简、换元 基本三角函数性质 、复合 函数性质以及数形结合,注意先分析后判断 ) ? 如 1.求周期: y ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 3 ; 5? 2.判断奇偶性: f ( x ) ? cos( ? 2 x) . 2 化简、换元 基本三角函数性质 、复合函 数性质以及数形结合,注意先分析后判断 ? ⒊已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin x ? sin x cos x 3 2 ⑴求f(x)的最小正周期; ⑵求f(x)的最大值与最小值,并指出x的取值; ⑶求f(x)的单调区间. 基础训练题 x π 1. (1) 函数 y ? 2cos( ? )的单调增区间是 2 3 π (2) 函数 y ? sin( ? 2x)的单调增区间是 4 3 7π 答案:[k π? π ,k π ? ] (k ? Z) 8 8 4 2π 答案:[4k π? π ,4k π? ] (k ? Z) 3 3 . . 2.先将函数y? sin2x的图象向右 平移 个单位长度, 3 再将所得图象作关于y 轴的对称变换,则所得 函数 图象对应的解析式为 ( D ). 3 2? C.y ? sin(-2x? ) 3 A.y ? sin(-2x? ? ? ) B.y ? sin(-2x? ? π 2π 提示:y ? sin2x的图象右移 ,得y ? sin(2x? ), 3 3 2π 再对称变换为y? sin(?2x ? ). 3

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