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高等代数课件(北大三版)--第五章 矩阵

时间:2012-09-14


第五章
5.1 矩阵的运算

矩阵

5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.3 矩阵的分块

宇宙之大,粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁,无处不 用数学。 —— 华罗庚

5.1
一、内容分布 5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置

矩阵的运算

二、教学目的 1. 掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性 质,并能熟练地对矩阵进行运算。 2. 掌握转置矩阵及其运算性质。 3. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。 三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质,转置矩阵及其运算性质。

5.1.1 认识矩阵
设F是数域, 用F的元素 aij 排成的m行n列的数表

? a11 a12 ? a1n ? ?a a22 ? a2 n ? ? 21 ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ? ? ?
称为F上

m? n 矩阵, 简写:

A ? (aij ) m?n 或A ? (aij )

矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩 阵….., 矩阵的应用非常广泛.

5.1.2 矩阵的运算
定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A 的乘积定义为
? a11 a12 ? a1n ? ? ka11 ka12 ? ka1n ? ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? ka21 ka22 ? ka2 n ? kA ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ka ? ? m1 am 2 ? amn ? ? m1 kam 2 ? kamn ?

定义2(矩阵的加法) 给定两个 m ? n 矩阵
? a11 a12 ? a1n ? ?a a22 ? a2 n ? ? A ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ? ? ? ?

? b11 b12 ? b1n ? ?b b22 ? b2 n ? ? B ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?bm1 bm 2 ? bmn ? ? ?

A和B加法定义为:
? a11 ? b11 a12 ? b12 ? a1n ? b1n ? ?a ?b a22 ? b22 ? a2 n ? b2 n ? ? A ? B ? ? 21 21 ? ? ? ? ? ? ? am1 ? bm1 am 2 ? bm 2 ? amn ? bmn ? ? ? ?

定义3(矩阵的乘法)给定一个 m ? n 矩阵和一个 矩阵
? a11 a12 ? a1n ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? A?? ? ? ? ? ? ? ? ?a am 2 ? amn ? ? m1 ?

n?l

? b11 b12 ? b1l ? ? ? b21 b22 ? b2l ? B?? ? ? ? ? ? ? ? ?b b ? bnl ? ? n1 n 2 ?

A和B的乘法定义为
? n ? ? a1i bi1 ? i ?1 ? n a b AB ? ? ? 2i i1 ? i ?1 ? n ? ? ? ? a mi bi1 ? i ?1

? a1i bi 2 ?a
i ?1 n i ?1 n 2i i 2

n

b

?

?a
i ?1

mi i 2

b

? a1i bil ? ? i ?1 ? n ? ? ? a 2i bil ? i ?1 ? ? ? n ? ? ? a mi bil ? i ?1 ?
n

?

注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两 个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果 的形状?

5.1.3 矩阵的运算性质
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中A, B,C 均为F上的矩阵,k,l为数域F中的数)
(1) 加法交换律 A ? B ? B 注意: 矩阵的乘法不满足交换律, ? A (2) A ? 0, AB ( AC ? C ? C ( B ? C ) 消去律:加法结合律 ? A ? B) ? B ? A ?也不满足. (3) AB ? A 的两个矩阵称为可交换的. 满足: 零矩阵 BA? 0 ? A (4) 负矩阵 A ? (? A) ? 0

(5) 数乘结合律 (6) 数乘分配律

k ( A ? B) ? kA ? kB (k ? l ) A ? kA ? lA (7) 乘法结合律 ( AB)C ? A( BC ) k ( AB) ? (kA) B ? A(kB) (8) 乘法分配律 A( B ? C ) ? AB ? BC
( B ? C ) A ? BA ? CA

k (lA) ? (kl) A

? ?1 2 3 1 ? ? 4 3 2 ?1 ? ? ? ? ? 例 1 已知 A ? ? 0 3 ? 2 1 ? , B ? ? 5 ? 3 0 1 ? , 求 3A? 2B. ? 4 0 3 2? ? 1 2 ?5 0 ? ? ? ? ?

? 3 ?1 ? 例 2 已知 A ? ? 1 5 ?2 4 ?

2 0? ? 7 5 ?2 4 ? ? ? ? 7 9 ?, B ? ? 5 1 9 7?, ? 3 2 ?1 6 ? 6 8? ? ? ?

且 A? 2 X ? B, 求 X .

? 2 3? ? ? 例 3 若 A? ? 1 ?2 ?, B ? ? ? ? 3 1?

?1 ? ?2 ?

? 2 ?3 ? ? , 求 AB . ?1 0? ?

?0 ? ?0 例 5 求与矩阵 A ? ? 0 ? ?0 ?

1 0 0? ? 0 1 0? ? 可交换的一切矩阵 . 0 0 1 ? 0 0 0? ?

例 6 证明 : 如果 CA ? AC , CB ? BC , 则有
( A ? B) C ? C ( A ? B ); ( AB) C ? C ( AB).

5.1.4 方阵的多项式
单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩 阵, 记为 I n 或 I

?1 ? ? ? ?0

?

0? ?

? ? 1 ? n?n

单位矩阵也可以记为 E n 或E .它有如下性质:

I n An?m ? An?m , An?m I m ? An?m
方阵A的方幂:

A ? A...... A ? A
n n ?1

k

规定:

A0 ? I

设多项式 f ( x) ? a n x ? a n ?1 x

? ...... ? a1 x ?a 0 那么,

f ( A) ? a n A n ? a n?1 A n?1 ? ...... ? a1 A ? a 0 I
在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.

5.1.5


矩阵的转置

? a11 a12 ? a1n ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? A?? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? m1 am 2 ? amn ?

把矩阵 A 的行与列互换之后,得到的矩阵称为矩阵 记为 A ' 或 AT . 转置有下面的性质:

A 的转置矩阵,

(9) (10) (11)

( A' )' ? A
( A ? B)' ? A'? B'

? AB?' ? B' A'

5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式
一、内容分布 5.2.1 可逆矩阵的定义 5.2.2 可逆矩阵的性质 5.2.3 初等矩阵的定义、性质 5.2.4 矩阵可逆的判别 5.2.5 逆矩阵的求法 5.2.6 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别

5.2.1

可逆矩阵的定义

定义1 A为F上n 阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵(非奇异矩阵),B称为A的逆矩阵.
例:
? 2 5 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ?? 2 5 ? ? 1 0 ? ? ? 1 3 ?? ? 1 2 ? ? ? ? 1 2 ?? 1 3 ? ? ? 0 1 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? A B

A与B互为逆矩阵.
注1 有零行或零列的矩阵不可逆.

5.2.2

可逆矩阵的性质

① A可逆,则A的逆矩阵唯一。 证 设B,C均为A的逆矩阵 ,则
AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =(BA)C = IC = C ?1 ( A ?1 ) ?1 ? A ② A可逆,则 A 可逆,且 证 注意到 A( A?1 ) ? A?1 A ? I 即得.

( AB) ?1 ? B ?1 A ?1 ③ A,B可逆,则AB也可逆,且
证 注意到 AB( B ?1 A?1 ) ? ( B ?1 A?1 ) AB ? I 即得.

.

④ A可逆,则 A?可逆, 且( A?) ?1 ? ( A?1 )? ?1 ?1 证 AA ? A 由 ? I A
( A?1 )? A? ? A?( A?1 )? ? I 有 .

5.2.3

初等矩阵的定义、性质

定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. n=4
?0 ? ?0 P14 ? ? 0 ? ?1 ? 0 1 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 0 k 0

1? ? 0? 0? ? 0? ?
0? ? 0? 0? ? 1? ?

?1 ? ?0 D3 (k ) ? ? 0 ? ?0 ?

?1 ? ?0 T24 (k ) ? ? 0 ? ?0 ?

0 1 0 0

0 0 1 0

0? ? k? 0? ? 1? ?

定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左 乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘 A。如
1、交换A的i ,j 行相当于用 Pij 左乘A . 如
? a11 a12 ? ? a21 a22 ?a ? 31 a32 a13 ? ? a31 a31 ? [1,3] ? a23 ? ??? ? a21 a22 ? ?a a33 ? ? ? 11 a12 a33 ? ? a23 ? ? P A 13 a13 ? ?

2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 Di (k )左乘A . 3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 Tij (k )左乘A . 行 即 A ?? A ? EA ? A, E为相应的初等矩阵 . ?

定理2 初等矩阵可逆,且逆矩阵仍为初等矩阵.且
Pij
?1

? Pij

1 Di (k ) ?1 ? Di ( ) k

Tij (k ) ?1 ? Tij (?k )

行 引理1 A ?? A ,则 A可逆 ? A 可逆 . (初等变换 ? 不改变可逆性).

定理3 任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为

? Ir A ?? ?O ? m?r ,r

Or ,n ?r ? ? Om?r ,n ?r ? ?

证 由定理4.1.2,A可通过行及列变换化为
0 ? 0 ?1 ? 1 ? 0 ?0 ?? ? ? ? ? 0 ? 1 ?0 ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? C1,r ?1 C2,r ?1 ? Cr ,r ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? C1n ? ? C2 n ? ?? ? Crn ? 0 ? ? 0 ? ?

(*)

对(*)作第三种列变换即可化为 A

5.2.4

矩阵可逆的判别

n 阶矩阵A可逆 ? A ?? I ? A可写成初等矩阵的乘积 ?

? 秩A ? n ?| A |? 0
证明:

? Ir ① A可逆, A ? ? ?O ? n?r ,r

or ,n?r ? ?? A On?r ,n?r ? ?

则 A 可逆, A 无零行,即 A ? I . 反之,若A→I,由I可逆知A可逆.

② A→I,即I→A 即存在初等矩阵 E1 ,?, E s , E s ?1 ,?, Et 使
E s ? E 2 E1 IE s ?1 ? Et ? A

注 A可逆,则A可经初等行变换化为I.
③ 由① A→I, A ? 秩I n ? n 秩 ④ 秩A ? n ? A ? 0

5.2.5
① 行初等变换法 解: 使

逆矩阵的求法
? 即A ? ? ? 4 ? 6 ?
?1

行 ? ? 11 2 2 ? ? ,? 2 2 A可逆,由 A ??? I ,即存在初等矩阵 ?E111 , E s , ? ? ?



? ? A | I ? ?? ? I | A


从而E s ? E 2 E1 I ? A
?1

( A | I ) ? ? I ? 4 0 1 ?, ? 2 E s ? E6 E1 A 1 I? 1? ?? ? ?
?1

? 0 1? ? 1 ? 1? ?

?

? 1 0 2? ? ? A ? ? 2 ? 1 3 ?, 求A ?1 例1 ?4 1 8? ? ?

② 公式法

? a11 ? ? a 21 A?? ? ? ?a ? n1
? A11 ? ? A12 ?? ? ?A ? 1n

a12 a 22 ? an2

? a1n ? ? ? a2n ? ? ?? ? ? a nn ? ?



A21 ? An1 ? ? A22 ? An 2 ? ? A* ? ? ?? ? A2 n ? Ann ? ?

称 A*为A的伴随矩阵.

则由行列式的依行依列展开公式

ai1 A j1 ? ai 2 A j 2 ? ? ? ain A j n
? a11 ? ? a 21 * AA ? ? ? ? ?a ? n1 a12 a 22 ? an2

?| A | ?? ?0

i? j i? j

,有

? a1n ?? A11 A21 ? An1 ? ?? ? ? a 2 n ?? A12 A22 ? An 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? A ? a nn ?? 1n A2 n ? Ann ? ? 0 ? a11 A11 ? a12 A12 ? ? ? a1n A1n ? 0 a 21 A21 ? ? ? a 2 n A2 n ? ?? ? ? ? ? 0 0 ?

? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? a n1 An1 ? ? ? a nn Ann ? ?



0 0 ? ?| A | 0 ? ? ? 0 | A| ? 0 ? * * AA ? A A ? ? ? ?| A | I ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? | A |? ? ?

若A可逆,则|A|≠0,从而

1 * 1 * A( A ) ? ( A ) ? I A A
1 * 即 A ? A A
?1

例2:

? A11 ? 2 1? * A?? ? 1 1?, A ? ? A ? ? ? ? ? 12

A21 ? ? A22 ? ?

A11 ? 1, A12 ? ?1, A21 ? ?1, A22 ? 2, | A |? 1
? 1 ? 1? 故 A ?? ? ?1 2 ? ? ? ?
?1

例3:求矩阵

?1 1 1? ? ? A ? ? 2 ?1 1? ? 1 2 0? ? ?
?1

的逆矩阵.

1 ? 解法一 利用公式 A ? A . A

因为
1 1 1 2 1 0 A ? 2 ? 1 1 ? 4 ? 0,

计算每个元素 a ij 的代数余子式 Aij :

A11 ?

?1 1 2 0

? ?2, A12 ? ?

2 1 1 0

? 1,

A13 ?

2 ?1 1 2

? 5, A21 ? ?

1 1 2 0

? 2,

A22 ?

1 1 1 0

? ?1, A23 ? ?

1 1 1 2

? ?1,

A31 ?
A33 ?
所以,

1

1

?1 1
1 1

? 2, A32 ? ?
? ?3.

1 1 2 1

? 1,

2 ?1

2 ? ?? 1 ?? 2 2 ? ? 12 1 ? 1? A?1 ? A ? ? 1 ?1 1 ? ? ? 4 A 4? 5 ?1 ? 3? ? 5 ? ? ? 4

?1 4 ?1 4

1 2

? ? ?. ? 3? 4?
1 2 1 4

解法二 行初等变换法.
?1 1 ? ( A? I ) ? ? 2 ? 1 ?1 2 ? ?2?1( ?1) ? ? 1 1 ?3?1( ?1) ? ? ?? ? ?? 0 ? 3 ? ?0 1 ?
?1?3( ?1) ? ?2?3(3) ?

1 1 0 0? ? 1 0 1 0? 0 0 0 1? ? 0 0? ? ?1 ? 2 1 0? ?1 ?1 0 1 ? ? 1 1

? 1 0 2 2 0 ? 1? ? ? ?? ? ?? 0 0 ? 4 ? 5 1 3 ? ? ? 0 1 ?1 ?1 0 1 ? ? ?

?1 0 2 2 0 ? ?? ? ?? 0 0 1 5 ? 1 ? 4 4 ? 0 1 ?1 ?1 0 ?
? ? 1 ?? ? 2? ? 4 ? ? ?? ? ?

?1 ? ? ? 3? 4 1 ? ? ? ? ? 3? 4 1 ? 4 ?
1 2

?1 0 0 ? 1 2 ? ?? ? ?? 0 0 1 5 ? 4 ?0 1 0 1 4 ?
?1? 2( ?2) ? ?3? 2(1) ?

?1 4 ?1 4
1 2 1 2 1 4

1 2

?1 0 0 ? 1 2 ? 2,3 ?????? 0 1 0 1 ? 4 ?0 0 1 5 4 ?

?1 4 ?1 4

? ? ?, ? 3? 4?

所以
?? 1 ? 2 A?1 ? ? 1 4 ? 5 ? 4
1 2

?1 4 ?1 4

? ? ?. ? 3? 4?
1 2 1 4

例4 解矩阵方程 AX ? B, 其中
?1 2 3? ??1 4 ? ? ? ? ? A ? ? 0 1 2 ?, B ? ? 2 5 ?. ?0 0 1? ? 1 ? 3? ? ? ? ?

解 显然A是可逆的.先求出
A ?1 ?1 ? 2 1 ? ? ? ? ? 0 1 ? 2 ?. ?0 0 1 ? ? ?

再在原方程两边左乘 A ?1 , 得

A?1 AX ? A?1 B.

所以
? 1 ? 2 1 ?? ? 1 4 ? ? ? 4 ? 9 ? ? ?? ? ? ? ?1 X ? A B ? ? 0 1 ? 2 ?? 2 5 ? ? ? 0 11 ?. ?0 0 1 ?? 1 ? 3 ? ? 1 ? 3 ? ? ?? ? ? ?

注:当n > 3时,求 A* 的计算量较大,因此公式 (*)常用于理论的证明.

5.2.6

矩阵乘积的行列式

引理5.2.6:n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等 变换化为对角矩阵
? d1 ? ? A ?? ? ?0 ? d2 0? ? ? ? ? dn ? ?

且 | A |? d1d 2 ? d n ?| A |

① 若A的第一行、第一列元素不全为零,则总可使A 的左上角的元素不为零.
? a11 a12 ? ? a21 a22 ?? ? ? ? an1 an 2 ? a1n ? ? d1 0 ? 0 ? ? ? ? a2 n ? ? 0 ??B ?? 1 ? ? ?? ? ? A1 ? ? ? ? ann ? ? 0 ?

② 若A的第一行,第一列元素全为零,则已具有 B1 B 的形式,同理,可以把1 化为
? d1 ? ?0 ?0 ? ?? ?0 ? 0 d2 0 ? 0 0 ? 0? ? 0 ? 0? ? ? A2 ? ? ?

继续作第三种初等变换,则可将A化为对角形矩阵, 且

| A |?| A |? d1d 2 ? d n

定理:设A,B为n 阶矩阵,则 |AB| = |A| |B| 证 ① 若A为对角矩阵
? d1 ? ? A?? ? ? ? d2 ? ? ? ? ? ? dn ? ?

? d1 a11 ? ? d 2 a 21 则AB ? ? ? ? ?d a ? n n1

d1 a12 d 2 a 22 ? d n an2

? d1 a1n ? ? ? d 2 a2n ? ? ? ? ? ? d n a nn ? ?

| AB |? d1d 2 ?d n | B |?| A || B |
② 对一般情形,由引理5.2.6,A可通过第三种变换化 为对角矩阵 A ,即存在初等矩阵 T1 ,?, Ts 使

A ? T1T2 ?Ts A Ts ?1 ?Tt
从而 | AB |?| T1T2 ?Ts A Ts ?1 ?Tt B |

T1T2 ?Ts ( A Ts ?1 ?Tt B)相当于对 A Ts ?1 ?Tt B 作第三种行 初等变换. 故
T1T2 ?Ts ( A Ts ?1 ?Tt B) ?| A Ts ?1 ?Tt B | ?| A || Ts ?1 ?Tt B | ?| A || B |

推广 | A1 A2 ? Am |?| A1 || A2 | ? | Am | 定理 A,B为m×n及n×p阶矩阵,则秩(AB)≤秩A, 秩(AB)≤秩B. 特别当A可逆时,秩(AB)= 秩B.

推论:秩( A1 A2 ? Am ) ? min( 秩A1 , 秩A2 ,?秩Am ) 例5 A可逆,则存在 n 阶可逆矩阵P,Q,使 PAQ = I 证:A可逆,则
A ?? I ? E1 ? E p AE p ?1 ? Eq ? I , 令P ? E1 ? E p , Q ? E p ?1 ? Eq ,易知P,Q可逆.

5.3 分块矩阵
一、内容分布 5.3.1 分块矩阵的概念 5.3.2 分块矩阵的运算 5.3.3 特殊的分块矩阵 二、教学目的 1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算 2 掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分 块矩阵及相关公式 三、重点、难点 利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵解题

复习:拉普拉斯(Laplace)定理 在行列式 D 中任意取定了 k 行.由这 k行元素所组 成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等 于行列式 D .
a11 a12 ? a1r 0 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ar1 ar 2 ? arr 0 0 ? 0 c11 c12 ? c1r b11 b12 ?b1s ? ? ? ? ? ? cs1 cs 2 ? csr bs1 bs 2 ?bss a11 a12 ? a1r b11 b12 ?b1s ? ? ? ? ? ? ? ? ar1 ar 2 ? arr bs1 bs 2 ?bss

一、分块矩阵的概念

? a11 a12 ? A ? ? a21 a22 ?a ? 31 a32

? a11 a 12 ? A ? ? a 21 a 22 ?a ? 31 a 32 a13 a14 ? ? ? A11 a23 a24 ? ? ? ?A ? ? 21 a33 a34 ?

a 13 a 23 a 33
A12 A22

a 14 ? ? ? A11 A12 ? ? a 24 ? ? ? ?A A22 ? ? ? ? 21 a 34 ?
A13 ? ? A23 ? ?

定义 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块,每一小块 称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为 分块矩阵。

二. 分块矩阵的运算
1. 线性运算 (加法与数乘)
A12 A22 ? As 2 ? A1r ? ? ? A2r ? ? ? ? ? ? Asr ? ?
? B11 B12 ? ? B 21 B 22 ? ? ? ? ?B ? s1 B s 2 ? B1r ? ? ? B2r ? ? ? ? ? B sr ? ?
?A ? 11 ? A21 An?m ? ? ? ? ? As1 ?

B n? m

An?m? Bn?m

? A ? B11 ? 11 ? A21 ? B21 ?? ? ? ? As1 ? Bs1 ?

A12 ? B12 A22 ? B22 ? As 2 ? Bs 2

? A1r ? A1r ? ? ? A2r ? B2 r ? ? ? ? ? ? Asr ? Bsr ? ?

? kA 11 ? ? kA21 k An?m ? ? ? ? ? kAs1 ?

kA12 kA22 ? kAs 2

? kA1r ? ? ? kA2r ? ? ? ? ? ? kAsr ? ?

2.

乘法运算 符合乘法的要求
A1r? ? A2 r? ? ? Asr? ?

? A11 A12 ? ? A A ? An?m ? ? 21 22 ? ? ? ? ?A A ? s2 ? s1

? B11 ? ? B21 Bm? p ? ? ? ? ?B ? r1

B12 ? B 1t? ? AB ? (C ) , ij B22 ? B 2t? r ? ? ? ? ? Cij ? Aik Bkj ? B r 2 ? B r t? k ?1

?

例1 设
? 1 ? ? 0 A? ? ?1 ? ? 1 0 0 0? ? 1 0 0? , 2 1 0? ? 1 0 1? ? 1 0 ? ? ?1 2 B? ? 1 0 ? ? ?1 ?1 3 2? ? 0 1? , 4 1? ? 2 0?

为了求乘积AB,我们可以对A,B如下地分块
? 1 ? ? 0 A? ? ?1 ? ? 1 0 0 0? ? ? I 1 0 0? ?? 2 1 0 ? ? A1 ? 1 0 1?

O? ? I?

这里I 是二阶单位矩阵,O 是二阶零矩阵.
? 1 0 ? ? ?1 2 B? ? 1 0 ? ? ?1 ?1 3 2? ? 0 1 ? ? B1 ?? 4 1 ? ? B3 ? 2 0?

B2 ? ? B4 ?

按照分块矩阵的乘法,我们有

B1 ? AB ? ? ? A1 B1 ? B3

B2 ? ? A1 B2 ? B4 ?

这里
? ?1 2 ? ? 1 0 ? ? 1 0 ? ? ?2 4 ? A1 B1 ? B3 ? ? ?? ??? ??? ?, ? 1 1 ? ? ?1 2 ? ? ?1 ?1 ? ? ?1 1 ? ? ?1 2 ? ? 3 2 ? ? 4 1 ? ? 1 1 ? A1 B2 ? B4 ? ? ?? ??? ??? ?. ? 1 1?? 0 1? ? 2 0? ? 5 3?
? 1 ? ? ?1 AB ? ? ?2 ? ? ?1 0 3 2? ? 2 0 1? 4 1 1? ? 1 5 3?

3.

转置运算
T ? A11 T A13 ? ? T ? ? ? A12 A23 ? ? T ? A13 ? T A21 T A22 T A23

AT

? A11 A12 ?? ? A21 A22

? ? ? ? ? ?

三. 特殊的分块阵
1. 准对角阵
? A1 ? ? ? A2 ? ? A? ? ? ? ? As ? ? ? ( Ai 为方阵, ? 1,2, ?, s ) i ? ? ? ( Ai , Bi 为同阶方阵,? 1,2, ?, s ) i ? ? ? Bs ? ?

? B1 ? ? B?? ? ? ?

B2



T ? A1m ? ? A1 B 1 ? ? A1 ? ? ? T ? ? ? m ? AB ? ? ? ; A ?? ? ? ? ;A ? ? ? ?; ? ? ? A sm ? As B s ? AsT ? ? ? ? ? ? ?

? A1 ? B1 ? ? ? A? B?? ? ?; ? As ? B s ? ? ?

? kA1 ? ? ? kA ? ? ? ?; ? kAs ? ? ?

A ? A1 A2 ? As ;

A可逆 ? Ai 可逆 , ? A ?1 ? 1
且A ?1 ? ? ? ?

? ? ? ?. ?1 ? As ?

例2
?1 2 0 ? ?0 1 0 A?? 0 0 2 ? ?0 0 1 ? 解 将矩阵分块 0? ? 0? ? , 求A的行列式及逆。 3 ? 3? ? ? A1 ? ? ? A ? A1 A2 ? 3 A?? ? A2 ? ? ?
?1

A

? A1 ?1 ?? ? ?

? ? ?1 ? A2 ?

?1 ? 2 0 ? 0 ?0 1 ? ?0 0 1 ? 1 ?0 0 ? 3 ?

0 ? ? 0 ? ? 1? 2 ? ? 3 ?

2. 分块三角阵 ? A11 A12 ? A?? ? ( Aii为方阵,i ? 1, 2.) A ? A A22 ? O A22 ? 11 A可逆 ? Aii 可逆 ?1 ? A11?1 ? A11?1 A12 A22 ?1 ? ? A ?? ?1 ? O ? A22 ( i ? 1,2.) ? ?
? X 11 X 12 ? ?1 ? ? A11 A12 ? ? X 11 X 12 ? 证明:设 ?? AA ? ? ?? ? X 21 X 22 ? O A 22 ? ? X 21 X 22 ? ? ? ? A11 X 11 ? A12 X 21 A11 X 12 ? A12 X 22 ? ? I O? ? ?? ?? ? ? ?O I ? ? A22 X 21 A22 X 22 ? ? ? ? A ?1

A11 X 12 ? A12 X 22 ? O

? ?1 ?1 I ? X 22 ? A221 A22 A22 X 21? A22 O ? X 21 ? O A22 X 22 ? ? A11 X11 ? A12 X 21 ? I ? X 11 ? A111
? ?1 ? X 12 ? ? A111 A12 A22

?2 例3 ? ?0 求A ? ? 0 ? ?0 ?

1 2 0 0

3 1 2 0

4? 解:将矩阵分块 ? ?1 ? 3? ? 1? ? A A12 ? ?1 2 4? ?1 的逆阵A ? ? 11 ? A22 ? ?, A11 ? ? ? ?O A ? 1 1 ? ?0 ? ? 22 ? ? 2 ? ? ? ? 2?
? 1 / 2 ? 1 / 4 ? 5 / 8 ? 5 / 16? ? ? 1/ 2 ? 1/ 4 ? 5/ 8 ? ? 0 ?? 0 0 1/ 2 ? 1/ 4 ? ? ? ? 0 0 0 1/ 2 ? ? ?

A ?1

? A11?1 ? A11?1 A12 A22 ?1 ? ? ?? ?1 ? O ? A22 ? ?

? A11 A?? ?A ? 21

O ? ? A22 ? ?
A
?1

?1 ? A11 ?? ? ? A ?1 A A ? 1 22 21 11 ?

O ? ? ?1 A22 ? ?

3. 分块次对角阵
?O M ?? ?B ?1 ? O B ? ? ?1 ? ? M ? ? ?1 ?0 A O ? ? ? ? ?0 例3 求矩阵的逆M ? ? 1 解:将矩阵分块 ? ?0 ?
? O A? M ?? ? B O? ? ? ?
M
?1

? O ? ? ?1 ?A ?

A? ? M可逆 ? A, B可逆 O? ? 0 3 5? ? 0 1 2? 2 0 0? ? 3 0 0 ? ? 0 0 1 ? 2 / 3? ?
? ? 0 B ? ?? O ? ? 2 ? ?
?1

0 0 ?5 0 ??1 3 0 ?

? 1/ 3 ? 0 ? ? 0 ? ?

小结:
一.分块矩阵的概念
将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块,每 一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元 素形成的矩阵称为分块矩阵。 注意:分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵,且

子块也是矩阵。
作用:①简化高阶矩阵运算 ②简化运算的表达形式

二.分块矩阵的运算:
1. 线性运算 2. 乘法运算 ① 将矩阵的子块视为元素时,矩阵应符合运算 的要求 ② 相应的子块间也应符合运算的要求 3. 转置运算. 注意:大块小块一起转

三. 特殊的分块矩阵
1. 2. 3. 4.

准对角, 分块三角阵 分块次对角 一些重要公式 P215. 习题1, 习题2,习题4.

课外作业:


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