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[原创]2012年《高考风向标》高考理科数学一轮复习 第十五章 第5讲 正态分布 [配套课件]_图文

时间:2014-02-24

第 5 讲 正态分布

1.正态分布
(1)我们称 f ( x) ?

1 e 2π?

-

( x ? ? )2 ?2

(x∈R)(其中 μ、 σ(σ>0)分别为参

数)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

(2)一般地,如果对于任何实数a<b,随机变量X满足 P(a<X≤b)= f(x)D(X),则称 X 的分布为正态分布,正态分布

完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2).如果随 X~N(μ,σ2) 机变量 X 服从正态分布,记作______________ .μ、σ分别表示 标准差 . 总体的期望与_______ __________ 0 (3)当μ=__ ,σ=__ 1 时的正态分布叫做标准正态分布,记作 X~N(0,1) . __________ 2.正态曲线的特点 x 轴上方,与 x 轴不相交. (1)曲线位于___

x=μ 对称. (2)曲线是单峰的,关于直线_______

1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 2πσ . 1 (4)曲线与 x 轴之间的面积为___.

(5)当σ一定时,曲线随μ的变化沿 x 轴平移. (6)当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越____大 ,曲线越“矮 小 ,曲线越“高瘦”,表示 胖”,表示总体分布越分散;σ越____ 总体分布越集中. 3.3σ原则

(1)P(μ-σ<x≤μ+σ)=0.682 6.
(2)P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.954 4. (3)P(μ-3σ<x≤μ+3σ)=0.997 4.

1.正态曲线是( C ) A.递增函数

B.递减函数
C.从左到右先增后减的函数 D.从左到右先减后增的函数 2.标准正态分布的均值与标准差分别为( A ) A.0 与 1 B.1 与 0 C.0 与 0 D.1 与 1 D) 3.已知随机变量ξ服从正态分布 N(3,a2),则 P(ξ<3)=( 1 1 1 1 A.5 B.4 C.3 D.2

4.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0). 若ξ在(0,1)内取值的概率为 0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为___. 0.8

5.某县农民月均收入服从 N(500,202)的正态分布,则此县
农民月均收入在 500 元在 520 元间人数的百分比为________. 34.13%

解析:因为月收入服从正态分布 N(500,20 2),所以μ=500, σ= 20,μ- σ=480,μ+σ=520,所以月均收入在 (480,520) 范围 内的概率为 0.682 6. 即 P(μ-σ<ξ≤ μ+ σ)=P(480<ξ≤520)=0.682 6. 所以由图像的对称性可知,月收入在 (480,500) 和 (500,520) 的概 率相等,因此,此县农民月均收入在 500 到 520 元间人数的百 分比 34.13%.

考点 1

正态分布密度函数形式
2 2

例 1:下列函数是正态分布密度函数的是( B ) 2π - x 1 (x ? r) A.f(x)= e 2? B.f(x)= 2π e 2 2πσ

C.f(x)=

1 2 2π

( x ? 1) 2 e 4

1 -x D.f(x)= e 2 2π

2

解题思路:根据正态分布密度函数的形式 f(x)= 1 -x?? e 2? ,对照上述选项是否符合. 2πσ
2 2

解析:对于 B,μ=0,σ=1,故选 B.
x?? 1 - 明确正态密度函数 f(x)= e 2? . 2 π?
2 2

【互动探究】
x 1 - 1.正态总体的概率密度函数为 f(x)= e 8 (x∈R), 8π? 则总体的平均数和标准差分别是( C )
2

A.0 和 8 C.0 和 2

B.0 和 4 D.0 和 0

解析:由其形式知平均数和标准差分别为0 和2.

考点 2

正态分布的相关计算

例2:已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=

0.84,则 P(ξ≤0)=(
A.0.16 C.0.68

A )
B.0.32 D.0.84

解题思路:根据正态曲线的对称性得到概率的相互关系.
解析:∵P(ξ≤4)=0.84,∴P(ξ>4)=1-0.84=0.16, 又∵此正态曲线的图像关于直线 x=2 对称, 故 P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.

【互动探究】 2.为了了解某地区高三男生的身体发育情况,抽查了该地

区 1 000 名年龄在 17.5~19 岁的高三男生的体重情况,抽查结
果表明他们的体重X(kg)服从正态分布 N(μ,22),且正态分布密 度曲线如图 15-5-2,若体重在 58.5~62.5 kg 属于正常情况, 则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数约是( D )

图 15-5-2

A.997
C.819

B.954
D.683

解析:由图像知μ=60.5,由 3σ原则有

P(60.5-2≤X≤60.5+2)=P(58.5≤X≤62.5)=0.682 6,
故这 1 000 名男生中属于正常情况的人数约是 1 000× 0.682 6=682.6≈683.

2 例 3:设两个正态分布 N(μ1,σ2 1)(σ1>0)和 N(μ2,σ2)(σ2>0)的

密度函数图像如图 15-5-3,则有(

)

图 15-5-3
A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

误解分析:学生容易遗忘σ的大小与曲线的形状变化的关 系,也就是没有真正理解σ的意义. 正解:因为正态曲线的图像关于直线 x=μ 对称,由图 15-5-3 知 μ1<μ2.又 σ2 越大,即方差越大,说明样本数据越发 散,图像越矮胖;反之,σ2 越小,即方差越小,说明样本数据 越集中,图像越瘦高.则 σ1<σ2,故选 A.
【互动探究】

3.正态分布有两个参数μ与σ,(
状越扁平.( C ) A.μ越大 C.σ越大

)相应的正态曲线的形

B.μ越小 D.σ越小

例 4:已知某正态分布的概率密度曲线 f(x)=
(x ? ?) 1 - · e 2? ,x∈(-∞,+∞)的图像如图 15-5-4,则函数 2πσ
2 2

的解析式为 f(x)=________.

图 15-5-4

1 解析:由图像关于直线 x=0 对称,则 μ=0,f(0)= = 2πσ
x 1 1 ? ,故 σ=4.所以 f(x)= · e 32 . 4 2π 4 2π
2

这个题与常见的正态分布的概率的相关计算 从形式上有所不同,但同样是考查了正态曲线的特点,对称性 与最值等问题. 【互动探究】

1 -?x-3?2 4.正态总体的概率密度函数 f(x)= e 2 ,x∈R 的图 2π 1 x=3 对称;f(x)的最大值为 像关于直线______ 2π .

?x-μ?2 1 - 1.熟悉 f(x)= · e 2σ2 ,x∈(-∞,+∞)的结构特点, 2πσ

以及 μ、σ 的实际意义. 2.正态曲线的形状特征——对称性,顶点变化趋势. 3.在实际问题进行概率、百分比计算时,关键把正态分布 的两个重要参数 μ、σ 求出,然后确定三个区间(μ-σ,μ+σ), (μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ),由 3σ 原则进行联系求解.


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