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湖北省枣阳市第七中学2016届高三数学下学期期中试题 文

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湖北省枣阳市第七中学高三年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A ? {1, 2},则下列正确的是( A. 1 ? A B. 1 ? A ) C. ?1? ? A ) D. 2 ? 2i D. 1 ? A

2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ,则 z =( A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? 2i

* 3.等差数列 ?an ? n ? N 中,已知 a1 ? 5 ,且在前 n 项和 Sn 中,仅当 n ? 10 时, S10 最

?

?

大,则公差 d 满足( )

5 1 ?d ?? 9 2 1 5 ?d ? C. 2 9
A. ?
2 2

1 5 ?d ?? 2 11 5 1 ?d ? D. 11 2
B. ? )

4.直线 l : 2 x ? by ? 3 ? 0 过椭圆 C :10 x ? y ? 10 的一个焦点,则 b 的值是 ( A . ?1 B.

1 2

C. ?1或1

D .? 或

1 2

1 2
x

5. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 ? 1 , 则 f (log 1 6) 的值等于(
2

) C. ?

A. ?

1 2

B.-6

2 6.已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 2 3 sin

?x
2

5 6

D.-4

? 3 (? ? 0) ,其图象与 x 轴的相邻两个交点的


距离为 A. ? 2

? ? ,则 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最小值为( 2 2
B. 2 C. ? 3 D. ? 2 3

7.一个圆锥的全面积是底面积的 4 倍,则轴截面的面积是底面积的(

)

A



B.

1



C.



D.

倍 )

8.某医院今年 1 月份至 6 月份中,每个月为感冒来就诊的人数如下表所示: (

上图是统计该院这 6 个月因感冒来就诊人数总数的程序框图, 则图中判断框、 执行框依次应 填( ) A. i ? 6; s ? s ? ai C. i ? 6; s ? s ? ai B. i ? 6; s ? ai D. i ? 6; s ? a1 ? a2 ? ? ? ai

? y ? ?2 x ? 9.设实数 x , y 满足 ? y ? x ,则 z ? y ? 4 | x | 的取值范围是( ?y ? x ? 4 ?
A. ?? 8,?6? B. [?8,4] C. [?8,0] D. ?? 6,0?



10.已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, PA ? PD ? AB ? 2 ,

?APD ? 90? ,若点 P 、A、B 、C 、D 都在同一球面上,则此球的表面积等于
A. 4 3?
2

B. 3? .

C. 12 ?

D. 20?

11.抛物线 x ? ? y 的焦点为 A. ? ?

? 1 ? ,0 ? ? 4 ?

B. ? 0,?

? ?

1? ? 4?

C. ? ,0 ?

?1 ?4

? ?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

2

12. 已知函数 f ( x ) ? ?

?ln( x ? 1), x ? 0 ?? xe , x ? 0
x

, 方程 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0(m ? R) 有四个不相等实根,

实数 m 的取值范围是( A. ( ?? ,? )



1 e

B. ( ? ,0)

1 e

C. (? ,?? )

1 e

D. ( 0, )

1 e

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13. 如图,四边形 ABCD 是正方形,以 AD 为直径作半圆 DEA (其中 E 是 AD 的中点) , 若动点 P 从点 A 出发,按如下路线运动:

D

C
P

E A

B

??? ? ??? ? ??? ? A ? B ?C ? D ? E ? A ? D ,其中 AP ? ? AB ? 2? AE (?、? ? R) ,则下列判断中:

①不存在点 P 使 ? ? ? ? 1 ; ②满足 ? ? ? ? 2 的点 P 有两个; ③ ? ? ? 的最大值为 3; ④ 若满足 ? ? ? ? k 的点 P 不少于两个,则 k ? (0,3) . 正确判断的序号是 14 .用 .(请写出所有正确判断的序号)

min ?a, b?

表示 a , b 两数中的最小值 , 若函数

f ( x) ? min? x ? 1,? x ? 1 ?

,则不等式

f ( a ? 2) ? f (2)的解集是________________.
15.函数 f ( x) ? x ? 3x 极大值为
3



16. ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B ? 2 A , cos A cos B cos C ? 0 , 则

a sin A 的取值范围是 b

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本题 12 分) (本小题满分 12 分) 等差数列{an}满足:a1=1, a2+a6=14; 正项等比数列{bn} 满足:b1=2,b3 =8. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 18. (本题 12 分)学校在 开展学雷锋活动中,从高二甲乙两班各选 3 名学生参加书画比赛,

3

其中高二甲班选出了 1 女 2 男,高二乙班选出了 1 男 2 女。 (1)若从 6 个同学中抽出 2 人作活动发言,写出所有可能的结果,并求高二甲班女同学, 高二乙班男同学至少有一个被选中的概率。 (2)若从高二甲班和高二乙班各选一名现场作画,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名 同学性别相同的概率。 19 . ( 本 题 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , P A ? P B? A B?2 , BC ? 3 , ?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点. (1)求证: DE ∥平面 PBC ; (2)求证: AB ? PE ; (3)求三棱锥 P ? BEC 的体积.

x2 y2 2 2 0. (本题 12 分)已知椭圆 E: 2 + 2 =1(a>b>0),以抛物线 y =8x 的焦点为顶点,且离心率 a b


1 . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 F 为椭圆 E 的左焦点,O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A、 B 两点,与直线 x=-4 相交于 Q 点,P 是椭圆 E 上一点且满足 OP = OA + OB ,证明 OP · FQ 为定值,并求出该 值.
2 21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 6ax ? 1 , g ( x) ? 8a ln x ? 2b ? 1,其中 a ? 0 .

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

(Ⅰ)设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同,用 a 表示 b ,并 求 b 的最大值; ( Ⅱ ) 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 证 明 : 若 a ? 1 , 则 对 任 意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

h( x2 ) ? h( x1 ) ? 14. x2 ? x1
四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分.解答时请写清题号. 22. (本题 10 分)若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点, Ox 为极轴,选择相同的长度单位建

4

立极坐标系得曲线 C 的极坐标方程是 ? ?

6 cos ? . sin 2 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;

3 ? ?x ? ? t (Ⅱ)若直线 l 的参数方程为 ? 2 (t 为参数 ) ,当直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 ? y ? 3t ?
| AB | .
23. (本题 10 分)设函数 f ( x) ? x? | x ? 2 | ? | x ? 3 | ?m(m ? R) . (Ⅰ)当 m ? ?4 时,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ?

1 ? 4 ,求实数 m 的取值范围. m

24. (本题 10 分)已知不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2 |? 18 的解集为 A . (1)求集合 A ; (2)若 ? a , b ? A , x ? (0, ??) ,不等式 a ? b ? 围.

4 x? ?m x

恒成立,求实数 m 的取值 范

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由 A ? {1, 2}可知 1,2 是集合中的元素,元素与集合间的关系是 ? ,所以 1 ? A 考点:集合和元素的关系 2.B 【解析】 z ? 3.A 【解析】 试题分析: 由于 S10 最大, 可知数列 ?an ? 是单调 递减数列, 公差为负数, 且 a10 ? 0 ,a11 ? 0 , 将 a1 ? 5 代入得 ?

2 2(1 ? i) ? ? 1 ? i ,选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

? 5 ? 9d ? 0 5 1 ,解得 ? ? d ? ? . 9 2 ?5 ? 10d ? 0

考点:数列与不等式的综合运用.

5

4.C 【解析】 5. A 【 解 析 】 因 为 f ( x ? 2) ? f ( x) ,所以 T=2, 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 ? 1 ,
x

2 2 ? f (log 1 6) ? f (? log 2 6) ? f (2 ? log 2 6) ? f (log 2 ) ? ? f (? log 2 ) 3 3 2
3 log 2 3 3 1 ? ? f (log 2 ) ? ?(2 2 ? 1) ? ? ? 1 ? ? . 2 2 2

6.C 【解析】 试 题

















s 又函数 if ( x) 的 n , 3 1 ? 2? ? ?? ? w? 2, 图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 ,即 T ? ,所以 T ? ? ,则 2 2 2 w ? ? ? ? 4? ? 4? ] ,当 2 x ? ? 即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,又因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , , 3 2 3 3 3 3 3 2
即x?

f (x ?

? )x?

s

2

?x

?i

? n wx ?

wx 2 ?

3 wx ?

?

3

?

2

时,函数 f ( x ) 取得最小值,最小值为 f ( x) ? 2sin(2 ?

?

2

?

?

3

) ? ? 3 ,故选 C.

考点:三 角函数的图象与性质;三角函数的最值. 7.D 【解析】设圆锥的底面半径为 r 母线长为 l,高为 h,依题意: 2 2 π r +π rl=4π r , ∴l=3r,圆锥的高 ,

故 S 轴=



8.C 【解析】 试题分析: 因为要计算 1 月份至 6 月份的 6 个月的因感冒来就诊的人数, 所以该程序框图要 算出 s ? a1 ? a2 ? ? ? a6 所得到的和,①当 i ? 1 时, s ? a1 ,没有算出 6 个月的人数之和, 需要继续计算, 因此 i 变成 2, 进入下一步; ②当 i ? 2 时, 用前一个 s 加上 a2 , 得 s ? a1 ? a2 , 仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算, 因此 i 变成 3, 进入下一步; ③当 i ? 3 时, 用前一个 s 加上 a3 ,得 s ? a1 ? a2 ? a3 ,仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算, 因此 i 变成 4,进入下一步;④当 i ? 4 时,用前一个 s 加上 a4 ,得 s ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,仍 然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算,因此 i 变成 5,进入下一步;⑤当 i ? 5 时,
6

用前一个 s 加上 a5 ,得 s ? a 1 ?a 2 ?a 3 ?a 4 ?a 5 ,仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继 续计算,因此 i 变成 6,进入下一步;⑥当 i ? 6 时,用前一个

s 加 上 a6 , 得

6 个月的人数之和,因此结束循环体,并输出最后 s? a a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? ,刚好算出 6 的 s 值,由以上的分析,可得图中判断框应填“ i ? 6 ” ,执行框应填“ s ? s ? ai ” .本题给 出程序框图,求判断框、执行框应该填入的条件,属于基础题.解题的关键是先根据已知条 件判断程序的功能,构造出相应的数学模型再求解,从而使问题得以解决. 考点:算法框图. 9.B. 【解析】

? y ? ?2 x ?y ? x ? 试题分析:由题意可得,当 x ? 0 时,问题等价于在线性约束条件 ? 下,求目标函 ?y ? x ? 4 ? ?x ? 0
数 z ? y ? 4 x 的值域, 利用线性规划的知识可知 , 其取值范围为 [?6, 4] , 同理可知, 当x ?0

? y ? ?2 x ?y ? x ? 时,问题等价于在线性约束条件 ? 下,求目标函数 z ? y ? 4 x 的值域,为 [?8, 0) , ?y ? x ? 4 ? ?x ? 0
综上, z 的取值范围是 [?8, 4] . 考点:1.线性规划;2.分类讨论的数学思想. 10.C 【解析】
0 试题分析:如图,设球心为 O ,由于 PA ? PD ? AB ? 2 , ?APD ? 90 ,得 AD ? 2 2 ,

在矩形 ABCD , 可得对角线 BD ?

22 ? 2 2

? ?

2

? 2 3 ,因为 P, A, B, C , D 都在同一球面上,? 球的半径

R?

1 BD ? 3 , 2

2 因此球的表面积 S ? 4?R ? 12? ,故答案为 C.

7

考点:球的表面积公式. 11.B 【解析】抛物线 x ? ? y 是标准方程,开口向下, p ?
2

1 1? ? ? 0, ? ? ,所以焦点为 2 4? ?

故选 B 12.B 【解析】 试题分析:当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? xe ,则 f ? ? x? ? ?( x ?1)e ,由 f ? ? x ? ? 0 ? x ? ?1,
x x

即当 x ? ?1 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 ?1 ? x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1 时,函数 f ? x ? 取得

1 ,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ln( x ? 1) ? 0 , e 1 1 设 t ? f ? x? , 则当 t ? 时, 方程 t ? f ? x ? 有两个根, 当 t ? 或 t ? 0 时, 方程 t ? f ? x ? 一 e e 1 个根,当 0 ? t ? 时,方程 t ? f ? x ? 有三个根,当 t ? 0 时,方程 t ? f ? x ? 没有实数根, e
极大值,此时 f ? ?1? ?
2 2 则方程 f ( x) ? mf ( x) ? 0(m ? R) 等价为 t ? mt ? 0 ,即 t ? 0 或 t ? ?m ,当 t ? 0 时,方

程 t ? f ? x ? 有一个根,所以若方程 f ( x) ? mf ( x) ? 0(m ? R) 有四个不等的实根,则等价
2

t ? f ? x ? 有三个根,即 0 ? ?m ? ,所以 ? ? m ? 0 ,故选 B.

1 e

1 e

考点:函数的图象的应用;方程根的个数问题. 【方法点晴】 本题主要考查了函数图象的应用及函数方程根的个数的判断, 其中求解函数的

8

导数,研究函数的取值范围,利用换元法和图象法进行求解的解决本题的关键,着重考查了 转化的思想方法及数形结合思想的应用,属于难度较大的试题,本题的解答中,根据函数的 解析式作出函数 大致图象,转化为 t ? f ? x ? 根的个数问题,得以求解函数 f ? x ? 由四个不 相等的实根是实数 m 的取值范围. 13.②③ 【解析】 试题分析:建立以点 A 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴,设正方 形 的 边 长 为 2 , 点 P xp , y p

?

? 所 以 A?0,0?, B?2,0?, C?2,2?, D?0,2?, E??1,1? , 所 以
??? ? ??? ? ??? ?

AP ? ?x p , y p ? ,

AB ? ?2,0?, AE ? ??1,1?,所以由 AP ? ? AB ? 2? AE 可得 ?x p , y p ? ? ?2? ? 2?,2? ?,
所以 ?

? xp ? x p ? 2? ? 2 ? ? y p ? 1 , 当 x p ? 2, y p ? 0 时 存 在 点 p 满 足 ,所以 ? ?? ? 2 ? ? y p ? 2?

? ? x p ? 2? ? 2 ? 可得 2? ? 2? ? x p ? 2 y p ,则 x p ? 2 y p ? 2 , ? ? ? ? 1 所以①错误;②由 ? y ? 2 ? ? p ?
因为点 p 在 A ? B ?C ? D ? E ? A ? D 移动所以点 p 可能是 ?2,0?, ?0,1? ,所以②正确; 由?

? xp ? x p ? 2? ? 2 ? ? y p ,所以根据线性规划的内容可得当点 p 位于 C ?2,2? 可得 ? ? ? ? 2 ? ? y p ? 2? ? xp xp ? x p ? 2? ? 2 ? ? yp , ?k , 可得 k ? ? ? ? ? 则 yp ? ? y ? 2 ? 2 2 ? p ?

时有最大值 3, 所以③正确; 由?

根据线性规划的内容可得当 k 为负值时也有两个点 p 所以④ 错误. 考点:向量运算、线性规划及直线与圆的位置关系. 14. 2 ? a ? 4 【解析】解:利用图像法可知,那么

f ( x) ? min ?x ?1, ?x ?1?

可以作出来,然后利用函数

的性质可知, f (a ? 2) ? f (2) 的解集是 2 ? a ? 4 15. 2 【解析】 试题分析:因为 f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 3? x ? 1?? x ?1? ,令 f ? ? x ? ? 0 解得: x1 ? ?1, x2 ? 1 ,当
2

x ???? ,? 1?? ?1 ,?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? ?1,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 的

9

单 调 递 增 区 间 为 : ? ??, ?1? , ?1, ??? ; 单 调 递 减 区 间 为 : ? ?1,1? , 所 以 的 极 大 值 为

f ? ?1? ? ?1? 3 ? 2 .
考点:1.导函数;2.函数的极值. 16. (

3 1 , ) 6 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 cos A cos B cos C ? 0 , 可 知 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 , 由 正 弦 定 理 可 知

B ? 2 A ? sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A , b ? 2a cos A ,
A ? B ? C ? 180? , B ? 2 A ,所以 3 A ? C ? 180? , A ? 60? ?
以 A ? (30? , 45? ) ,

a sin A 1 ? tan A , 因 为 b 2

C ? 30? ,因为 2 A ? 90? ,所 3

3 3 a sin A 1 ? tan A ? 1,则 ? ? . 3 6 b 2

考点:正弦定理的应用. 【方法点晴】 本题主要考查了正弦定理的应用和三角函数的范围, 解答的思路就是通过把三 角形的边的问题转化为角的问题, 然后利用三角函数的基本性质解答问题, 体现了转化的思 想方法,属于中档试题,本题的解答中先利用二倍角公式化简 B ? 2 A 换成边的关系,求得

A 的范围,再根据正切函数的单调性,即可求解

a sin A 的取值范围. b
n?1

17. (1) an ? 2n ?1, bn ? 2n ; (2) Tn ? 6 ? ? 2n ? 3? ? 2 【解析】



试题分析: (1) 根据已知 a1 ? 1, a2 ? a6 ? 14 可求得公差 d , 从而可得 an . 根据 b1 ? 2, b3 ? 8 可得公比 q , 从而可得 bn . (2) 根据 an ? bn 的通项公式分析可知应用错位相减法求数列的和. 试 题 解 析 : ( 1 ) ∵

a1 ? 1, a 2 ? a6 ? 2a 4 ? 14 ? a1 ? 1, a 4 ? 7 ? d ?

a 4 ? a1 ? 2,? a n ? 2n - 1; 4 ?1

?? 2 b3 ? q ? ?4 又∵ b1 ? 2, b3 ? 8 ? ?? ? q ? 2,? bn ? 2 n ; b1 ? ? q?0 ?
因此数列 {an } , {bn } 的通项公式 an ? 2n ?1, bn ? 2n . ( 2 ) 由 ( 1 ) 有

an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n ,

Tn ? 1 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? 7 ? 2 4 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n , 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? 5 ? 2 4 ? 7 ? 2 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,
10













- Tn ? 1? 21 ? 2 (22 ? 23 ? 24 ? ? ? ? ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n?1

? 1 ? 21 ? 2 ?

2 2 (1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? -6 ? (3 ? 2n)2 n?1 1? 2

?Tn ? 6 ? ? 2n ? 3? ? 2n?1 .
考点:1 等差数列,等比数列的通项公式;2 错位相减法求和. 18. (1) p ( k ) ?

9 3 4 ? (2) p ( H ) ? 15 5 9

【解析】 试题分析:解:设高二甲班同学为 A、B、C,A 为女同学,B、C 为男同学,高二乙班同学为 D、E、F,D 为男同学,E、F 为女同学。 从 6 个同学中抽出 2 人可能的结果有 15 种 (AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF) 3分 其中高二甲班女同学,高二乙班男同学至少有一个被选中的可能结果为 9 种,记事件为 K, 则 p(k ) ?

9 3 ? 15 5

6分

(2)高二甲班和高二乙班各选一名可能的结果为 9 种, (AD)(AE)(AF)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF) 9分 两名同学性别相同且不同班级有(AE) (AF) (BD)(CD)共 4 种,记事件为 H,

p( H ) ?

4 9

12 分

考点:古典概型的运用 点评:本试题考查了利用古典概型的概率公式来求解,理解基本事件空间是解题的关键,属 于基础题。 19. (1)证明过程详见解析; (2)证明过程详见解析; (3) VP ? BEC ?

3 . 2

【解析】 试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的 体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问,由于 D、E 分别为 AB、 AC 中点,所以利用三角形的中位线得出 DE ∥ BC ,再利用线面平行的判定直接得到结论; 第二问, 由 BC ? AB , 而 DE ∥ BC 得 DE ? AB , 而 D 为 AB 中点, PA=PB, 得 PD ?AB , 所以利用线面垂直的判定得 AB ? 平面 PDE ,再利用线面垂直的性质得 AB ? PE ;第三 问,由于 PD ? AB ,利用面面垂直的性质得 PD ? 平面 ABC ,所以 PD 是三棱锥的高,而

1 1 S ?ABC ,所以 VP ? BEC ? VP ? ABC . 2 2 (1)因为 D , E 分别为 AB , AC 中点, 所以 DE ∥ BC , 又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (2)连结 PD , S ?BEC ?

4分

11

因为 DE ∥ BC ,又 ?ABC ? 90 °, 所以 DE ? AB . 又 PA ? PB , D 为 AB 中点, 所以 PD ? AB . 所以 AB ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE . 9分 (3)因为平面 PAB ? 平面 ABC , 有 PD ? AB , 所以 PD ? 平面 ABC , 所以 VP ? BEC ?

1 1 1 1 3 . VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2 2

14 分

考点:线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积. 20. (1)

x2 y2 + =1 4 3

(2)

3 ,证明见解析 2

【解析】 2 解:(1)抛物线 y =8x 的焦点为(2,0), 又椭圆以抛物线焦点为顶点, ∴a=2, 又 e=

c 1 = , a 2
2

∴c=1,∴b =3. ∴椭圆 E 的方程为

x2 y2 + =1. 4 3

(2)由(1)知,F(-1,0),

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4
消去 y,得(3+4k )x +8kmx+4m -12=0. ∵l 与椭圆交于两点, 2 2 2 ∴Δ =(8k m) -4(3+4k )(4m -12)>0, 2 2 即 m <4k +3. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1、x2 是上述方程的两个根,
2 2 2

12

∴x1+x2=-

4m2 ? 12 8km ,x · x = , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又 y1+y2=kx1+m+kx2+m =k(x1+x2)+2m

6m 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? ??? ? 8km 6m ∴ OP = OA + OB =(, ), 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
=

? 8km ? ? 6m ? ?? ? ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 3 ? 4 k 2 ? ? 由点 P 在椭圆上,得 + =1. 4 3
整理得 4m =3+4k , 又 Q(-4,-4k+m), ∴ FQ =(-3,-4k+m). ∴ OP · FQ =(2 2

2

2

??? ?

??? ?

??? ?

8km 6m , )·(-3,m-4k) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

24km 6m 2 ? 24km = + 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
=

6m 2 4m 2

3 . 2 ??? ? ??? ? 3 即 OP · FQ 为定值 . 2
= 21. (I) 2 e ; (II)证明见解析. 【解析】 试题分析: (I)先求在公共点处的切线方程,只须分别求出其斜率的值,利用导数求出在切 点处的导数值, 在结合导数的几何意义, 即可求出切线的斜率, 利用两个斜率相等得到等式, 从而用 a 表示 b ,最后再利用导数的方法求 b 的最大值即可,研究函数的最值问题,先求出 函数的极值,比较极值和端点的函数值的大小,最后确定出最大值; ( II ) 不 妨 设
3 4

x1, x2 ? (0,??) , x1 ? x2 ,

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 14 , 可 变 形 为 变 形 得 x1 ? x2

h( x2 ) ? 14x2 ? h( x1 ) ? 14x1 ,令 T ( x) ? h( x) ? 14x ,再利用导数研究函数的单调性与极值
(最值) ,即可证明命题成 立. 试题解析: (Ⅰ) 解: 设 f ( x) 与 g ( x) 的图象交于点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0 ) , 则有 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,

13

2 即 x0 ? 6ax0 ? 1 ? 8a ln x0 ? 2b ? 1

(1)

又由题意知 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,即 2 x0 ? 6a ? 由(2)解得 x0 ? a 或 x0 ? ?4a (舍去) 将 x0 ? a 代入(1)整理得 b ? 令 K (a) ?

8a x0

(2)

7 2 a ? 4a 2 ln a 2

7 2 a ? 4a 2 ln a ,则 K ' (a) ? a(3 ? 8 ln a) 2

当 a ? (0, 8 e3 ) 时, K ( a ) 单调递增,当 a ? (8 e3 ,??) 时 K ( a ) 单调递减,
8 3 所以 K (a) ?? K ( e ) ? 2e 4 ,即 b ? 2 e 4 , b 的最大值为 2 e 4 3
3 3

(Ⅱ)证明:不妨设 x1, x2 ? (0,??) , x1 ? x2 , 变形得 h( x2 ) ? 14x2 ? h( x1 ) ? 14x1 令 T ( x) ? h( x) ? 14x , T ' ( x) ? 2 x ?

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 14 x1 ? x2

8a 2 ? 6a ? 14, x

∵ a ? 1 , T ' ( x) ? 2 x ?

8a 2 ? 6a ? 14 ? 8a ? 6a ? 14 ? 0 x
h( x1 ) ? h( x2 ) ? 14 成立 x1 ? x2

所以 T ( x) 在 (0,??) 上单调递增, T ( x2 ) ? T ( x1 ) ,即 同理可证,当 x1 ? x2 时,命题也成立 综上,对任意 x1, x2 ? (0,??) , x1 ? x2 ,不等式

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 14 成立 x1 ? x2

考点:导数的几何意义;导数在函数解题中的应用;不等关系的证明. 【方法点晴】本题主要考查了切线方程的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点 的切线方程、导数在函数中的应用、不等式的证明等知识,着重考查了学生推理、运算能力 及转化与化归的思想方法,属于中档试题,本题的解答中,设 x1, x2 ? (0,??) , x1 ? x2 , 即

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 14 ,可变形为变形得 h( x2 ) ? 14x2 ? h( x1 ) ? 14x1 令 T ( x) ? h( x) ? 14x , x1 ? x2

转化为利用导数研究函数的单调性与极值(最值) ,从而证明相应的不等式. 22. (I) y ? 6 x ,曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线; (II) 8 .
2

14

【解析】 试题分析: (I)将极坐标方程两边同乘 ? ,去分母即可得到直角坐标方程; (II)写出直线

l 的参数方程的标准形式,代入曲线 C 的普通方程,根据参数的几何意义,求得 AB .
试题解析: (Ⅰ)由 ? ?

6 cos ? ,得 ? 2 sin 2 ? ? 6? cos? , y 2 ? 6 x . sin 2 ?

所以曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线.

3 ? ?x ? ? t 2 (Ⅱ) ? ? y ? 3t ?
代入 y 2 ? 6 x 得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 , t1 ? 3, t2 ? ?1

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (t2 ? t1 ) 2 ? [ 3 (t2 ? t1 )] 2 ? 2 | t2 ? t1 |? 8
2 解法二:代入 y 2 ? 6 x 得 t ? 2t ? 3 ? 0 , t2 ? t1 ? 2, t2t1 ? ?3

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (t2 ? t1 )2 ? [ 3 (t2 ? t1 )]2 ? 2 (t2 ? t1 ) 2 ? 4t2t1 ? 8
考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化;直线参数方程的应用. 23. (I) 2 ; (II) (??,0) ? {1} . 【解析】 试题分析: (I)利用绝对值的意义,去掉绝对值号,化为分段函数,利用分段函数的性质, 求解函数的最值; ( II)由 f ( x0 ) ?

1 1 ? 4 ,即 x0 ? | x0 ? 2 | ? | x0 ? 3 | ?4 ? m ? ,转为 m m

m?

1 ? g ( x) max ? 2 ,分类讨论 m ,即可求解实数 m 的取值范围. m

?3 x ? 3, x ? ?2 ? 试题解析: (Ⅰ)当 m ? ?4 时, f ( x) ? x ? | x ? 2 | ? | x ? 3 | ?4 ? ? x ? 1,?2 ? x ? 3 , ?? x ? 5, x ? 3 ?
∴函数 f ( x) 在 (??,3] 上是增函数,在 (3,??) 上是减函数,所以 f ( x)max ? f (3) ? 2 . (Ⅱ) f ( x0 ) ?

1 1 ? 4 ,即 x0 ? | x0 ? 2 | ? | x0 ? 3 | ?4 ? m ? , m m 1 成立, m

令 g ( x) ? x? | x ? 2 | ? | x ? 3 | ?4 ,则存在 x0 ? R ,使得 g ( x0 ) ? m ? ∴m?

1 1 ? g ( x) max ? 2 ,即 m ? ? 2 , m m

2 ∴当 m ? 0 时,原不等式为 (m ? 1) ? 0 ,解得 m ? 1 ,

当 m ? 0 时,原不等式为 (m ? 1) ? 0 ,解得 m ? 0 ,
2

15

综上所述,实数 m 的取值范围是 (??,0) ? {1} . 考点:分段函数的性质;函数恒成立问题的求解. 24. (1) A ? (?9,9) ; (2) m ? 14 . 【解析】 试题分析: (1)对 x 的取值情况分类讨论将绝对值号去掉,即可求解; (2)根据(1)中求 得的 A , 再结合问题, 可知其等价于 a ? b ? ( x ?

4 ? m)min , 再利用基本不等式求最值即可. x

试题解析: (1) 若 | x ? 2 | ? | x ? 2 |? 18 , 则? 或

x ? ?2 ?2 ? x ? 2 ? 或? ??( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18 ?( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18 ?

x?2 ? ,解得 ?9 ? x ? 9 ,∴ A ? (? 9, 9) ; ( 2 )∵ ? a , b ? A ? ?a , ? ?( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18
b ? (?9,9) ,
∴ a ? b ? (?18,18) ,∵ x ?

4 4 4 ? m ? 2 x ? ? m ,∴ ( x ? ? m) min ? m ? 4 ,由题可知, x x x

m ? 4 ? 18 , ∴ m ? 14 .
考点:1.绝对值不等式;2.基本不等式求最值;3.恒成立问题;4.分类讨论的数学思想.

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