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立体几何知识点整理(文科)

时间:2013-07-17


教学设计方案

立体几何知识点整理(文科)
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行
l α

l m α

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?

方法二:用面面平行实现。

符号表示:
α
l A

β

l

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??
方法三:用平面法向量实现。 若 n 为平面 ? 的一个法向

2. 线面相交

α

符号表示: 3. 线在面内
α
α l

n

l

量 , n ? l 且 l ?? , 则

l // ? 。
3. 面面平行:

符号表示:

方法一:用线线平行实现。

二.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?
β α l' m' m l

? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l // ?

? ? m // m' ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l '
方法二:用线面平行实现。

l // ?
l β α m

?

m

方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?

? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。 方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、 不重合, l // m 。 m 则

l ? AC

l α A C B

? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC , AB ? ? ? ?

2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。
1/9

方法二:用面面垂直实现。

教学设计方案

β

l m

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?

余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 cos? ? 2ab
(计算结果可能是其补角)

a θ b

c

α
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
C
β l

方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):
θ A B

l ??? ??? ? ? l ? ??

cos? ?

AB ? AC AB ? AC

α

(二) 线面角 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

(1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ? ? 于 O,连结 AO, AO 为斜线 PA 在面 ? 内 则 的射影, PAO (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。 ?
P A θ

l ?? ? ??l ?m m ? ??
α

O

方法二:三垂线定理及其逆定理。

P A O l

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?

(2)范围: [0?,90?] 当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l // ? 当 ? ? 90? 时, l ? ? (3)求法:

α

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。 三.夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围: (0?,90?] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。

方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。

(三) 二面角及其平面角
P θ O

(1)定义: 在棱 l 上取一点 P, 两个半平面内分别作 l 的垂 线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角

n α A

步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)
2/9

? —l— ? 的平面角。

教学设计方案
? ? ? m P n l

四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。
P

(2)范围: [0?,180 ?] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1: 作出二面角的平面角(三垂线定理), 并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1: 如图, 若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? , 则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A
?

? A

O

步骤 1: 过点 P 作 PO ? ? 于 O, 线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等 体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
m

n

如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直 m // ? , 线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

n1 θ

n2

方法三:公式法。
B c a A m

d n ? b D m'

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 步骤一:计算 cos ? n1 ? n2 ?? ?? ?? ? n1 ? n2
步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n2 ? 的关系,可能相等或 者互补。 高考题典例 考点 1 点到平面的距离

C

如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,

?? ?? ?

m // m' ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:
d ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos?

A 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小;
3/9

A1

C B

D

C1 B1

教学设计方案
(Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. 解答过程(Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .
?△ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

?正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1B1 ,
? AO ⊥ 平面 BCC1 B1 .连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中,O,D 分

A F C O B D

A1
别 为 B C C 1C ,

的中点, ? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD . 在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1 B , ? AB1 ⊥ 平面 A1BD . (Ⅱ)设 AB1 与 A1B 交于点 G ,在平面 A1BD 中,作 GF ⊥ A1D

C1 B1
于 F ,连结

AF ,由(Ⅰ)得 AB1 ⊥平面 A1 BD . ? AF ⊥ A1D , ?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.

在 △ AA1 D 中,由等面积法可求得 AF ? 4 5 , 5 又? AG ? 1 AB1 ? 2 , ? sin ∠AFG ? AG ?
2

AF

2 10 . ? 4 4 5 5

所以二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arcsin 10 .
4

(Ⅲ) △ A1 BD 中, BD ? A1 D ? 5,A1B ? 2 2, S△ A BD ? 6 , S△BCD ? 1 . ?
1

在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d . 由 VA ? BCD ? VC ? A BD ,得 1 S△BCD ? 3 ? 1 S△ A BD ?d , ? d ? 3S△ BCD ? 2 .
1 1

3

3

1

S△ A1BD

2

?点 C 到平面 A1BD 的距离为
考点 2 异面直线的距离

2. 2

例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别 为 BC、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离. 解答过程: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,

? EF 为 ?BCD 的中位线, EF ∥ CD,? CD ∥面 SEF ,? CD ?

4/9

教学设计方案
到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又?线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点,

? CD ? 2 6 , EF ?
?VS ?CEF ?

1 CD ? 6 , DF ? 2 , SC ? 2 2

1 1 1 1 2 3 ? ? EF ? DF ? SC ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? 3 2 3 2 3

在 Rt ?SCE 中, SE ? 在 Rt ?SCF 中, SF ? 又 ? EF ?

SC 2 ? CE 2 ? 2 3 SC 2 ? CF 2 ? 4 ? 24 ? 2 ? 30
由于 VC ? SEF ? VS ?CEF ?

6, ? S ?SEF ? 3

1 2 3 2 3 1 ,解得 h ? ? S ?SEF ? h ,即 ? 3 ? h ? 3 3 3 3

故 CD 与 SE 间的距离为

2 3 . 3

考点 3 直线到平面的距离 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程:解析一? BD ∥平面 GB1 D1 ,

D1 O1

C1 B1

A1
H G D A O

? BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求
点 O 平面 GB1 D1 的距离,

C B

? B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? A1 A ,? B1 D1 ? 平面 A1 ACC1 ,
又? B1 D1 ? 平面 GB1 D1

?平面 A1 ACC1 ? GB1 D1 ,两个平面的交线是 O1G ,

作 OH ? O1G 于 H,则有 OH ? 平面 GB1 D1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离. 在 ?O1OG 中, S ?O1OG ? 又 S ?O1OG ?

1 1 ? O1O ? AO ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

1 1 2 6 ? OH ? O1G ? ? 3 ? OH ? 2 ,? OH ? . 2 2 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

2 6 . 3
5/9

教学设计方案
解析二 ? BD ∥平面 GB1 D1 ,

? BD 上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求点 B 平面 GB1 D1 的距离.
设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB1 D1 的高,则

VB ?GB1D1 ? VD1 ?GBB1 ,由于S ?GB1D1 ?

1 ? 2 2 ? 3 ? 6, 2

1 1 4 VD1 ?GBB1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 2 3

,

?h ?

4 6

?

2 6 , 3
2 6 . 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是 选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离; 解析二是等体积法求出点面距 离. 考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图,在 Rt△AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转
6

得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 解答过程: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,

A

D

??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ?CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,?CO ? 平面 AOB ,
又 CO ? 平面 COD .?平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO ,
??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

z
A C

O

E

B

D

在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,? CE ? CO 2 ? OE 2 ? 5 .
2

又 DE ? 1 AO ? 3 .?在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
2

DE

3

3

O

?异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 . 3

x

B y

C

小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直 线上选择“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间
6/9

教学设计方案
图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常 用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? 0, ? ? . ?
? 2? ?

考点 5 直线和平面所成的角 例 5. 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45? ,AB ? 2 ,
BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. 解答过程: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥
D C A B





A

B,得 SO⊥底面 ABCD . C D

因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO , 又 ∠ABC ? 45? , 故 △A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ,

S

AO ⊥ BO ,由三垂线定理,得 SA ⊥ BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD , AD ? BC ? 2 2 ,SA ? 3 ,AO ? 由 得 SO ? 1 , SD ? 11 . 的面积 S1 ? 1 AB ? △S A B
2

C D A

O
B

2,
?1 ? SA2 ? ? AB ? ? 2 . ?2 ?
2

连结 DB ,得 △DAB 的面积 S2 ?

1 AB?AD sin135? ? 2 2
3 3

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD ? SAB ? VS ? ABD ,得 1 h?S1 ? 1 SO?S2 ,解得 h ? 2 . 设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? h ?
SD 2 22 . ? 11 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 .
11

小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系; (2)当直线和平 面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角, ③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角 例 6.如图,已知直二面角 ? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ?? ,C ? ? ,CA ? CB , (I)证明 BC ⊥ PQ ?BAP ? 45? ,直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30? . (II)求二面角 B ? AC ? P 的大小.
7/9

? C
P A B Q

?

教学设计方案
过程指引: (I)在平面 ? 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O ,连结 OB . 因为 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,所以 CO ⊥? , 又因为 CA ? CB ,所以 OA ? OB . 而 ?BAO ? 45? ,所以 ?ABO ? 45? , ?AOB ? 90? , 从而 BO ⊥ PQ ,又 CO ⊥ PQ , 所以 PQ⊥平面 OBC .因为 BC ? 平面 OBC ,故 PQ ⊥ BC . (II)由(I)知, BO ⊥ PQ ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ , P

? C
O

H A Q

?

B

BO ? ? ,所以 BO ⊥ ? .过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知, BH ⊥ AC .故 ?BHO 是二面角 B ? AC ? P 的平面角.
由(I)知, CO ⊥? ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则 ?CAO ? 30? ,
? 不妨设 AC ? 2 ,则 AO ? 3 , OH ? AO sin 30 ?

3 . 2

在 Rt△OAB 中 , ?ABO ? ?BAO ? 45? , 所 以 B O?

A ? 3 , 于 是 在 Rt△BOH 中 , O

t a ?BHO ? n

BO ? OH

3 ? .故二面角 B ? AC ? P 的大小为 arctan 2 . 2 3 2

小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面 角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条 平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面 角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7. 如图,已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面;

D1

A1 B1

C1

F

E

M D A

2 (2)若点 G 在 BC 上, BG ? ,点 M 在 BB1 上, GM ⊥ BF , 3 C
8/9

H

垂 足 为

G B

教学设计方案
H ,求证: EM ⊥平面 BCC1 B1 ;
(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1 B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ? . 过程指引: (1)如图,在 DD1 上取点 N ,使 DN ? 1 ,连结 EN , CN , 则 AE ? DN ? 1 , CF ? ND1 ? 2 . 因为 AE ∥ DN , ND1 ∥ CF ,所以四边形 ADNE , CFD1 N 都为平行四 边形.从而 EN ∥ , FD1 ∥ CN . AD

D1
C1

A1 B1

F

N
M D

E
A

H

BC BC 又因为 AD ∥ ,所以 EN ∥ ,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此
推知 CN ∥ BE ,从而 FD1 ∥ BE .因此, E,B,F,D1 四点共面. (2)如图, GM ⊥ BF ,又 BM ⊥ BC ,所以∠BGM ? ∠CFB ,

C

G B

BC 2 3 BM ? BG?tan∠BGM ? BG?tan∠CFB ? BG? ? ? ? 1. CF 3 2
BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB ∥ EM . 因为 AE ∥
又 AB⊥平面 BCC1 B1 ,所以 EM ⊥平面 BCC1 B1 . (3) 如图, 连结 EH . 因为 MH ⊥ BF , 所以 BF ⊥平面 EMH , E ⊥ 得 H B EM ⊥ BF , F 是所求的二面角的平面角,即∠EHM ? ? . 因为∠MBH ? ∠CFB ,所以 MH ? BM ? ∠MBH ? BM ? ∠CFB sin sin
? BM ? BC BC ? CF
2 2

. 于是∠EHM

? 1?

3 3 ?2
2 2

?

EM 3 , tan ? ? ? 13 . MH 13

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