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一(9)不等式的综合应用(教师)

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模块: 一、集合、命题、不等式 课题: 9、不等式的综合应用 教学目标: 熟悉不等式应用的主要题型,能够解决一些综合问题. 重难点: 不等式与其他知识点结合的综合题型. 一、 知识要点 1、 求函数的定义域、值域; 2、 讨论函数的单调性; 3、 对函数、数列、三角、向量、空间图形、解析几何中最值的计算与讨论; 4、 研究方程的实根分析; 5、 求参数的取值范围; 6、 建立不等式模型解应用题.在解综合题、探究题中运用不等式知识. 二、 例题精讲 例 1、已知关于 x 的方程 loga ? x ? 3? ? 1 ? loga ? x ? 2? ? loga ? x ?1? 有实根,求实数 a 的取 值范围. 答案: 0 ? a ? 3 ? 2 2 例 2、已知 a , b 为两个正常数, x, y 为正实数,且 a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值. x y 答案: ? a? b ? 2 例 3、关于 x 的二次方程 k ? k ? 1 x ? 2 ? a ? k ? x ? k ? 3ak ? b ? 0 对任意实数 k 均有 2 2 2 2 ? ? 根 1.求(1) a、 b 的值; (2)当 k 变化时,另一根的变化范围. 答案: (1) a ? b ? 1 ; (2) ?1 ? x0 ? 5 3 1/6 例 4、 如图, 有一块半椭圆形钢板, 其长半轴为 2 r , 短半轴长为 r , 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴, 上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S . (1) 求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2) 求面积 S 的最大值. 答案: (1) S ? 2 ? x ? r ? r ? x 2 2 (2) ?0 ? x ? r ? ; 3 3 2 r . 2 *例 5、已知函数 f ? x ? ? 是 ??2, ?1? ? ?2,4? (1) 求 a、b、c ; x2 ? c 3 为奇函数, f ?1? ? f ? 3? ,且不等式 0 ? f ? x ? ? 的解集 2 ax ? b 2 (2) 是否存在实数 m 使不等式 f ? ?2 ? sin ? ? ? ? m ? 3 对一切 ? ? R 成立?若存在, 求 2 出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案: (1) a ? 2, b ? 0, c ? ?4 ; (2)不存在 2/6 *例 6、 已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R , 且 f ? x ? 在 ?0, ??? 上是增函数, 是否存在实数 m , 使 f ? cos 2? ? 3? ? f ? 4m ? 2m cos? ? ? f ? 0? 对所有 ? ? ?0, 合条件的所有实数 m 的范围;若不存在,说明理由. 答案: 4 ? 2 2, ?? ? ?? 都成立?若存在,求出符 ? 2? ? ? ? *例 7、某座水库,设计的最大库容量是 26.2 万米 ,库区的森林覆盖率为 60%,除林地外 其余为裸露地, 林地和裸地分别有 10%和 85%的雨水变成地表水流入水库. 预测连续降雨, 且单位面积降雨量相同,库区在 x 天内降雨的总水量 y (单位:万米 )与天数 x 之间的函 数关系为 y ? 3 3 x ? x ? 18.76 ? ? x ? N * , x ? 30 ? ,水库原有水量 20 万米 3 ,在降雨的第 2 天 3 就开闸泄洪,每天泄洪量为 0.2 万米 .问连续降雨几天后,该水库会发生险情(水库里水 量超过设计的最大库容量就有危险)? 答案:15 天后. 3/6 三、 课堂练习 x 1、设有两个命题:①不等式 x ? 1 ? x ? m 的解集为 R ;②函数 y ? ? 7 ? 3m ? 是增函数, 如果这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 m 的取值范围是. 答案: 1 ? m ? 2 2、已知 f ? x ? ? ? ?1, ??1, x ? 0, ,则不等式 x ? ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ? 5 的解集是. x?0 答案: ? ??, ? 2 ? ? 3? ? 3、 已知直线 l 过点 P ? 2,1? , 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 则三角形 OAB 面积的最小值为. 答案:4 4、设 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? a 解集为. 答案: ? 2,3? 5、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费 用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. 答案:20 四、课后作业 一、填空题 2 1、已知不等式 5 ? x ? 7 x ? 1 与不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集相同,则 b ? c 的值为. lg x 2 ? 2 x ?3 ? ? 有最大值,则不等式 log x 2 ? 5 x ? 7 ? 0 的 ? a? 答案: 11 4 2、若关于 x 的方程 答案: a ? lg 2 x ? 2 无实数解,则实数 a 的取值范围是. lg ? x ? a ? 1 2 3、设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 3 ,则 f ? ?2? ? ,若 f ? x ? ? 5 ,则 x 的取值范围是. 4/6 答案:6; ?1,1 ? ? 1 a?b? ? lg a ? lg b ? , R ? lg ? ? ? ,则 P、Q、R 的 2 ? 2 ? 4、若 a ? b ? 1 , P ? lg a ? lg b , Q ? 大小关系为. 答案: R ? Q ? P 2 5、 设 a ? 0 且 a ? 1, 函数 f ? x ? ? log

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