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高中数学第一章1.11.1.1正弦定理课件新人教A版必修5

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第一章 1.1 解三角形 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1.掌握正弦定理的内容. 2.掌握正弦定理的证明方法. 3.会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 1.正弦定理. 正弦 的比相等, 在一个三角形中,各边和它所对角的________ a b c 即________ sinA =________ sinB =________. sinC 练习1:在△ABC中,A=30°, B=45°, b=2, 则a=___. 2 2.解三角形. 边和角 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的__________ 过程叫做解三角形. 练习2 :在△ ABC中,A=30°,B=60°,b= 3 ,则 90° , a=______ 1 ,c=______. 2 C=______ 1.正弦定理对任意三角形都适合吗? 答案:都适用. 2.由方程的思想,用正弦定理解三角形需要多少个已知条 件?哪几个? 答案:三个,任意两角及其一边或任意两边与其中一边的 对角. 3.正弦定理的基本作用是什么? 答案:①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与 bsinA; 角,如 a= sinB ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角 a 的正弦值,如 sinA= sinB. b 题型1 已知两角及一边解三角形 例1 :在△ ABC 中,已知 a=10,B=60°,C=45°, 求 A,b,c. 思维突破:已知两角及一边,可直接使用正弦定理及三角 形内角和定理得到. 自主解答:A=180° -(60° +45° )=75° , 3 10× a· sinB 10×sin60° 2 b= = sin75° = =5(3 2- 6), sinA 6 2 + 4 4 2 10× a· sinC 2 c= = =10( 3-1). sinA 6+ 2 4 已知两角和任一边,求其他两边和一角,解是 唯一的. 【变式与拓展】 1.已知△ABC中,A=30°,B=45°, b= 2 ,则 a=( B ) A.3 B.1 C.2 1 D. 2 2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 π 知 A=— ,a= 3 ,B=30°,则 b=( A ) 3 A.1 B.2 C.2 2 D.4 题型2 已知两边及一边的对角解三角形 例2:已知△ABC 中,a= 3 ,b= 2,B=45°,求 A,C 和 c. 思维突破:已知两边及一边的对角,可运用正弦定理求解, 但要注意解的个数的判定. 3 2 自主解答:由正弦定理及已知条件,有sinA=sin45° , 3 解得 sinA= 2 ,∵a>b,∴A>B.∴A=60° 或 120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , bsinC 2sin75° 6+ 2 c= sinB = sin45° = 2 ; 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , bsinC 2sin15° 6- 2 c= sinB = sin45° = 2 . 6+ 2 综上可知:当 A=60° 时,C=75° ,c= 2 ; 6- 2 当 A=120° 时,C=15° ,c= 2 . 已知三角形的两边及其中一边的对角,此类问 题可能出现一解、两解或无解的情况,具体判断方法是:可用 三角形中大边对大角定理,也可利用几何图形加以理解. A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 ①a=bsinA; bsinA<a<b a<bsinA 式 ②a≥b 解的 个数 一解 两解 无解 a>b 一解 a≤b 无解 【变式与拓展】 3.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B =30°,c=2 3 ,b=2,求 A,C 和 a. 2 csinB 解:由正弦定理,得 sinC= = b 又∵c>b,∴C=60° 或 C=120° . 1 3× 2 3 = . 2 2 bsinA 当 C=60° 时,A=180° -30° -60° =90° ,a= =4; sinB bsinA 当 C=120° 时,A=180° -30° - 120° =30° ,a= =2. sinB 综上可知,当 A=90° 时,C=60° ,a=4; 当 A=30° 时,C=120° ,a=2. 4.已知 b=6,c=9,B=45°,求 C,a,A. csinB 9sin45° 3 2 解:∵sinC= b = 6 = 4 >1,∴本题无解. 题型3 正弦定理的简单应用 2sinA-sinB 的值. sinC 例3:在△ABC中,若a∶b∶c=2∶3∶4.求 自主解答:∵ a = b = c , sinA sinB sinC ∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4. 不妨设 sinA=2x,sinB=3x,sinC=4x(x≠0), 2sinA-sinB 4x-3x 1 ∴ = =. 4 sinC 4x 因所求的是角的关系式,题目给出的是边的关 系式,所以应利用正弦定理,将边的关系转化为角的关系. 【变式与拓展】 5.在△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( A ) A.直角三角形 C.等边三角形 B.等腰直角三角形 D.等腰三角形 6.△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边边长分别是 a,b, 5 c,若 a= 2 b,A=2B,则 cosB=( B ) 5 A. 3 5 B. 4 5 C. 5 5 D. 6 例4 :在△ABC 中,已知 acosA=bcosB,试判断△ABC 的 形状. 试解:设 a = b =k,由 acosA=bcosB,得 sinA sinB ksinAcosA=ksinBcosB,∴sin2A=sin2B. ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,即 A=B 或 A+B

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