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双曲线定义及其标准方程2_图文

时间:2011-08-15

双曲线及其标准方程2 双曲线及其标准方程

定义 图象

MF1 ? MF2 = 2a, < 2a < F1F2 ) (0

方程

x y ? 2 =1 2 a b

2

2

y x ? 2 =1 2 a b

2

2

焦点 a.b.c 的关系

F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2

F ( 0, ±c )
谁正谁对应 a

x y ? 2 =1 2 a b
F1 o

2

2

y
M

y
M F2
F2

x
F1

x

y2 x2 ? 2 =1 2 a b

F ( ±c, 0)

位置: 确定焦 点F(0, ± c) 位置: 椭圆看分母大小 问题:如何判断焦点在哪个轴上? 问题:如何判断焦点在哪个轴上? 双曲看系数正负
练习1 练习1:写出以下 双曲线中的a,b,c的值及其焦点坐标 双曲线中的a,b,c的值及其焦点坐标

x2 1, ? 16 2 y 3, ? 16

y2 =1 9 2 x =1 9

x2 y2 F(± 2, ? = 1 F(±5,0) 9 16 y2 x2 F(0,± 4, ? = 1 F(0,±5) 9 16

练习2 练习

如果方程

双曲线, 双曲线,求m的范围

x2 y2 ? =1 2+ m m +1

表示

解:(2+m)(m+1)>0,∴m<-2或m>-1 2+m)(m+1)>0, m<m>变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时, 变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时, 求焦点坐标。 求焦点坐标。 变式2 上述方程表示焦点在x 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的双曲线 求焦点坐标。 时,求焦点坐标。
变式3 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时, 变式3 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时,求焦 点坐标。 点坐标。

参考课本 例 1(参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足

PF1 ? PF2 = 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.
解: ∵ F1 F2 = 10 >6,
PF1 ? PF2 = 6

由双曲线的定义可知, 的轨迹是一条双曲线, ∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 设所求方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设所求方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5. =6,2 =10,∴ =3, x2 y2 ? =1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 变式训练 1:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.

解: ∵ F1 F2 = 10 ,

P F1 ? P F 2 = 1 0

的轨迹是两 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y = 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变式训练 变式训练 2:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.

变式训练 变式训练 2:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.

解: ∵ F1 F2 = 10 >6, PF1 ? PF2 = 6
由双曲线的定义可知, ∴ 由双曲线的定义可知, 的轨迹是双曲线的一支 右支) 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

x y 曲线方程为 方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b 2 2 2 =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5.∴b =5 -3 =16. =6,2 =10,∴ =3, =5.∴
x2 y2 ? = 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

2

2

练习题

.(课本第54页例 已知A,B 课本第54页例) A,B两地相距800m 例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800 ,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2 ,且声速为340 340m/ 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 炸声比在B地晚2s,且声速为340 /s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 ,可知A 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点 的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680 所以爆炸点 |AB|>680m, 的距离比B地与爆炸点的距离远680 .因为|AB|>680 ,所以爆炸点 680 的轨迹是以A 为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系 , 、 两点在 轴上, 两点在x轴上 如图所示,建立直角坐标系xOy, A、B两点在 轴上,并 使 且点O与线段 与线段AB的中点重合 且点 与线段 的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为 的坐标为( ) 设爆炸点 的坐标为(x,y), 则 PA ? PB = 340×2 = 680 A o B x 即 2a=680,a=340 Q AB = 800 , ∴2c = 800,c = 400, b2 = c2 ?a2 = 44400 Q800 > PA ? PB = 680 > 0,∴x > 0 x2 2 y ( ? =1 x > 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

1:若 同时听到炮弹爆炸声, 思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 , 两地同时听到炮弹爆炸声 炸点的轨迹是什么? 炸点的轨迹是什么?
的垂直平分线. 答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上 某条曲线上, 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全, 爆炸点的准确位置 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 关心的是炮弹爆炸点的准确位置, 是炮弹爆炸点的准确位置 点的准确位置呢 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用 、C(或A、C)两处 再增设一个观测点 ,利用B、 ( 、 ) 测得的爆炸声的时间差, 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 解这两个方程组成的方程组, 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

年高考题 某中心接到其正东、正西、 思考 3: (2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正 北方向三个观测点的报告:正西、 北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响, 听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测 1020m. 点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020 . 试 . 确定该巨响发生的位置.( .(假定当时声音传播的速度为 确定该巨响发生的位置 .( 假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上) / ,相关各点均在同一平面上)

分析:依题意画出图形(如图) 分析:依题意画出图形(如图)
位置情况 情况. 直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来. 方程求出来 . 那么解方程组就可以确 定巨响点的位置. 定巨响点的位置.

P A

yC

?

o

B

x

要求曲线的方程, 恰当的建立 建立坐 要求曲线的方程 , 恰当的 建立 坐 标系是一个关键. 标系是一个关键.

课堂练习(巩固及提高) 课堂练习(巩固及提高): 练习 1.已知在 △ ABC 中 , B( ?5, 0) , C (5, 0) , 点 A 运动时满足 已知在 3 的轨迹方程. sin B ? sin C = sin A ,求点 A 的轨迹方程. 2 2 5

2.课本 2.课本 P 62 习题 2.3 A 组第 5 题 如图, 如图,圆 O 的半径为定长 r ,A 是 外一定点, 是圆上任意一点, 圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 上运动时, 相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时 当点 的轨迹是什么?为什么? 点 Q 的轨迹是什么?为什么?

x y ? = 1( x < ?3) 9 16

学习小结: 学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义 及其标准方程, 及其标准方程 , 并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统 全球定位系统就是根 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 这个原理来定位的. 据例 2 这个原理来定位的. 运用定义及现成的模型思考, 运用定义及现成的模型思考 , 这是一个 相当不错的思考方向. 即 把不熟悉的问题往 相当不错的思考方向 . 熟悉的方向转化,定义模型是最原始, 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方. 容易想到的地方.


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