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伪随机序列主要性质的研究

时间:2013-01-07


伪随机序列的主要性质研究
王磊
学号: 摘要:伪随机序列在保密通信、航空航天、测距、密码学、自动控制等领域具有重要作用。扩频通信系统 的频谱扩展是借助扩频函数而实现的。典型的扩频函数就是伪随机序列,实用的伪随机序列必须是具有随 机性,有尖锐的自相关特性,有较小的互相关值,有较多的序列数;同时还要求序列平衡,易于实现等特 点。本文介绍了应用比较广泛的m序列、gold序列和M序列,研究了伪随机序列的共有性质及其各自序列的特 性。 关键词:伪随机序列,m序列,M序列,Gold序列

Studies of the major properties of Pseudo-random sequence
Wang Lei Abstract: Pseudo—Random Sequences play an important role in many fields such as secret communication, aviation, auto-control and cryptography. The spread spectrum of communication system is achieved through spread spectrum functions. A typical spread spectrum function is pseudo-random sequence, useful pseudo-random sequence must be random, with sharp autocorrelation, cross-correlation values are smaller, have more serial numbers; also called sequence of balance, easy-to- and implement. This article describes m sequence, gold series and M series, which are broader applied and studies the nature of pseudo-random sequences and their respective sequences shared characteristics. Keywords: Pseudo-random sequence, m sequence, gold series, M series.

1 伪随机序列的概念
在现代科学中,白噪声由于其瞬时值服从正态 分布、功率谱在很宽频带内都是均匀的等特性而被 很多系统所青睐。根据香农的理论,在高斯白噪声 干扰情况下,在平均功率受限的信道上,实现有效 和可靠通信的最佳信号是具有白噪声统计特性的 信号。这是因为白噪声信号的自相关函数具有冲击 函数的特点,即具有尖锐的自相关特性。 白噪声是一种服从正态分布,功率谱均匀的随 机过程。其随机性意味着:无周期,无法复制与预 测。无周期则无法存储,不可重复则无法验证,不 可预测使得其在实际工程应用中无法被利用。为了 能达到工作的要求,需要引入具有逼近白噪声统计 特性的人工信号序列,这就是伪随机序列产生的根 源。 因此在工程实践中,只能用类似带限白噪声统 计特性的伪随机码信号来逼近。伪随机码(pseudo random code)简称PN码,可以人为产生与复制,具 有类似白噪声的性质。伪随机序列是一种确定但 “随机”产生的序列 。即伪随机序列是具有随机 特性的确定序列,是针对AWGN演化而来的,它采用
[1]

只有“0”和“1”两种电平的编码结构,拥有极好 的相关性,具有很强的抗干扰能力 ,序列的均衡 性很好实现较容易。因此,伪随机序列应用十分广 泛,如在直扩系统中用于扩展传递的信号,在调频 系统中用来控制调频系统的频率合成器。
[2]

2 伪随机序列的特点
2.1 随机序列 随机序列具有以下4个基本特性: ①序列中高低电平出现的次数大致相等; ②序列具有良好的相关特性; ③序列中连续出现的高电平或低电平被称为游程, 而长度为n(n为自然数)的游程出现的次数占总游程 数的1/2 ; ④随意将一个序列位移得到的新序列与原序列比 较,只有一半的元素相同。 2.2 伪随机序列 伪随机序列也应具有以上4个特性.伪随机序 列是人为构成的数字序列,因此它是离散的,只包 含高低2种电平,不可能具有真正的正态分布特

性.但如果序列的长度逼近无限大时,由中心极限 定理可知,它趋于正态分布。 周期为T的伪随机二进制序列应满足Golomb提 出的三条随机性公设
[3]

个数比“0”的个数只多一个。这表明,序列平均 值很小,它可降低载漏发射功率,防止载漏干扰。 (2)尖锐的自相关特性:易于同步捕捉。 周期序列的互相关函数的定义为:



① 若T为奇数,则序列{bi }一个周期内0的个 数和1的个数相差1;若T为偶数,则0的个数和1的 个数相等。 ② 长度为T的周期内,1游程的个数占游程总 数的1/2,2游程的个数占游程总数的1/22,? ,d 游程的个数占游程总数的1/2d,而任意长度的0的 游程个数与1的游程个数相同。 ③ 序列的异相自相关函数R(j)是一个常数。 公设①和②的意义很明确,主要用于衡量序列 的平衡性和随机性,而公设③ 意味着对序列与其 平移后的序列作比较,不能获取其它任何信息。

Ra ,b ? j ? ?

1 p ? aibi? j p i ?1

式中p为序列的周期。若两个函数相等,称自 相关函数,记作R(j)。对于取值是+1和一1,周期为 p的二进制码元序列自相关函数为:

? 1, R? j? ? ? ??1 p ,

j ?0 j ? 1, 2,?, p ? 1

m序列是一双值自相关序列,有优良的自相关 特性。但是,在码分多址通信中,不同地址的扩频 码互相关值要小,以便互不干扰,使用m序列作为 地址码时,组成互相关值小的序列集很少。 3.2 Gold序列及其特性分析 Gold序列是为了解决m序列个数不多且m序列 之间的互相关函数值不理想而提出的,它是用一对 周期和速率均相同的m序列优选对模2加后得到的。 其发生器结构框图如图所示:
n级m序列发生器
时钟

3 伪随机序列的分类及其特性
3.1 伪随机序列的分类 现代科学中常用的伪随机序列有m序列、Gold 序列、M序列、Walsh序列以及R-s序列等。 最常用的伪随机序列之一是m序列 , m序列是 一种重要的伪随机序列,由于其容易产生、规律性 强,而且具有许多优良的性能,因此是最早得到广 泛应用的,同时如Gold序列等很多伪随机序列都是 由m序列衍生而来的。 3.2 m序列及其特性分析 m序列是由n级线性移位寄存器产生的周期为 2n-1的码序列, 是最长线性移位寄存器序列的简称, 其结构框图如图所示。
[4]

m2

+
n级m序列发生器
Gold码序列发生器

模2加

Gold序列码

m1

Gold序列具有良好的自、互相关特性,且地址 数远远大于m序列地址数。所谓m序列优选对是指: 设a是对应于n级本原多项式f(x)所产生的m序列,b 是对应于n级本原多项式g(x)所产生的m序列,当它

+
C0=1 C1

+
C2

+
Cn-1 Cn=1

们的互相关函数值|Ra,b(k)|满足

an-1

an-2

a1

a0

Ra,b ? k ? ? 2 Ra,b ? k ? ? 2

n?1 2 n?1 2

? 1? n为奇数? , ? 1? n为偶数? 则m序列a和b

线性反馈移位寄存器

m序列的理论已经很成熟, n级移位寄存器可以 产生的m序列个数由下式决定:

构成一对优选对。Gold码是由两个码长相等,码时 钟速率相同的m序列优选对模2加构成。 每改变两个 m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列,当相 对位移(2n-1)位时, 就可得到一族(2n-1)个Gold序列。 再加上两个m序列,共有(2n-1)Gold序列码。 Gold序列的性质: (1)平衡性:Gold码可分为平衡码和非平衡码, 平衡码约占总码的一半。

N s ? ? ? 2n ? 1? n
其中,φ (x)为欧拉函数,其值小于等于x,并 与x互质的正整数的个数(包括1在内)。 m序列的性质: (1)平衡性:在m序列的一个周期中,“1” 的

(2)较好的自相关特性: Gold码的自相关函数为 三值函数(u1,u2,u3)。其值为:
? ? n2 1 ? 2 ? 1, n为奇 , u1 ? ?1 , u2 ? ? n ? 2 ? 2 2 ? 1, n为偶 ?

(2)均衡性:M序列每一周期中l的个数比0的个 数多1个。在二进制中奇数的末位必为“l”,偶数 的末位必为“0”,由于p=2n-1为奇数,因而在每个 周期中1的个数为(p+1)/2=2n-1 为偶数, 而0的个数 为(p-1)/2 =2n-1-1为奇数。 (3) 随机性: 一个序列中取值(1或0)相同连在一 起的元素合称为一个游程。一个游程中元素的个数 称为游程长度。M序列的一个周期(p=2n -1)中,游 程总数为2n-1。其中长度为l的游程个数占游程总数 的1/2;长度为2的游程个数占游程总数的1/4; 长度为3的游程个数占游程总数的1/8;长度为k的 游程个数占游程总数的1/2k,其中1≤ k≤ (n-2)。 而且在长度为k的游程中,连1游程与连0游程各占 一半,长为(n- 1)的游程是连0游程,长为n的游程是 连l游程。 (4) 移位相加特性一个M序列Mp和其经任意 次延迟移位产生的另一个序列Mr模2相加,所得的 仍是Mp的某次延迟移位序列Ms。 4 结语 作为产生随机数值的工具而引入的伪随机序

? ? ? n2 1 ? ? ? 2 ? 1? , n为奇 ? ? ? ? 。 u3 ? ? n?2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ? 1? , n为偶 ? ? ?

(3)较好的互相关特性: Gold码互相关值不超过 优选对互相关值, 具有三值互相关函数(vl, v3), v2,
? 1 ? n2 1 ? ? 1? 其值为 v1 ? ? ? 2 p? ?

? n为奇数 ? ,

v2 ? ?

1 ? n?2 ? 2 ? 2 ? 1? p? ?

? n为偶数? ,
下可知,这

1 v3 ? ? p

?p?2

n

? 1? 。验算—

列,其应当具备良好的随机性和平衡性,m序列是 最早广泛应用于实践中的伪随机序列。m序列产生 简单,随机性和相关特性都很好。但由于m序列族 的规模相对较小,不能独立地满足大规模系统的要 求,因此大量以m序列为基础构造的伪随机序列族 产生了,比如Gold序列、M序列等。由于像m序列、 M序列和Gold序列这样的优秀伪随机序列的出现, 需要近似随机数值的科研领域,例如环境仿真、扩 频通信等领域得到了极大的发展。相信在不久的将 来,还会有更多更完美的伪随机序列产生,为科学 实践做出更多的贡献。

些互相关值,都大大低于自相关值,且约有50%— 75%以上的Gold码序列有最低的互相关函数值

? 1? ?? ?。 ? p?
3.2 M序列及其特性分析 M序列是最长的非线性移位寄存器序列,它由 非线性移位寄存器产生的码长为2 的周期序列,可 由m序列在适当位置插入全零状态实现。由计算可 知M序列的周期是m序列周期的两倍,M序列的数 量比m序列的数量大许多倍 。因此用M序列对信 息加密提供了丰富的资源,增强了信息的隐藏能 力。 M序列的性质: (1)周期性:一个n级线性移位寄存器可能产生 的最长周期为p=2 -1。在n级线性移位寄存器中,每 级只能有两种状态:0或1。故n级线性移位寄存器 最多可能有2 种不同状态,由于全为“0”状态,后 续状态也全为“0”,所以在线性反馈情况下,最 大周期为p=2 -1。
n n n [5] n

参考文献:
[1]景占荣.信号检测与估计[M].北京:化学工业 出版社,2004. [2]陈海龙.随机信号处理[M].北京:清华大学出 版社,2003. [3]肖国镇.伪随机序列及其应用[M].北京:国防 工业出版社 [4]陈海龙,李宏.基于Matlab的伪随机序列的产 生与分析[J].计算机仿真,2005(5):98—100 [5]刘志军.基于M序列与Word文档的信息隐藏算法 [J].通信技术:2009(07):113-115


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