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高三数学章节训练题38:空间向量

时间:2011-12-26


高三数学章节训练题 38《空间向量》 38《空间向量》
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 选择题( 小题, 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.下列各组向量中不平行的是( ) A. a = (1,2,?2), b = ( ?2,?4,4) C. e = ( 2,3,0), f = (0,0,0)

r

r

B. c = (1,0,0), d = ( ?3,0,0) D. g = ( ?2,3,5), h = (16,24,40) )

r

r

r

r

r

r

2.已知点 A( ?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. ( ?3,?1,4) B. ( ?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)

3.若向量 a = (1, λ ,2), b = ( 2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为 A. 2 B. ? 2 C. ? 2 或

r

r

r

r

8 ,则 λ 等于( 9



2 55

D. 2 或 ?

2 55
) D.等边三角形 )

4.若 A (1,?2,1) ,B ( 4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

r 5.若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x + 2,2 ? x ) ,当 AB 取最小值时, x 的值等于(
A. 19 B. ?

8 7

C.

8 7

D.

19 14

6.空间四边形 OABC 中, OB = OC , ∠AOB = ∠AOC = ( A. )

π
3

uuu uuu r r
,则 cos < OA, BC >的值是

1 2

B.

2 2

C.-

1 2

D. 0

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.若向量 a = ( 4,2,?4), b = (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b ) ( a + 2b ) = __________________。 2.若向量 a = 2i ? j + k , b = 4i + 9 j + k , ,则这两个向量的位置关系是___________。 3. 已知向量 a = ( 2,?1,3), b = ( ?4,2, x) , a ⊥ b , x = ______; a // b 则 x = ______。 若 则 若 4.已知向量 a = mi + 5 j ? k , b = 3i + j + rk , 若 a // b 则实数 m = ______, r = _______。 5.若 (a + 3b ) ⊥ (7 a ? 5b ) ,且 ( a ? 4b ) ⊥ (7 a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角为____________。 6 . 若 A(0, 2,

r r

r

r

r

r

r

r

r

r r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

19 5 5 ) , B (1, ?1, ) , C (?2,1, ) 是 平 面 α 内 的 三 点 , 设 平 面 α 的 法 向 量 8 8 8

r a = ( x, y, z ) ,则 x : y : z = ________________。

7. 已知空间四边形 OABC , M , N 分别为 OA, BC 的中点, OA = a , OB = b , OC = c , 点 且 用 a , b , c 表示 MN ,则 MN =_______________。 8.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长是 1 ,则直线 DA1 与 AC 间的距离为 三、解答题:(本大题共 1 小题,满分 10 分) 1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ∠DAB = 90 o , PA ⊥ 底面 。

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1 , AB = 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ⊥ 面 PCD ;(Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。

ABCD ,且 PA = AD = DC =

一、选择题 1.D

r r r r u r r u r r b = ?2a ? a // b; d = ?3c ? d // c; 而零向量与任何向量都平行

2.A 关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变

3.C

r r r r ab 6?λ 8 2 = , λ = ?2, 或 cos < a, b >= r r = 2 55 a b 3 λ +5 9

4.A

uuu uuur r uuu r uuur uuu r AB = (3, 4, 2), AC = (5,1,3), BC = (2, ?3,1) , AB AC > 0 ,得 A 为锐角; uuu uuu r r uuu uuu r r CA CB > 0 ,得 C 为锐角; BA BC > 0 ,得 B 为锐角;所以为锐角三角形

5.C

uuu r uuu r AB = (1 ? x, 2 x ? 3, ?3 x + 3), AB = (1 ? x) 2 + (2 x ? 3) 2 + (?3 x + 3)2

= 14 x 2 ? 32 x + 19 ,当 x =
uuu uuu r r uuu uuu r r OA BC 6.D cos < OA, BC >= uuu uuu r r OA BC
二、填空题 1. ?212 2.垂直 3.

r 8 时, AB 取最小值 7 uuu uuur r r r π uuu uuu π uuu uuur uuu r r OA OC cos ? OA OB cos OA (OC ? OB) 3r r 3 =0 = = uuu uuu r r uuu uuu OA BC OA BC

r r r r 2a ? 3b = (?10,13, ?14) , a + 2b = (16, ?4, 0) r r r r r r a = (2, ?1,1), b = (4, 9,1), a b = 0 ? a ⊥ b

10 10 r r r r , ?6 若 a ⊥ b ,则 ?8 ? 2 + 3 x = 0, x = ;若 a // b ,则 2 : (?4) = (?1) : 2 = 3 : x, x = ?6 3 3 r 1 r m 5 ?1 1 4. 15, ? a = (m,5, ?1), b = (3,1, r ), = = , m = 15, r = ? 5 3 1 r 5 r2 r r r2 r2 r r r2 r r r2 r2 r r 5. 0 7 a + 16a b ? 15b = 0, 7 a ? 33a b + 20b = 0, 得49a b = 35b , 49a = 35a b

r r r 35 r 2 a 35 r r a b = b , r = ,cos < a, b >= 49 b 49
6. 2 : 3 : (?4)

r a r a

r r 35 b2 b 49 35 r = r r = 49 b a b

r b r =1 a

uuu r r r ur uuur 7 uuur 7 u uuu AB = (1, ?3, ? ), AC = (?2, ?1, ? ), α AB = 0, α AC = 0, 4 4
2 ? ?x = 3 y 2 4 ? , x : y : z = y : y : (? y ) = 2 : 3 : (?4) ? 3 3 ?z = ? 4 y ? 3 ?

7.

1 r r r (b + c ? a ) 2

uuuu uuur uuuu 1 r r 1 r r r MN = ON ? OM = (b + c) ? a 2 2

8.

3 3

uuur uuuu r A(0, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0), A1 (0, 0,1), AC = (1,1, 0), DA1 = (0, ?1,1) uuuu r uuur uuuu r uuuu r

设 MN = ( x, y, z ), MN ⊥ AC , MN ⊥ DA1 , x + y = 0, ? y + z = 0, 令y = t

uuuu r

则 MN = ( ?t , t , t ) ,而另可设 M ( m, m, 0), N (0, a, b), MN = ( ? m, a ? m, b)

uuuu r

uuuu r

? ? m = ?t r r 1 uuuu 1 1 1 uuuu 1 1 1 3 ? + + = ?a ? m = t , N (0, 2t , t ), 2t + t = 1, t = , MN = (? , , ), MN = 3 3 3 3 9 9 9 3 ?b = t ?
三、填空题 证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B (0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P (0, 0,1), M (0,1, ) . 2
(Ⅰ)证明:因 AP = (0,0,1), DC = (0,1,0), 故 AP ? DC = 0, 所以AP ⊥ DC. 由题设知 AD ⊥ DC , AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 且 由此得 DC ⊥ 面 PAD . 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD . (Ⅱ)解:因 AC = (1,1,0), PB = (0,2,?1),

故 | AC |= 2 , | PB |= 5 , AC ? PB = 2, 所以 cos < AC , PB >= AC ? PB | AC | ? | PB | = 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y , z ) ,则存在 λ ∈ R, 使 NC = λ MC ,

1 1 NC = (1 ? x,1 ? y,? z ), MC = (1,0,? ),∴ x = 1 ? λ , y = 1, z = λ .. 2 2 uuur uuuu r 1 4 要使 AN ⊥ MC , 只需 AN MC = 0即x ? z = 0, 解得λ = . 2 5

4 1 2 可知当λ = 时, N点坐标为( ,1, ), 能使 AN ? MC = 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN = ( ,1, ), BN = ( ,?1, ), 有 BN ? MC = 0 5 5 5 5

由AN ? MC = 0, BN ? MC = 0得AN ⊥ MC , BN ⊥ MC.所以∠ANB 为
所求二面角的平面角.

uuur 30 uuur 30 uuur uuur 4 Q| AN |= ,| BN |= , AN BN = ? . 5 5 5 uuur uuur uuur uuur AN BN 2 ∴ cos( AN , BN ) = uuur uuur = ? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为 arccos(? ). 3


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