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四川省成都市2013届高三一诊模拟考试文科数学试题

时间:2013-04-06

四川省成都市 2013 届高三一诊模拟考试 文科数学试题
(考试时间: 2012 年 12 月 27 日 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式
A
x?2 x?3 ? 2 的解集是(

总分:150 分)


B
( ? ? , ? 8] ? [ ? 3, ? ? )

( ? ? , ? 8] ? ( ? 3, ? ? )

C. [ ? 3, 2 ]

D

( ? 3, 2 ]

2.若复数
A

( B

,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 4 C 6 D -6 )

-2

3.公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1
r r

B.2
r r

C.3
r r

D.4
r r r

4.已知平面向量 a , b 满足 | a |? 1,| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则“m=1”是“ ( a ? mb ) ? a ” 的( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件

5.关于命题 p : A ? ? ? ? ,命题 q : A ? ? ? A ,则下列说法正确的是( A. ? ? p ? ? q 为假 C. ? ? p ? ? ? ? q ? 为假 6.设函数 f ( x ) ? sin 3 x ? | sin 3 x |, 则 f ( x ) 为 ( A.周期函数,最小正周期为
2? 3

B. ? ? p ? ? ? ? q ? 为真 D. ? ? p ? ? q 为真 )
?
3

B.周期函数,最小正周期为

C.周期函数,最小正周期为 2? D.非周期函数 7.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):( ) ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b” ; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d ∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b” . 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

8.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长 为 2 的正三角形, 侧棱长为 3, B B1 与平面 A B1C 1 所成的角为 则 ( A.
?
6

B1


A1

B.

?
4 1
2 1

C.

?
3

D.

?
2

C1

9.设集合 A ? [0, ), B ? [ ,1] ,函数
2
A

B

1 ? ? x ? , ( x ? A) f ( x) ? ? 则 x 0 ? A且 f [ f ( x 0 )] ? A , x 0 的取值范围是 2 ? 2 (1 ? x ), ( x ? B ) ?

C




1 4

A.( 0,

]

B.(

1 1 , ] 4 2

C.(

1 1 , ) 4 2

D.[0,

3 8

]

10 . 定 义 在 ( ? 1 , 1 )上 的 函 数 f ( x ) ? f (y )? f (
1 1 1 ) ? f ( ) ,Q ? f ( ) ,R ? 5 11 2

x? y

1 ? xy

; 当 x ? ( ? 1 , 0时 f x ? , 若 ) ) ( ) 0

P ? f(

f ( 则) , P Q 的大小关系为( 0 , R ,



A. R ? Q ? P

B. R ? P ? Q C. P ? R ? Q

D. Q ? P ? R

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.若
x ? log 4 3, 则 (2 ? 2
x ?x

) ?
2

12.某程序的框图如图所示,若执行该程序,则输出的 i 值为 13 . 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C 1 D ! 中 , M 、 N 、 P 、 Q 分 别 是
AB 、 AA 1、 C 1 D1、 CC 1 的中点,给出以下四个结论:

① A C 1 ? M N ; ② AC 1 //平面 M N P Q ; ③ AC 1 与 P M 相交; ④ N C 1 与 P M 异面 其中正确结论的序号是 . 。

14 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ,则其最大值为

r r ? m ? 2 2 15.设两个向量 a ? ( ? ? 2, ? ? cos ? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中 ?, m, ? 为实数.若
? 2 ?
r r ? a ? 2 b ,则 的取值范围是

m

三、解答题(第 16—第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。共 75 分) 16.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A、B、C 三个区 中抽取 6 个工厂进行调查.已知 A、B、C 区中分别有 18,27,9 个工厂. (1)求从 A、B、C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 6 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。

17.已知向量 m ? ( 3 sin

u r

r u r r x 2 x ,1) , n ? (co s , co s ) , f ( x) ? m ? n 4 4 4 x

(1)若 f ( x ) ? 1 ,求 co s( x ?

?
3

) 的值; 1 2

(2)在 ? ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c ,且满足 a cos C ?
f ( B ) 的取值范围.

c ? b ,求函数

18.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、 N 分别是 AB 、 AC 的中点, G 是
DF 上的一动点.

(1)求证: GN ? AC ; (2)当 FG ? GD 时,在棱 AD 上确定一点 P ,使得 GP //平面 FMC ,并给出证明.

19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q ( x ) ? 1 7 0 ? 0 .0 5 x ,试问生 产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)

20



















? ?

uu r an







ur a1 ? (1,1)



uu r 1 a n ? ? x n , y n ? ? ? x n ?1 ? y n ?1 , x n ?1 ? y n ?1 ? ? n ? 2 ? . 2 uu r (1)证明: a n 是等比数列;

? ?
uu r

(2)设 ? n 是 a n ?1 , a n 的夹角 ? n ? 2 ? , b n = 2 n? n ? 1 , S n ? b1 ? b2 ? L ? bn ,求 S n ; (3)设 c n ? a n log 存在,请说明理由.
2

uuu uu r r

uu r a n ,问数列 ? c n ? 中是否存在最小项?若存在,求出最小值;若不

21.已知函数 f ? x ? ? x ln x . (1)求函数 f ? x ? 的极值点; (2)若直线 l 过点(0,—1),并且与曲线 y ? f ? x ? 相切,求直线 l 的方程;
g ? x ? ?1, e ? (3)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? a ? x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 在 上的最小值.(其中 e

为自然对数的底数)

参考答案 一、选择题 题号 答案
4 3

1 A

2 D

3 C

4 C

5 C

6 A

7 C

8 A

9 B

10 B

二、填空题 11、

12、7 13、1\3\4 14、2
6 15、 ? ? 1,?

三、解答题(第 16—第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。共 75 分) 16.【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考 查.
6

1 解:(1)工厂总数为 18+27+9=54,样本容量与总体中的个体数的比为 5 4 = ,所以从 A, 9 B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1.????5 分 (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1 为 在 C 区中抽得的 1 个工厂. 在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个, 全部可能的结果有: (A1, A2), (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),,(B2,B3),(B2,C1),,(B3,C1)共 15 种. 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区(记为事件 X)的结果有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),,(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1)共 9 种.所
9 ? 3 5 .????11 分

以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= 1 5

答:(1)从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1. (2)这 2 个工厂中至少有
3

1 个来自 A 区的概率为 5 .????12 分 17 【解析】本题主要考查向量的数量积、二倍角的正弦、余弦公式、两角和与的正弦公式、 以及余弦定理的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 解: (1)? f ? x ? ? m ? n ? 3 sin 3分 而 f ? x ? ? 1,? sin ?
?x ?2 ?

x 4

co s

x 4

? co s

2

x 4

?

3 2

sin

x 2

?

1 2

co s

x 2

?

1

?x ? ? 1 ? sin ? ? ? ? , 2 6 ? 2 ?2

??

? ?

1 ?? . 6 ? 2

? ? ? ? 1 ? ?x ? ? 2 ? x ? cos ? x ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? . ??6 分 3? 2 6 ? 2 6 ? 2 ? ? ?

(2)? a co s C ?

1 2

c ? b ,? a ?

a ?b ?c
2 2

2

?

1 2

c ? b , 即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,? cos A ?

1 2

.

2ab

又? A ? ? 0, ? ? ,? A ? 又? 0 ? B ?
2? 3 ,?

?
3 ?

????????????9 分
B 2 ?

?
6

?
6

?

?
2

,

? 3 ? f ? B ? ? ? 1, ? 2

? ? . ????????????????12 分 ?

18.【解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、空间直线与直线、直线与平面的位置 关系. 属于基础知识、基本思维的考查. 证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN 又 FD⊥AD FD⊥CD, ? FD⊥面 ABCD ? FD⊥AC
? AC⊥面 FDN

GN ? 面 FDN

? GN⊥AC??????????????????????6 分

(2)点 P 在 A 点处 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ? G 是 DF 的中点,? GS//FC,AS//CM ? 面 GSA//面 FMC
GA ? 面 GSA

即 GP//面 FMC????????????12 分 19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q ( x ) ? 1 7 0 ? 0 .0 5 x ,试问生 产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本) 【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.

? GA//面 FMC

P (x) ?

12500 x

? 4 0 ? 0 .0 5 x

解:(Ⅰ)

???????????????3 分

由基本不等式得 P ( x ) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90
12500 ? 0 .0 5 x

当且仅当

x

,即 x ? 500 时,等号成立

????????5 分

P (x) ?

12500 x

? 4 0 ? 0 .0 5 x



,成本的最小值为 90 元. ????????6 分

(Ⅱ)设总利润为 y 元,则
y ? xQ ( x ) ? xP ( x ) ? ? 0 . 1 x ? 130 x ? 12500
2

? ? 0 . 1( x ? 650 ) ? 29750
2

y ? 29750 当 x ? 650 时, m ax ????????????????????11 分

答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.? ??12 分 20.【解析】 解: (1) a n ? 5分 ∴数列 a n 是以公比为
?? ? 1 2

? x n ?1 ?

y n ?1 ? ? ? x n ?1 ? y n ?1 ? ?
2 2

2 2

x n ?1 ? y n ?1 ?
2 2

2 ???? a n ?1 2

? n ? 2 ? ??

? ?

?? ?

2 2

,首项为 a1 ?

??

2 的等比数列;??? ??6 分

???? ?? ? 1 1 2 1 ???? 2 2 (2)∵ a n ?1 ?a n ? ? x n ?1 , y n ?1 ? ? ? x n ?1 ? y n ?1 , x n ?1 ? y n ?1 ? ? ? x n ?1 ? y n ?1 ? ? a n ?1 ,
2 2 2

∴? n =

?
4

,?????????????????? ?????9 分
?
4 ?1 ? n? 2 ? 1 ,?????????? ???????11 分

∴ bn = 2 n ? ∴ Sn ? ?

??

? ? 2? ? ? n? ? ? 2 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? n ? n ? ? n ? ???13 分 4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 。

? 21.(本题满分 14 分)【答案】解:(1) f ? x ? ? ln x ? 1, x >0.????????1 分
1 1 , f ?? x ? , f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > e 而 <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < e

? 1? ?1 ? ? 0, ? ? , ?? ? ? 上单调递增.??????3 分 所以 f ? x ? 在 ? e ? 上单调递减,在 ? e
x ? 1

所以 (2)设切点坐标为

e 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在.???????4 分

? x 0 , y 0 ? ,则 y 0

? x 0 ln x 0 ,

切线的斜率为

ln x 0 ? 1,

所以切线 l 的方程为

y ? x 0 ln x 0 ? ?ln x 0 ? 1?? x ? x 0 ?.

????????5 分

又切线 l 过点 ?0 , ? 1? ,所以有 解得
x 0 ? 1, y 0 ? 0 .

? 1 ? x 0 ln x 0 ? ?ln x 0 ? 1??0 ? x 0 ?.

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . ??????????????????8 分
? (3) g ? x ? ? x ln x ? a ? x ? 1? ,则 g ? x ? ? ln x ? 1 ? a . g ?? x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0< x < e
a ?1

, g ?? x ? >0 ? x > e

a ?1

,

所以 ①当 e 所以
g ?x ?
a ?1

g ?x ?

在 ?0 , e

a ?1

?上单调递减,在 ?e

a ?1

, ?? 上单调递增.??????9 分

?

? 1, 即 a ? 1 时, g ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增,

在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?1? ? 0 . ???????????????10 分
a ?1

②当 1< e
g ?x ?

<e,即 1<a<2 时,
a ?1

g ?x ?

在 ?1, e
a ?1

a ?1

? 上单调递减,在 ?e

a ?1

, e 上单调递增.

?

在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?e

?? a ? e

. ??????????????12 分

③当 所以

e ? e
g ?x ?

a ?1

,

g ? x ? ?1, e ? 即 a ? 2 时, 在 上单调递减,

在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?e ? ? e ? a ? ae . ????????????13 分
a ?1

g ?x ? g ?x ? 综上,当 a ? 1 时, 的最小值为 0;当 1<a<2 时, 的最小值为 a ? e



g ?x ? 当 a ? 2 时, 的最小值为 a ? e ? ae . ????????????????14 分


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