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不等式证明的常用技巧·例题

时间:2011-02-16

不等式证明的常用技巧·例题 不等式证明的常用技巧 例题

例 5-2-13 求证:

(2)若 a>b>c>0,d>c,ac>bd,则 a+c>b+d。 解 (1)因 x+y+z=1,故可设

其中 t1+t2+t3=0,于是

(2)因 a>b,d>c,故可设 a=b+t1,d=c+t2,其中 t1>0,t2>

∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2>0 ∴a+c>b+d 注 ①用 n 个数的平均数与适当参数来表示这 n 个数的代换通常称为均值 代换,如(1)中施行的代换。这种代换的特点是利用对称性可使运

数组,不能保证由上述代换而得到。如 x=y=0,z=1 就不存在对应的 t 值。 ②当 a>b 时,令 a=b+t(t>0),其中 t 是 a 用 b 表示时引进的增量。这 种代换通常称为增量代换。 它的特点是把条件中的不等关系转化为相等系, 使 得变形过程简化。 例 5-2-14 求证:



(1)由 a>0,b>0,a+2b=1,可设

则有

(2)因 a>b>0,且(a-b)+b=a,故可设

这时,原不等式等价于

故只须证明

这个不等式显然成立。事实上,因为 0<cosθ<1,0<sinθ<1 又

故原不等式得证。

往往可充分利用三角函数的特有性质, 使较为复杂 注 代数问题三角化, 的问题得以简化,从而获得简捷解法。 例 5-2-15 求证: (1)|a|<1,|b|<1,|c|<1,则 abc+2>a+b+c; (2)ai,bi∈R(i=1,2,3),且 ai≠0,则 (a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32) 当且仅当 bi=λai 时取等号。 解 (1)原不等式等价于 (bc-1)a+(2-b-c)>0 构造一次函数 f(x)=(bc-1)x+(2-b-c) 则 (-1<x<1)

f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)>0

f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0 于是, 根据一次函数的单调性, f(x)在区间[-1, 1]上恒大于 0。 a∈(-1, 而 1),故 f(a)>0,即(bc-1)a-b-c+2>0。所以 abc+2>a+b+c (2)构造二次函数 f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2

(当且仅当 bi=λai,λ∈R 时取等号)

所以

注 函数思想是解决数学问题的重要思想,应用广泛。在不等式证明中, 若能要据其结构特征,构造相应的函数,则可充分利用函数的性质,使问题简 明。 (2)中不等式及其证明可推广到一般情形:若 ai,bi∈R(i∈1,2,…n), 且 ai≠0,则 (a1b1+…+anbn)2≤(a12+…+an2)·(b12+…+bn2) 这就是著名的柯西不等式。 柯西不等式不仅应用广泛, 而且它的证明方法, 即构造二次函数并通过其判别式证明不等式的方法,堪称构造法的典范。

解 [法一]

由 x+y=1,可令

则原不等式

=5+2(tg2θ+ctg2θ)≥5+2×2=9

又 x+y=1,根据韦达定理,x,y 是关于 t 的二次方程

的实根。因 x,y 为实数,故

注 方法 2 通过构造方程证明不等式,足以表明方程与不等式的密切联 系。此法也不失为一种巧妙方法。 例 5-2-17 设 n∈N,求证:

解 (1)采取逐项放缩的方法。由于

令 1,2,…,n,则有

……………………

依项相加,即得

(2)设

并引进辅助式

比较两式的对应因式可知

注 用放缩法证不等式,常通过拆项、分组、加强命题等方式进行。此法 没有固定模式,关键在于放缩要适度。放得过宽或缩得太小,都会导致方法失 效。 例 5-2-18 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证:

当且仅当 a=b 时右边取等号。 解 先证右边不等式。



4a+1=(k+t) ,4b+1=(k-t)2
2

所以(4a+1)+(4b+1)=(k+t)2+(k-t)2≥2k2

[法二]

用三角代换。因(4a+1)(4b+1)=6,故可设

现在证明左边不等式。可考虑用放缩法。 为了将 4a+1 或 4b+1 通过放缩配成完全平方式,我们引进正数 k,

因为 0<a<1,所以 a2<a,于是


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