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2.1.1曲线与方程(教学设计)

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SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元《圆锥曲线与方程》

2.1.1 曲线和方程(教学设计) 教学目标 知识与技能目标 (1) 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系; (2) 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念; (3) 学会根据已有的情景资料找规律,培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维 能力,同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 过程与方法目标 (1)通过直线方程的复习引入,加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识; (2)在形成曲线和方程概念的过程中,学生经历观察,分析,讨论等数学活动过程,探索出结论并 能有条理的阐述自己的观点; (3)能用所学知识理解新的概念,并能运用概念解决实际问题,从中体会转化化归的思想方法,提 高思维品质,发展应用意识。 情感与态度目标 (1)通过概念的复习引入,从特殊到一般,让学生感受事物的发展规律; (2)通过本节课的学习,学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究,真正认识到数学是解 决实际问题的重要工具; (3)学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想,体验到数学活动充满着探索性和创造性。 教学重点: “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。 教学难点:怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。 教学过程: 一、创设情境,新课引入: 在本节课之前,我们研究过直线的各种方程,建立了二元一次方程与直线的对应关系:在平面直角 坐标系中,任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条 直线。 二、师生互动,新课讲解: 例 1:作出方程 x ? y ? 0 表示的直线

Y

O

X

1

SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元《圆锥曲线与方程》

借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会:必须同时满足(1)直线上的点的坐标都是方程的解 和(2)以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点,即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立 了一一对应关系,那么 直线(图形) 变式训练 1:作出函数 y=x2 的图象 类比方程 y ? x 2 与如图所示的抛物线。这条抛物线是否与这个二元方程 y ? x 2 也能建立这种对应 关系呢? (按照例 1 的分析方式的得出答案是肯定的.) 方 程(数量) 。

Y

O

X

推广:那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢?这就是今天这节课的内容:曲 线和方程。 (板书课题) 现在请同学们思考这样的问题:

?

F(x,y)=0

方程 F ( x, y) ? 0 的解与曲线 C 上的点的坐标具备怎样的关系, 就能用方程 F ( x, y) ? 0 表示曲线 C, 同时曲线 C 也表示着方程 F ( x, y) ? 0 ,为什么要具备这些条件? 刚才的讨论中,有的同学提到了应具备关系: “曲线上的点的坐标都是方程的解” ;有的同学提到了 应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ;还有的同学虽用了不同的提法,但意思不外 乎这两个。现在的问题是:上述的两种提法一样吗?它们反映的是不是同一个事实?有何区别?究竟用 怎样的关系才能把例 1 中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来?为了弄清这些问题,我们来研究
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下列例题。 (说明:在讨论中,学生会有各种不同的意见,教师应予鼓励,并随时补正纠错,但不要急着把两 个关系并列起来抛出定义,中断学生的探索性思维,而是再提出问题,深入探索。 ) 例 2:用下列方程表示如图所示的曲线 C,对吗?为什么? (1) x ?

y ?0

Y

(2) x 2 ? y 2 ? 0 (3) x ? y ? 0

O

X

(学生思考,回答) 说明: 方程 (1) (2) , (3) , 都不是表示曲线 C 的方程。 第 ( 1) 题中曲线 C 上的点不全是方程 x ?

y ?0

的解。例如点 A(?2,?2) , B(? 3,? 3) 等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论; 第(2)题中,尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解” ,但是以方程 x 2 ? y 2 ? 0 的解为坐标的点却不全 在曲线 C 上。例如 D(2,?2) 、 E(? 3, 3) 等,即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这 一结论;第(3)题中,则既有以方程 x ? y ? 0 的解坐标的点,如 G(?3,3) 、 H (? 2, 2 ) 等不在曲线 C 上,又有曲线 C 上的点,如 M (?3,?3) 、 N (?1,?1) 等的坐标不是方程 x ? y ? 0 的解。事实上, (1) 、 (2) 、 (3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。

Y

Y

Y

O

X

O

X

O

X

(1)

(2)

(3)

上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程的例 1;又观察、分析了例 2 中 所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。假如我们把例 1 这种能完整地表示曲线的方程称为

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“曲线的方程”的话,我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。 在下定义时,针对例 2(1)中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点” ,以及(2)中“以方程的解 为坐标的点不在曲线上”的情况,对“曲线的方程”应作何规定? 为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点,必须规定“ “曲线上的点的坐标都是方程的解” ;为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上,必须规定“以这 个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” 这样我们可以对“曲线的方程” 、 “方程的曲线”下这样的定义: 在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下关系:

(1) 曲线上的点的坐标都是方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 大家熟知,曲线可以看作是由点组成的集合,记作 C;一个二元方程的解可以作为点的坐标,因此 二元方程的解集也描述了一个点集,记作 F。请大家思考:如何用集合 C 和 F 间的关系来表述“曲线的 方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系?进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。 关系(1)指点集 C 是点集 F 的子集;关系(2)指点集 F 是点集 C 的子集。这样,根据集合的性质, 我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线” ,即

(1)C ? F ? ? <====> C ? F 。 (2) F ? C ?
例 3:下列各题中,图所示的曲线 C 的方程为所列方程,对吗?如果不对,是不符合关系(1)还是 关系(2)?

Y A

Y

O B O C X

X

曲线 C 为 ?ABC 的中线 AO 方程 x ? 0

曲线 C 是到坐标轴距离相等的点组成的直线 方程 x ? y ? 0

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Y

O

X

曲线 C 是过点(4,1)的反比例函数图象 方程 y ?

4 x

解: (1)错。不符合定义中的(2) ,即 C ? F , 但F ? C ; (2)错。不符合定义中的(1) ,即 F ? C, 但C ? F , ; (3)错。不符合定义中的(1)和(2) ,即 C ? F , 且F ? C ;

例 4:解答下列问题,并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系? (1) 点 A(3,?4), B(?2 5,2) 是否在方程为 x ? y ? 25 的圆上?
2 2

(2) 已知方程为 x ? y ? 25 的圆过点 C( 7 , m) ,求 m 的值。
2 2

解:依据关系(2) ,可知点 A 在圆上;依据关系(1) ,可知点 B 不在圆上;依据关系(2) ,求得

m ? ?3 2 ;
变式训练 4: (1) (课本 P37 练习 NO:2)已知方程 ax2+by2=2 的曲线经过点 A(0, 的值。 (2) (课本 P37 习题 2.1 A 组 NO:1)

5 )和点 B(1,1) ,求 a 和 b 3

例 5:证明以坐标原点为圆心,半径等于 5 的圆的方程是 x ? y ? 25 。
2 2

(说明:课本上原有例题:证明圆心为坐标原点,半径等于 5 的圆的方程是 x ? y ? 25 ,并判断
2 2

点 M1 (3,?4), M 2 (?2 5,2)是否在圆上。处理时将有些要求分散到了例 3 与例 4 中,例 5 的要求集中
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在“证明”上。这样安排的意图是先集中注意力于概念的领会上,对证明过程中在表述上遇到的一些困 难,留在这里解决,层层深入。 ) 与刚才判定时一样,证明也要紧扣定义分两步进行;关系(1) 、 (2)中, “点”与“解”指的都是有 关集合中的全体元素,我们只要用 ( x0 , y0 ) 表示“任意一个” ,以此代表“全体”即可,这种方法为数学 证明中常用。 证明: (略)

三:课堂小结,巩固反思: 本节课我们通过对实例的研究,掌握了“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的定义,在领会定义时,要 牢记关系(1) 、 (2)两者缺一不可,它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,两者都满 足了, “曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。即:如果曲线 C 的方程是 F ( x, y) ? 0 ,那么点

P0 ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上的充要条件是 F ( x, y) ? 0 。
曲线和方程之间一一对应关系的确立,进一步把“曲线”与“方程”统一了起来。在此基础上,我 们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。 (说明:小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题,使学生的认识再上一个台阶,另一点意在 建立曲线的方程和方程的曲线概念之后, “画龙点睛” ,不失时机地“点”一下“解析几何”的基本思想, 使之逐步转变为学生的思想。 ) 四:分层作业 A 组: 1.方程(x-2)2+(y+2)2=0 表示的图形是( A.圆 B.两条直线 ) D.两个点

C.一个点

?x-2=0, ?x=2, ? ? 解析:由已知得? 即? ?y+2=0, ? ? ?y=-2.

所以方程表示点(2,-2). 答案:C 2.已知直线 l:x+y-3=0 和曲线 C:(x-3)2+(y-2)2=2,则点 M(2,1)满足( A.在直线 l 上,但不在曲线 C 上 C.既不在直线 l 上,也不在曲线 C 上 B.既在直线 l 上,也在曲线 C 上 D.不在直线 l 上,但在曲线 C 上 )

解析:把 M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可. 答案:B

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3.方程 1-|x|= 1-y表示的曲线是( A.两条线段 B.两条直线

)

C.两条射线 D.一条射线和一条线段

解析:由已知得 1-|x|=1-y,1-y≥0,所以 y=|x|(y≤1). 答案:A 4.以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( A.x+y=5 答案:D 5.方程|x|+|y|=1 表示的曲线是图中的( ) B.x+y=5(x≥0) ) C.x+y=5(y≥0) D.x+y=5(0≤x≤5)

解析:分 x≥0,y≥0;x≥0,y≤0;x≤0,y≥0;x≤0,y≤0 四种情形去绝对值号,即可作出判 断. 答案:D 6.若曲线 y=x2-x+2 与直线 y=x+m 有两个交点,则( A.m∈R B.m∈(-∞,1) )

C.m=1 D.m∈(1,+∞)

解析:联立 y=x2-x+2 与 y=x+m 得 x2-2x+2-m=0.由 Δ=4-4(2-m)>0,得 m>1. 答案:D 7.若 P(2,-3)在曲线 x2-ay2=1 上,则 a 的值为________. 1 解析:由 22-a(-3)2=1,得 a= . 3 1 答案: 3 8.方程 x2-y2=0 表示的图形是________. 解析:由 x2-y2=0 得 y=± x,所以方程 x2-y2=0 表示的图形是两条直线. 答案:两条直线

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B 组: 1、已知方程 x2+(y-1)2=10. (1)判断 P(1,-2),Q( 2,3)两点是否在此方程表示的曲线上; m ? (2)若点 M? ? 2 ,-m?在此方程表示的曲线上,求 m 的值. 解:(1)因为 12+(-2-1)2=10,而( 2)2+(3-1)2≠10.所以点 P(1,-2)在方程表示的曲线上,点 Q( 2,3)不在方程表示的曲线上. m?2 m 2 (2)因为点 M( ,-m)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上,所以? ? 2 ? +(-m-1) =10,解得 m= 2 18 2 或 m=- . 5

C 组: 1.求证:对任意 m∈R,曲线 mx-y-m+1=0 和曲线(x-2)2+y2=4 恒有交点.
? ?mx-y-m+1=0 证明:联立方程? 2 2 ??x-2? +y =4 ② ?



由①得 y=mx-m+1. 代入②得,(x-2)2+[mx-(m-1)]2=4, ∴(m2+1)x2-[2m(m-1)+4]x+(m-1)2=0, 1 8 Δ=4(m2-m+2)2-4(m2+1)(m-1)2=4(3m2-2m+3)=4[3(m- )2+ ]>0,对任意 m∈R 成立,所 3 3 以两曲线对任意 m∈R 恒有交点.

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